Verbum

ВЫТВО́РНАЯ функцыі, ліміт адносін прырашчэння функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ да прырашчэння аргумента; адно з асн. паняццяў дыферэнцыяльнага злічэння. Характарызуе хуткасць змены функцыі пры змене яе аргумента. Абазначаецца $𝑓\text{(′}x\text{)}$, $y\text{′(}x\text{)}$, ${\displaystyle \frac{d𝑓\text{(}x\text{)}}{dx}}$ . Вытворная функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ у пункце x₀ роўная вуглавому каэфіцыенту $tg\alpha$ датычнай да лініі $y=𝑓\text{(}x\text{)}$ у яе пункце M_o з абсцысай x_o.

Паводле вызначэння ${\displaystyle 𝑓\text{′(}x\text{)}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{𝑓(x_0+\mathrm{\Delta }x)-𝑓\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}}$ , дзе x₀ — пункт, у некаторым наваколлі якога вызначана функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$; ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=x-x_0}$ — прырашчэнне аргумента; ${\displaystyle \mathrm{\Delta }y=𝑓(x_0+\mathrm{\Delta }x)-𝑓\left(x_0\right)}$ — адпаведнае прырашчэнне функцыі. Калі гэты ліміт канечны, то функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$ наз. дыферэнцавальнай у пункце x₀. Аперацыя знаходжання вытворнай наз. дыферэнцаваннем. Вытворнай ад y′ (першай вытворнай) ёсць другая вытворная (y″) і г.д. Для функцый некалькіх зменных вызначаюцца частковыя вытворныя — вытворныя па аднаму з аргументаў пры ўмове пастаянства ўсіх астатніх аргументаў.

Паняццем вытворнай карыстаюцца пры рашэнні многіх задач матэматыкі, фізікі, тэхнікі і інш. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.​А.​Гусак.

т. 4, с. 326

частковая вытворная

т. 17, с. 257

КСІЛЕ́МА (ад грэч. xylon ссечанае дрэва),

водаправодзячая тканка сасудзістых раслін. Разам з флаэмай (лубам) утварае праводзячую сістэму, што аб’ядноўвае ўсе органы расліны. Бывае першасная (вытворная пракамбію) і другасная (вытворная камбію). Другасная К. (драўніна) уключае праводзячыя (сасуды, трахеіды — мёртвыя полыя клеткі, што ажыццяўляюць восевы транспарт раствораў), парэнхімныя і мех. элементы. Назапашваецца на працягу жыцця расліны і складаецца з гадавых кольцаў прыросту. Суадносіны паміж К., што функцыянуе (абалонная) і не функцыянуе (ядравая), залежаць ад віду раслін і кліматычных умоў.

т. 8, с. 544

ГАДЗІ́НА,

вытворная адзінка часу. Пазначаецца гадз. 1 гадз = ​¹/₂₄ сут = 60 мін = 3600 с. 1 гадз сярэдняга сонечнага часу = 1, 02273791 гадз зорнага часу.

т. 4, с. 420

НАРАСТА́ННЕ І СПАДА́ННЕ ФУ́НКЦЫІ,

павелічэнне (змяншэнне) значэнняў функцыі пры павелічэнні значэнняў яе аргумента. Функцыя y = 𝑓(x) наз. нарастальнай (спадальнай) на адрэзку

[a, b],

калі для любых x₁ і x₂, такіх, што a ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ b, выконваецца няроўнасць 𝑓(x₁) < 𝑓(x₂) [адпаведна 𝑓(x₁) > 𝑓(x₂)]. Дыферэнцавальная функцыя з’яўляецца нарастальнай (спадальнай) на зададзеным інтэрвале, калі яе вытворная ў кожным пункце гэтага інтэрвалу дадатная (адмоўная). Напр., функцыя y = x​² спадае на інтэрвале (−∞,0) і нарастае на інтэрвале (0, +∞).

т. 11, с. 146

НЯВЫ́ЗНАЧАНЫ ІНТЭГРА́Л,

агульны выраз першаіснай функцыі, вытворная ад якой роўная зададзенай падынтэгральнай функцыі 𝑓(x). Абазначаецца ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{\int }}𝑓\text{(}x\text{)}dx}$ . Вылічваецца з дакладнасцю да адвольнай пастаяннай, напр., ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{\int }}{x}^{n}dx=\frac{x^n+1}{n+1}+C}$ , дзе C — адвольная пастаянная.

