Verbum

ЛО́ГІКА ВЫКА́ЗВАННЯЎ,

прапазіцыянальная логіка, раздзел логікі, у якім вывучаюцца лагічныя сувязі паміж простымі і складанымі выказваннямі. Простае (атамарнае) выказванне не ўключае ў сябе іншыя выказванні і разглядаецца як пераменная, якая прымае або ісціннае, або няісціннае значэнне. Канкрэтны змест і ўнутр. структура выказванняў пры гэтым не разглядаюцца. Складанае выказванне складваецца з іншых выказванняў пры дапамозе ўзаемазвязаных лагічных (прапазіцыянальных) звязак. Так, злучэнне двух выказванняў з дапамогай звязкі «і» дае складанае выказванне (кан’юнкцыю), якое з’яўляецца ісцінным, толькі калі абодва гэтыя выказванні ісцінныя. Складанае выказванне, утворанае з дапамогай звязкі «або» (дыз’юнкцыя), ісціннае, калі хаця б адно з гэтых двух выказванняў ісціннае. Складанае выказванне, утворанае з дапамогай «не» (адмаўленне), ісціннае, калі толькі зыходнае выказванне няісціннае. Складанае выказванне, атрыманае з двух выказванняў з дапамогай звязкі «калі, то» (імплікацыя), ісціннае ў 3 выпадках: абодва гэтыя выказванні ісцінныя, абодва яны няісцінныя; першае з выказванняў (за словам «калі») няісціннае, а другое (за словам «то») ісціннае, імплікацыя з’яўляецца няісціннай, толькі калі першае з яе выказванняў ісціннае, а другое няісціннае. Мова Л.в. уключае бясконцае мноства пераменных (P, g, r, ... P_i, g_i, r_i, якія ўяўляюць сабой выказванні), і асаблівыя сімвалы для лагічных звязак: & — кан’юнкцыя («і»), ∨ — дыз’юнкцыя («або»), ¬ — адмаўленне («не» або «няправільна, што»), → — імплікацыя («калі, то»), ↔ — эквівалентнасць («калі і толькі калі»). Л.в. можа быць прадстаўлена таксама ў форме лагічнага злічэння, у якім задаецца спосаб доказу некаторых выказванняў.

Літ.:

Жуков Н.И. Философские основания математики. 2 изд. Мн., 1990;

Брюшинкин В.Н. Практический курс логики для гуманитариев. М., 1996.

В.​В.​Краснова.

т. 9, с. 334

ЗВЫЧА́ЙНЫЯ ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні адносна функцыі адной пераменнай, якая ўваходзіць у гэта ўраўненне разам са сваімі вытворнымі да некаторага парадку ўключна. Найбольшы парадак вытворнай наз. парадкам ураўнення.

Калі З.д.ў. запісана ў форме ${\displaystyle x^{\text{(}n\text{)}}=𝑓}$ ($t$, $x$, $x$′, ..., $x^{\text{(}n-1\text{)}}$) , то кажуць, што гэта ўраўненне n-га парадку ў нармальнай форме. Згодна з тэарэмай існавання і адзінасці ў такога ўраўнення існуе і прычым толькі адно рашэнне з пачатковымі ўмовамі ${\displaystyle x\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_1^0}$ , ${\displaystyle \mathrm{x\prime }\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_2^0}$ ..., ${\displaystyle x^{\text{(}n-1\text{)}}\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_n^0}$ , дзе $t_0$, $x{}_1^0$, $x{}_2^0$, ..., $x{}_{\mathrm{n}}^0$ — адвольны пункт вобласці ${\displaystyle \mathrm{D}\subset {\mathrm{R}}^{1+n}}$ у якой $𝑓$($t$, $x$, ..., $x_n$) — функцыя, неперарыўная разам са сваімі вытворнымі ${𝑓\text{′}}_{x_1}$, ${𝑓\text{′}}_{x_2}$, ..., ${𝑓\text{′}}_{x_n}$. Гэта азначае, што пачатковыя ўмовы цалкам вызначаюць усё мінулае і будучае той рэальнай сістэмы, якая апісваецца гэтым ураўненнем. Пры дапамозе З.д.ў. або іх сістэм мадэлююць дэтэрмінаваныя рэальныя сістэмы (працэсы). Пры гэтым стан сістэмы ў кожны момант часу $t$ павінен апісвацца канечным мноствам параметраў $x_1$, ..., $x_n$. Тады, каб запісаць такаю мадэль, дастаткова ў мностве станаў сістэмы, якую мадэлююць, задаць скорасці пераходу ад аднаго стану сістэмы да яе наступнага стану.

