МНО́ЖАННЕ,
аперацыя ўтварэння па двух дадзеных аб’ектах a і b (сумножніках) трэцяга аб’екта с (здабытку). Абазначаецца c = a x b=a∙b=ab. Уласцівасці М. вывучаюцца ў агульнай алгебры, тэорыях груп і кольцаў.
Мае розны канкрэтны сэнс ў залежнасці ад канкрэтнага віду сумножнікаў і здабытку. Напр., у выніку М. цэлых дадатных лікаў a і b атрымліваецца лік с, роўны суме b складаемых, кожнае з якіх роўнае a: c = a + a + ... + a (b складаемых). М. лікаў адназначнае і мае ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці і дыстрыбутыўнасці. Абагульненні М. звязаныя з магчымасцю разглядаць лікі як аператары ў сукупнасці вектараў на плоскасці. Напр., камплекснаму ліку z = r (cosφ+ і sinφ) адпавядае аператар расцяжэння ўсіх вектараў у r разоў і павароту іх на плоскасці на вугал φ вакол пачатку каардынат. Пры гэтым М. камплексных лікаў адпавядае М. адпаведных аператараў. Такое вызначэнне аператараў пераносіцца на інш. іх віды, якія ўжо нельга выразіць з дапамогай лікаў, напр., лінейныя пераўтварэнні, М. вектараў, матрыц, кватэрніёнаў. Пры гэтым часта парушаюцца некаторыя ўласцівасці М. (звычайна камутатыўнасць).
т. 10, с. 502
МНО́СТВА ў матэматыцы,
набор, сукупнасць, збор якіх-н. аб’ектаў (элементаў), што маюць агульную для ўсіх характарыстычную ўласцівасць. Каб задаць М., неабходна зрабіць пералік усіх яго элементаў або назваць правілы, па якіх вызначаецца прыналежнасць дадзенага элемента да пэўнага М. Паняцце М. — адно з пачатковых фундаментальных паняццяў, якое нельга выразіць праз інш. больш простыя паняцці, а можна толькі патлумачыць з дапамогай прыкладаў. Напр., М. кніг дадзенай бібліятэкі, М. пунктаў дадзенай лініі, М. рашэнняў дадзенага ўраўнення.
А.А.Гусак.
т. 10, с. 502
МНО́СТВАЎ ТЭО́РЫЯ,
раздзел матэматыкі, у якім вывучаюцца агульныя ўласцівасці мностваў; з’яўляецца фундаментам шэрагу матэм. дысцыплін (напр., тэорыі функцый рэчаіснай пераменнай, агульнай тапалогіі, агульнай алгебры, функцыян. аналізу). Метады М.т. знаходзяць дастасаванні ў класічных галінах матэматыкі (напр., якаснай тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйным злічэнні, тэорыі імавернасцей). Развіццё М.т. глыбока паўплывала на разуменне самога прадмета матэматыкі.
Заснавана Г.Кантарам, які ўвёў паняцці магутнасці мноства, даказаў незлічонасць мноства рэчаісных лікаў, сфармуляваў паняцце актуальна бясконцага (гл. Бесканечнае і канечнае, Бесканечнасць). Паняцце мноства належыць да першапачатковых матэм. паняццяў, яго можна тлумачыць толькі на прыкладах. Адно з асн. паняццяў М.т. — паняцце прыналежнасці элемента дадзенаму мноству. Мноства лічыцца зададзеным, калі зададзена характарыстычная ўласцівасць яго элементаў; а калі дадзенай уласцівасці не мае ні адзін з элементаў, то гавораць, што такая ўласцівасць вызначае пустое мноства. Напр., мноства рэчаісных каранёў ураўнення х2 = -1 з’яўляецца пустым. Магчымасць колькаснай параўнальнай ацэнкі мностваў грунтуецца на паняцці ўзаемна адназначнай адпаведнасці (біекцыі) паміж 2 мноствамі: мноствы X і Y з’яўляюцца роўнамагутнымі (эквівалентнымі), калі паміж іх элементамі вызначана ўзаемна адназначная адпаведнасць. Бясконцыя мноствы, роўнамагутныя мноству ўсіх цэлых лікаў, наз. злічонымі (напр., мноства рацыянальных лікаў). Мноства ўсіх рэчаісных лікаў мае магутнасць (абагульненне паняцця ліку элементаў), большую за магутнасць злічонага мноства, і яго магутнасць наз. магутнасцю кантынуума. Значны ўклад у развіццё М.т. зрабілі рас. матэматыкі Дз.Ф.Ягораў, М.М.Лузін, П.С.Аляксандраў, А.М.Калмагораў, П.С.Новікаў, амер. матэматык П.Дж.Коэн.
Літ.:
Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с фр. М., 1965;
Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза: Пер. с англ. М., 1969;
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.
А.А.Гусак.
т. 10, с. 502
МНЮ́ТА,
рака ў Глыбоцкім і Шаркаўшчынскім р-нах Віцебскай вобл., правы прыток р. Дзісна (бас. р. Зах. Дзвіна). Даўж. 41 км. Пл. вадазбору 873 км². Выцякае з воз. Пліса каля в. Пліса Глыбоцкага р-на, цячэ ў межах Свянцянскіх град і паўд.-зах. ч. Полацкай нізіны праз азёры Мнюта і Вялец. Прыток — р. Лучайка. Даліна скрынкападобная, шыр. 200—400 м. Пойма перарывістая, вузкая, месцамі чаргуецца па берагах. Шыр. рэчышча 15—30 м.
т. 10, с. 502
МНЮ́ТА,
возера ў Глыбоцкім р-не Віцебскай вобл., у бас. р. Мнюта (цячэ праз возера), за 20 км ПнУ ад г. Глыбокае. Пл. 0,96 км², даўж. больш за 1,3 км, найб. шыр. каля 1,2 км, найб. глыб. 14,1 м, даўж. берагавой лініі 4,7 км. Пл. вадазбору 601 км². Схілы катлавіны выш. 7—20 м, парослыя лесам і хмызняком, на У і ПдУ — 3—5 м, пад лугам ці разараныя. Берагі нізкія, пясчаныя. Зона мелкаводдзя шыр. 20—40 м, на Пн да 90—120 м. Дно ілістае. Востраў пл. 0,3 га.
т. 10, с. 502