Verbum

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы m радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Ізобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.​С.​Багданаў, М.​А.​Ізобаў.

т. 6, с. 301

КАРБО́НАВЫЯ КІСЛО́ТЫ,

арганічныя рэчывы, якія маюць у малекуле адну або некалькі карбаксільных груп — COOH. Залежна ад колькасці груп адрозніваюць кіслоты монакарбонавыя (напр., CH₃COOH воцатная кіслата), ды-і полікарбонавыя (напр., HOOC—COOH шчаўевая кіслата, C₆H_6−n(COOH)_n бензол полікарбонавыя к-ты. Адначасова малекулы К.к. могуць мець і інш. функцыянальныя групы, напр., амінагрупу (амінакіслоты), гідраксільную (аксікіслоты).

Монакарбонавыя неразгалінаваныя К.к. з колькасцю атамаў вугляроду ў малекуле да 9 і разгалінаваныя — да 13 атамаў — вадкасці; вышэйшыя, араматычныя і дыкарбонавыя к-ты — цвёрдыя рэчывы, нерастваральныя ў вадзе. Па хім. уласцівасцях — слабыя к-ты, моц якіх павышае прысутнасць у малекуле электронаакцэптарных груп (атамаў галагену, нітрагруп і інш.), напр., трыхлорвоцатная к-та CCl₃COOH у 700 разоў мацнейшая за CH₃COOH. Пры ўзаемадзеянні з асновамі ўтвараюць солі (гл. Мыла), пры замяшчэнні гідраксільнай OH-групы — розныя функцыянальныя вытворныя: складаныя эфіры, галагенангідрыды, ангідрыды, аміды кіслот і інш. У свабодным стане К.к. ёсць у садавіне, гародніне, крыві жывёл і чалавека, уваходзяць у састаў эфірных і раслінных алеяў, тлушчаў, воскаў. Сінт. К.к. атрымліваюць акісленнем спіртоў, альдэгідаў, вуглевадародаў, гідролізам нітрылаў і інш. вытворных. Адыгрываюць значную ролю ў абмене рэчываў.

Я.​Г.​Міляшкевіч.

т. 8, с. 63

МАНГО́ЛЬСКАЕ ПІСЬМО́, старамангольскае пісьмо,

пісьменства, створанае на аснове уйгурскага алфавіта (гл. Уйгурскае пісьмо). Першыя помнікі М.п. — надпіс на т.зв. Чынгісавым камені (1225), Пісьмо іль-хана Аргуна (1289). Напрамак пісьма зверху ўніз, радкі чытаюцца злева направа, знакі паліфоннага характару (многія перадаюць па 2 ці 3 фанемы). У залежнасці ад становішча ў слове некат. знакі маюць 2 ці 3 абрысы. У алфавіце 20 асн. і 8 дадатковых літар (для перадачы іншамоўных гукаў) — вытворныя ад 14 асн. знакаў уйгурскага алфавіта, які захоўваўся ў манголаў у запазычаным выглядзе; на мяжы 16—17 ст. у яго ўнесены значныя змены. Вядомы таксама квадратнае пісьмо (13—14 ст., на аснове тыбецкага алфавіта), з 17 ст. — айрацкае «яснае пісьмо» Зая-Пандзіты (на аснове «старога пісьма»; атрымала шырокае распаўсюджанне сярод айратаў і калмыкаў). М.п. існавала да 1931 у буратаў (Бурація) і да 1945 у Манголіі; ва Унутр. Манголіі (Кітай) ім працягваюць карыстацца.

Літ.:

Санжеев Г.Д. Старописьменный монгольский язык. М., 1964;

Яго ж. Лингвистическое введение в изучение истории письменности монгольских народов. Улан-Удэ, 1977.

т. 10, с. 74