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 7 изд. М., 1984.

У.​Л.​Міроненка.

т. 7, с. 41

ПАРАЎНА́ННЕ ў філасофіі,

акт мыслення, пры дапамозе якога класіфікуецца, упарадкоўваецца і ацэньваецца змест быцця і пазнання. Заключаецца ў папарным супастаўленні аб’ектаў з мэтай выяўлення іх адносін; пры гэтым істотным з’яўляюцца ўмовы, або асновы П., — адзнакі, якія дэтэрмінуюць магчымыя адносіны паміж прадметамі. Найб. важны і просты тып адносін, якія выяўляюцца праз П. — адносіны тоеснасці і адрознення. Паводле адносін парадку П. звычайна звязвацца з іерархічнымі класіфікацыямі прадметаў, а П. па ўласцівасцях — з т.зв. разбіваннямі на класы абстракцый.

П. ў літаратуры — мастацкі прыём, пабудаваны на супастаўленні прадметаў ці з’яў, у выніку якога сутнасць аднаго з іх вытлумачваецца праз сутнасць другога; найб. пашыраны від тропа. Граматычна афармляецца з дапамогай злучнікаў і злучальных слоў («як», «нібы», «быццам», «няйначай» і інш.), творным склонам назоўніка, апісальным зваротам, інтанацыйнай (бяззлучнікавай) сувяззю. Бываюць разгорнутыя П., дзякуючы якім падрабязна характарызуецца пэўная з’ява. Асобны від П. — адмоўнае П., у якім пры знешнім проціпастаўленні двух паняццяў ці з’яў наглядаецца іх глыбокае ўнутр. супастаўленне: «Не каліна над вадою // Пахіліла голле — // Плача маці сярод поля, // Праклінае долю» (П.​Трус). Ад П. паходзяць паралелізм, метанімія, метафара, сінекдаха, гіпербала, літота і інш. Гутарковай мове ўласцівы ўстойлівыя, або нар. П.: «чысты як сляза», «чорны як сажа» і інш. У л-ры часам увесь твор — адно разгорнутае П., напр., верш М.​Багдановіча «Зразаюць галіны таполі адну за адной...». П. робіць тэкст твора па-мастацку дакладным, наглядным, жывапісным, выяўляе мастакоўскую своеасаблівасць паэта, яго стаўленне да таго, што адлюстроўваецца ў творы.

В.​П.​Рагойша (літаратура).