Вылічэнне Н.і. (інтэграванне) — аперацыя, адваротная дыферэнцаванню. Паводле абазначэння ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{\int }}𝑓\text{(}x\text{)}dx=F\text{(}x\text{)}+C}$ . Усе першаісныя зададзенай функцыі адрозніваюцца толькі адвольнай пастаяннай і знаходзяцца ў выразе F(x) + C, таму што [F(x) + C]′ = F′(x) = f(x). Для функцыі, зададзенай на адрэзку, Н.і. звязаны з вызначаным інтэгралам ад гэтай функцыі Ньютана—Лейбніца формулай. Гл. таксама Інтэгральнае злічэнне.

т. 11, с. 405

БЕЗРАЗМЕ́РНАЯ ВЕЛІЧЫНЯ́,

вытворная фізічная велічыня, не залежная ад змены ў аднолькавую колькасць разоў велічыняў, выбраных за асноўныя. У сістэме велічыні, дзе за асн. выбраны даўжыня L, маса M і час T, размернасць некаторай безразмернай велічыні х роўная 1, г. зн. dim x = L°M°T° = 1 (усе паказчыкі размернасці такой велічыні роўныя нулю). Напрыклад, цэнтр. плоскі вугал, абмежаваны двума радыусамі акружнасці, не залежыць ад даўжыні радыуса і ў сістэме велічынь LMT будзе безразмернай велічынёй. Да безразмерных велічынь належаць усе адносныя велічыні: адносная шчыльнасць, адноснае падаўжэнне, адносныя дыэлектрычная і магн. пранікальнасці і інш. Безразмерная велічыня ў адной сістэме велічыняў можа быць размернай у іншай сістэме.

т. 2, с. 374

ІНТЭГРАВА́ННЕ ў матэматыцы,

аперацыя знаходжання інтэграла па пэўных правілах; знаходжанне рашэння дыферэнцыяльнага ўраўнення. Бывае аналітычнае, графічнае (гл. Графічныя вылічэнні) і лікавае (гл. Лікавае інтэграванне, Лікавыя метады).

Асн. метады аналітычнага І.: непасрэднае І., замена пераменнай і І. па частках. Непасрэднае І. [вылічэнне нявызначанага інтэграла ∫𝑓(x)dx] — аперацыя, адваротная дыферэнцаванню: знайсці функцыю F(x), вытворная ад якой роўная зададзенай функцыі 𝑓(x). Пры гэтым ∫[𝑓_i(x) + 𝑓₂(x) + ... + 𝑓_n(x)]dx = 𝑓₁(x)dx + ∫𝑓₂(x)dx + ... + ∫𝑓_n(x)dx. Вызначаны інтэграл у выпадку неперарыўнай 𝑓(x) і элементарнай F(x) вылічваецца па формуле Ньютана—Лейбніца: ∫𝑓(x)dx = F(b) − F(a). Для складанай функцыі 𝑓(x), дзе x = g(t) — дыферэнцавальная функцыя, выкарыстоўваецца метад замены пераменнай (метад падстаноўкі): ∫𝑓(x)dx = ∫𝑓[g(t)]g(t)dt. Метад І. па частках; калі u = u(x) і v = v(x) — дыферэнцавальныя функцыі, то ∫udv = uv + ∫vdu.

А.​А.​Гусак.

т. 7, с. 279

ВЫ́ПУКЛАСЦЬ І ЎВАГНУ́ТАСЦЬ крывой,

уласцівасць крывой, калі ўсе пункты любой яе дугі ляжаць не вышэй (не ніжэй) за хорду, якая сцягвае гэтую дугу. Пункт, у якім выпукласць крывой пераходзіць ва ўвагнутасць, наз. пунктам перагіну. Напр., крывая y=sin x увагнутая ў інтэрвале (0, π), выпуклая ў інтэрвале (π, 2π), пункт перагіну x=π.

Калі функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$ мае першую і другую вытворныя, то выпукласць і ўвагнутасць можна ахарактарызаваць так: у пунктах выпукласці крывая ляжыць не ніжэй за датычную і другая вытворная 𝑓″(x) > 0, у пунктах увагнутасці — не вышэй за датычную і 𝑓″(x) < 0 (калі 𝑓″(x) = 0, патрабуюцца дадатковыя даследаванні). Аналагічна вызначаецца выпукласць і ўвагнутасць паверхняў. Вобласць (частка плоскасці або прасторы), якая абмежавана выпуклай крывой (або выпуклай паверхняй), наз. выпуклай. Уласцівасці выпуклых абласцей вывучаюцца ў геаметрыі выпуклага цела.

В.​В.​Гарохавік.

т. 4, с. 319