т. 12, с. 93

ПАРЦЭЛЯ́ЦЫЯ (ад франц. parcelle часцінка),

раздрабленне сял. зямельных надзелаў. У Польшчы, у т. л. ў Зах. Беларусі, дзе да 1920-х г. панавала буйное памешчыцкае землеўладанне, П. называлася разбіўка на дробныя ўчасткі (парцэлы) ад 2 да 20 га і продаж праз дзярж. банкі зямель дзяржаўных, памешчыцкіх і т.зв. пакінутых (землі бежанцаў І-й сусв. вайны, якія па розных прычынах не вярнуліся на радзіму); адно з асн. мерапрыемстваў агр. рэформы ў Польшчы ў 1920—30-я г. У Зах. Беларусі і Зах. Украіне П. мела на мэце не толькі павялічыць сял. надзел, але і ўмацаваць там сац. апору польскай дзяржавы шляхам надзялення зямлёй асаднікаў і распродаж часткі памешчыцкіх зямель мясц. кулакам і заможным сялянам, пры частковым захаванні і памешчыцкага землеўладання. Праводзілася яна паралельна з камасацыяй і ліквідацыяй сервітутаў на аснове законаў аб агр. рэформе (15.7.1920), «Аб надзяленні зямлёй салдат польскай арміі» (17.12.1920), аб парцэляцыі і асадніцтве (28.12.1925). У Зах. Беларусі П. пачалася ў 1921. Пад прыкрыццём П. памешчыкі распрадавалі свае горшыя землі па спекулятыўна высокіх рыначных цэнах, маладаступных для збяднелага сялянства. Такая прыватная П. ў народзе называлася «дзікай» П. У 1921—25 у Зах. Беларусі штогод парцэлявалася да 25 тыс. га дзяржаўных і 27 тыс. га уласніцкіх зямель. Каля 80% гэтых зямель трапляла ў рукі кулакоў і асаднікаў. Да 1934 распарцэлявана 597 тыс. га (20% плошчы буйной зямельнай уласнасці). Такая агр. рэформа не задавальняла бяднейшую частку сялян, і яны выступалі супраць такога спосабу П.

І.​П.​Хаўратовіч.

т. 12, с. 148

МА́ТРЫЦА ў матэматыцы,

прамавугольная табліца элементаў адвольнай прыроды; адно з асн. паняццяў лінейнай алгебры. Узнікае пры рашэнні і даследаванні сістэм лінейных ураўненняў.

Элементы М. памераў m × n размяшчаюцца ў прамавугольнай табліцы, якая мае m радкоў і n калонак (слупкоў) і абазначаецца $\Vert \begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{...}& a_{2n}\\ \text{...}& \text{...}& \text{...}& \text{...}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{...}& a_{mm}\end{array}\Vert =\text{‖}{a}_{ij}\text{‖}$ або $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{...}& a_{2n}\\ \text{...}& \text{...}& \text{...}& \text{...}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{...}& a_{mm}\end{array}\right)=\text{(}{a}_{ij}\text{)}$ , дзе індэксы i, j паказваюць нумар радка і нумар слупка адпаведна, дзе знаходзіцца элемент a_ij Калі m = n. М. наз. квадратнай парадку n. Калі элементы М. лікі, аперацыі над М. (складанне і множанне) выконваюцца па правілах матрычнай алгебры: сума М. A = ‖a_ij‖ і B = ‖b_ij‖ аднолькавых памераў (лік радкоў і лік слупкоў адной М. роўныя адпаведна ліку радкоў і ліку слупкоў другой) ёсць М. C = ‖c_ij‖, дзе c_ij = a_ij + b_ij. Перамнажаюць М., калі лік слупкоў у адной з іх роўны ліку радкоў у другой і здабытак М. A = ‖a_ik‖ і B = ‖b_kj‖ ёсць М. C = ‖c_ij‖, дзе $$c_{ij}=\sum _{k=1}^m{a}_{ik}{b}_{kj}$$ . М. выкарыстоўваюцца ў матэм. аналізе, механіцы, электратэхніцы (напр., пры даследаваннях малых ваганняў мех. і эл. сістэм), тэорыі імавернасцей, квантавай механіцы і інш.

Р.​Т.​Вальвачоў.

т. 10, с. 205

БЫЦЦЁ,

філасофскае паняцце, якім абазначаюць аб’ектыўную рэальнасць існавання ўсіх матэрыяльных і духоўных з’яў. Складанасць вызначэння гэтага паняцця абумоўлена мноствам прадметаў рэальнасці, разнастайнасцю іх якасцяў і прыкмет. У прыватнасці, аб’екты рэчаіснасці падзяляюцца на матэрыяльныя і духоўныя, жывыя і мёртвыя, прыродныя і сац.; яны могуць мець прыкметы адзінкавага і агульнага, істотнага і неістотнага, магчымага і сапраўднага. Спалучэнне гэтых прыкмет і вызначае рознае тлумачэнне прыроды быцця. Найперш быццё абазначае факт існавання пэўнага прадмета ў межах пэўнай прасторы і часу. Па-за гэтымі рамкамі настае смерць, разбурэнне, знішчэнне прадмета, адбываецца яго пераход з быцця ў небыццё. У гэтым значэнні быццё набывае абсалютнае, а небыццё адноснае значэнне. Але быццё разумеецца і як субстанцыя, аснова свету і яго асобных, канкрэтных рэчаў. Пад быццём разумеюць таксама сутнасць аб’ектаў — сукупнасць агульных, значных прыкмет аб’ектаў. Пры такім падыходзе быццё падзяляецца на рэальнае і ідэальнае. Рэальнае — гэта спалучэнне агульных, істотных прыкмет пэўнага класа прадметаў, якія зноў і зноў утвараюцца ў працэсе іх узнікнення і існавання. Тым самым агульныя прыкметы прадметаў набываюць статус абсалютнага быцця, канкрэтная рэч характарызуецца паняццем адноснага быцця. Акрамя таго, існасць (а разам з ёю і быццё) можа пераўтварацца і ў ідэальную форму, г. зн. у форму паняцця. Напр., стол можа існаваць у рэальнасці (стол — аб’ект) і ў ідэальнай рэчаіснасці як паняцце (стол — ідэя). Г. зн., што ў ідэальнай форме быцця магчымасць і рэчаіснасць як бы зліваюцца ў сваім дыялект. адзінстве, набываючы нейкі першасны субстанцыйны сэнс. Ідэя таго ж стала (як і любая іншая ідэя) становіцца вечнай, абсалютнай, нязменнай і характарызуе, з пункту гледжання аб’ектыўных ідэалістаў, сапраўднае быццё, сапраўдную рэальнасць, а канкрэтны прадмет (той жа стол) уяўляе сабой як бы копію гэтай ідэі, яе пераходны злепак, або небыццё. Таму, паводле Платона, у ідэальным свеце ёсць толькі быццё і няма небыцця, а ў свеце канкрэтных рэчаў ёсць толькі небыццё і няма быцця. Яшчэ больш складаны характар набывае праблема быцця, калі яна пераносіцца ў галіны гнасеалогіі і сацыялогіі, таму што тут гаворка ідзе пра магчымасць адлюстравання быцця, пра спецыфіку чалавечага быцця (Платон, М.​Хайдэгер). Тут ідэальнасць становіцца не толькі сэнсам адлюстравання, але і элементам існавання; самаперажыванне быцця набывае характар быційнай характарыстыкі, а паняцце небыцця становіцца сімвалам невядомага канца, асэнсаванне якога таксама надае асаблівую афарбоўку чалавечаму быццю.

Філосафы розных эпох істотна разыходзіліся ў азначэнні сутнасці быцця і небыцця, па-рознаму вызначалі іх суадносіны. Напр., прадстаўнікі стараж.-грэч. мілецкай школы лічылі, што ёсць толькі быццё, якое вызначаецца зыходнымі элементамі (стыхіямі) свету (зямля, вада, паветра, агонь). Геракліт сцвярджаў, што быццё і небыццё — гэта адно і тое ж і адначасова не адно і тое ж. Парменід лічыў, што ёсць толькі быццё, а небыцця няма. Паводле Платона, чалавек існуе адначасова ў фізічным і духоўным, вонкавым і ўнутраным сусветах, таму неабходна адрозніваць быццё эмпірычнае (пераходнае) і сапраўднае (вечнае). Для Г.​Гегеля быццё ёсць ідэальнае, божае, а прырода — другаснае быццё ідэі. Ф.​Ніцшэ лічыў, што ніякага абсалютнага быцця няма, быццё — гэта вечны ланцуг паўтораў. Прадстаўнікі дыялект. матэрыялізму зыходзілі з таго, што быццё вечнае і першаснае ў адносінах да свядомасці, вызначае яе функцыянаванне і развіццё, хоць сама свядомасць здольна не толькі адлюстроўваць быццё, але і аказваць уздзеянне на яго.

Літ.:

Доброхотов А.Л. Категория бытия в классической западной европейской философии. М., 1986;

Проблемы познания социальной реальности. М., 1990;

Zaslawski D. Analyse de l’être. Paris, 1982.

А.​М.​Елсукоў.

т. 3, с. 381

АДЭНАЗІНФО́СФАРНЫЯ КІСЛО́ТЫ, адэназінфасфаты,

складаныя арган. злучэнні (нуклеатыды), 5​¹-фосфарныя эфіры адэназіну. Маюць у сабе адэнін, рыбозу і 1 (адэназінмонафосфарная — адэнілавая к-та, АМФ; вядома таксама яе цыклічная форма, гл. ў арт. Цыклічныя нуклеатыды), 2 (адэназіндыфосфарная к-та, АДФ) ці 3 (адэназінтрыфосфарная кіслата; АТФ) астаткі фосфарнай к-ты. Знаходзяцца ў клетках усіх жывёльных і раслінных арганізмаў у сумарнай канцэнтрацыі 2—15 мМ (каля 87% усяго фонду свабодных нуклеатыдаў). Утвараюць адэнілавую сістэму, якой належыць адно з цэнтр. месцаў у абмене рэчываў і энергіі, пры гэтым пара АДФ/АТФ служыць асн. звяном перадачы энергіі ў клетках: пры пераносе фасфарыльных груп на АМФ, АДФ энергія ў арганізме акумулюецца, пры адшчапленні — вылучаецца.

Адэназінмонафасфат існуе ў свабоднай форме, уваходзіць у састаў РНК, многіх ферментаў, якія ўдзельнічаюць у пераносе вадароду і астаткаў фосфарнай к-ты. Знойдзены ў эрытрацытах крыві, мышцах, а таксама ў дражджах. Адэназіндыфасфат — прамежкавае злучэнне ў рэакцыях, якія звязаны з утварэннем і распадам АТФ, выконвае самастойную ролю ў рэгуляцыі працэсу «дыхання» мітахондрый. У жывых клетках знаходзіцца пераважна ў комплексе з іонамі Mg​²⁺. АДФ-глюкоза ўдзельнічае ў сінтэзе крухмалу. Штучныя прэпараты адэназінфосфарнай кіслаты — іголкападобныя крышталі (АМФ, АТФ) або парашок (АДФ). Растворы дынатрыевай і монакальцыевай соляў АТФ выкарыстоўваюцца для ін’екцый пры мышачнай дыстрафіі, спазме сардэчных і перыферычных сасудаў. Проціпаказаны пры свежых інфарктах міякарду і запаленчых хваробах лёгкіх.

Літ.:

Калинин Ф.Л., Лобов В.П., Жидков В.А. Справочник по биохимии. Киев, 1971;

Ленинджер А. Биохимия: Пер. с англ. М., 1976;

Основы биохимии: Пер. с англ. Т. 1—3. М., 1981;

Справочник биохимика: Пер. с англ. М., 1991.

т. 1, с. 145

ЛЁД,

вада ў цвёрдым стане. Адрозніваюць аморфны Л. і 10 яго крышт. мадыфікацый. У прыродзе вядома адна форма Л. — са шчыльн. 0,92 г/см³, цеплаёмістасцю 2,09 кДж (кг∙К) пры 0 °C, цеплынёй плаўлення 334 кДж/кг. Л. празрысты, у тонкім слоі бясколерны, у вял. масе блакітнаваты. Звычайна чысцейшы за ваду, аднак можа мець мех. прымесі — цвёрдыя часцінкі, кропелькі раствораў, бурбалачкі газу. Л. бывае атмасферны (снег, іней, град), водны (сала, ледзяное покрыва, ледзяныя іголкі, донны Л.), падземцы (утварае зімовае прамярзанне глеб і вечную мерзлату) і ледавіковы. Адно з самых пашыраных цвёрдых цел на зямной паверхні (каля 30 млн. км³). Займае вял. прасторы ў Антарктыдзе (мацерыковы Л.), Арктыцы (марскі Л.), у горных раёнах (ледавікі), у абласцях пашырэння вечнай мерзлаты. Ва ўмовах Беларусі Л. утвараецца зімой на рэках і вадаёмах, у глебе і грунтах, выпадае з воблакаў, утварае снегавое покрыва, галалёд, галалёдзіцу, шэрань, іней, у цёплую пару выпадае з воблакаў у выглядзе граду. У геал. мінулым на тэр. Беларусі існавала магутнае ледавіковае покрыва, якое неаднаразова ўтваралася ў час мацерыковых зледзяненняў антрапагену, на прылеглых да яго тэрыторыях была вечная мерзлата. Л. аказвае значны ўплыў на фарміраванне ўмоў пражывання на Зямлі і гасп. дзейнасці чалавека. Абледзяненні самалётаў, суднаў, ліній сувязі і электраперадач, дарожнага палатна прыводзяць да аварый, гляцыяльныя селі знішчаюць населеныя пункты, прамысл. і трансп. збудаванні, рачныя заторы і зажоры выклікаюць мясц. паводкі і інш. Л. скарыстоўваюць для захавання і ахаладжэння харч. прадуктаў, біял. і хім. прэпаратаў.

Ёсць звесткі пра наяўнасць Л. на планетах Сонечнай сістэмы і ў каметах.

т. 9, с. 229

ЖАЛЕЗАБЕТО́Н,

штучны будаўнічы матэрыял з бетону і стальной арматуры, якія маналітна злучаны і працуюць у канструкцыі як адно цэлае. Сумесная работа бетону і арматуры забяспечваецца іх трывалым счапленнем, амаль аднолькавымі каэф. лінейнага расшырэння. Бетон успрымае ў асн. сціскальныя намаганні, надае канструкцыі жорсткасць, ахоўвае арматуру ад карозіі; арматура (падоўжаныя стрыжні, папярочныя хамуты, мантажная для каркасаў) успрымае расцягвальныя намаганні. Вызначаецца высокай трываласцю, даўгавечнасцю, вогнеўстойлівасцю, прастатой формаўтварэння. Выкарыстоўваецца ў жыллёвым і прамысл. буд-ве, мостабудаванні, гідратэхн. буд-ве і інш. З Ж. робяць разнастайныя жалезабетонныя вырабы і канструкцыі.

Ж. бывае звычайны і папярэдне напружаны (яго арматуру перад бетанаваннем штучна нацягваюць, што абціскае бетон, павялічвае яго трываласць і трэшчынаўстойлівасць; гл. Папярэдне напружаныя канструкцыі), саманапружаны (робіцца з выкарыстаннем т.зв. напружвальнага цэменту, які пры цвярдзенні расшыраецца), зборны, маналітны і інш. Патэнт на Ж. атрымаў франц. вучоны Ж.​Манье ў 1867. Канструкцыі з Ж. хутка пашырыліся ў Англіі, ЗША, Расіі (з 1885) і інш. краінах. У 1901—02 на чыг. лініі Віцебск—Жлобін было пабудавана 27 жалезабетонных мастоў і пуцеправодаў. Ж. стаў адным з найб. пашыраных матэрыялаў у буд-ве, які выкарыстоўваецца ў розных канструкцыях будынкаў і збудаванняў (фундаментаў, пліт, сцен, труб, мастоў, плацін і г.д.), ва ўсіх кліматычных зонах (фіз.-мех. ўласцівасці Ж. пры т-рах ад -40 да + 60 °C практычна не змяняюцца). Значны ўклад у развіццё навукі пра Ж. зрабілі рас. і сав. вучоныя М.​А.​Белялюбскі, А.​Ф.​Лалейт, Р.​П.​Перадзерый, В.​В.​Міхайлаў, А.​А.​Гвоздзеў, бел. вучоныя І.​М.​Ахвердаў, Я.​І.​Дрозд і інш.

Літ.:

Гл. пры арт. Жалезабетонныя вырабы і канструкцыі.

П.​М.​Багаслаўчык.

т. 6, с. 414

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы m радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Ізобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.​С.​Багданаў, М.​А.​Ізобаў.

т. 6, с. 301