Verbum

ІМАВЕ́РНАСЦЕЙ ТЭО́РЫЯ,

матэматычная тэорыя, якая вывучае імавернасці выпадковых падзей і дае магчымасць вызначыць імавернасці складаных падзей праз імавернасці простых, калі вядома, як састаўлены з іх складаныя падзеі. Асн. аб’ект вывучэння І.т. — паслядоўнасці і сем’і выпадковых велічынь. І.т. будуецца на аснове мностваў тэорыі і тэорыі меры (гл. Мера мноства). Гэты падыход распрацаваны А.М.Калмагоравым. І.т. выкарыстоўваецца ў стат. фізіцы, матэм. статыстыцы, імавернаснай логіцы, а таксама ў біялогіі, ваен. справе, тэхніцы і інш.

Зыходныя паняцці І.т. — паняцці выпадковай падзеі і яе імавернасці. Падзеі рэчаіснасці бываюць: дакладныя — заўсёды адбываюцца; немагчымыя — ніколі не адбываюцца; выпадковыя — часам адбываюцца, а часам не. З двух выпадковых падзей A і B можна ўтварыць складаныя падзеі: аб’яднанне (суму) A∪B — {адбудзецца ці A, ці B}, перасячэнне (здабытак) A∩B — {адбудуцца і A і B}, рознасць A\B — {адбудзецца A, але не адбудзецца B}. Выкарыстоўваючы гэтыя аперацыі над дзвюма ці больш падзеямі, атрымліваюць складаныя падзеі. Мяркуецца, што для кожнай выпадковай падзеі A вызначана імавернасць — лік P(A), які задавальняе ўмовам: P(A)>0; калі падзеі A і B не могуць адбыцца адначасова, тады P(A∪B) = P(A) + P(B); імавернасць дакладнай падзеі роўна 1. У прасцейшых выпадках гэтыя ўмовы відавочныя; у агульным выпадку яны прымаюцца без доказу (аксіёмы). Па фармальных (матэм.) правілах атрымліваюць шэраг тэарэм пра імавернасці складаных падзей. Калі ажыццяўленне падзеі A не залежыць ад таго, адбудзецца ці не падзея B, тады A і B — незалежныя падзеі. Імавернасць P(A∩B) сумеснага ажыццяўлення дзвюх незалежных падзей A і B роўна P(A)∙P(B). Часам, калі нават дакладна можна запісаць імавернасці пэўных выпадковых падзей, вылічыць іх цяжка. Напр., імавернасць Pn(m) таго, што ў серыі з n незалежных ажыццяўленняў выпадковай падзеі A з P(A) = p(p ≠ 0,1) яна адбудзецца m разоў, роўна C_n​^mp​^mq​^n-m, дзе C_n​^m — лік спалучэнняў з n элементаў na m, q = 1 − p. Пры вялікіх n і m для вылічэння імавернасцей тыпу Pn(m) выкарыстоўваюць лімітавыя тэарэмы: 1) калі n→∞, то $P_n\text{(}m\text{)}~\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }npq}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ пры ўмове, што $x=\frac{m-np}{\sqrt{npq}}$ застаецца ў межах фіксаванага інтэрвалу (лакальная тэарэма Муаўра—Лапласа); 2) пры кожных фіксаваных ліках a і b, (a<b), $limP\text{(}a\le \frac{m-np}{\sqrt{npq}}<b\text{)}=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$ (інтэгральная тэарэма Муаўра—Лапласа). Да лімітавых тэарэм адносіцца таксама вялікіх лікаў закон, які мае важнае значэнне для філас. асэнсавання І.т. і ў дастасаваннях. Вял. ўклад у развіццё лімітавых тэарэм зрабілі П.​Л.​Чабышоў і А.​М.​Ляпуноў. Узнікненне большасці лімітавых тэарэм звязана з тэорыяй выпадковых працэсаў. На Беларусі І.т. даследуецца ў асноўным ў БДУ (Г.​А.​Мядзведзеў, Ю.​С.​Харын і інш.).

Літ.:

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 6 изд. М., 1988;

Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.; Л., 1936;

Лоэв М. Теория вероятностей: Пер. с англ. М., 1962;

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ. Т. 1—2. М., 1984;

Ширяев А.Н. Вероятность. М., 1980.

В.​І.​Бернік, У.​Г.​Спрынджук.

т. 7, с. 207

МАЛЮ́НАК,

выява, зробленая ад рукі з дапамогай графічных сродкаў (лініі, штрыха, колеравай плямы), якімі дасягаюцца пластычная мадэліроўка, танальныя і святлоценявыя эфекты; адна з найважнейшых і шырока развітых галін выяўленчага мастацтва. Спалучэнне лінейна-пластычных элементаў фарміруе структуру і прасторавыя адносіны форм, таму М. складае аснову ўсіх відаў маст. адлюстравання на плоскасці (графіка, жывапіс, рэльеф). Як самаст. галіна маст. творчасці адносіцца да графікі (станковы М.). Выкарыстоўваецца і як дапаможны сродак для стварэння жывапісных, графічных, скульпт., арх., дэкар. твораў (кардон, накід, эскіз, эцюд). На аснове М. развіваюцца гравюра і літаграфія. М. адрозніваюць паводле метаду, тэхнікі і характару малявання, тэм і жанраў, прызначэння. Выконваюцца сухімі (вугаль, італьян. аловак, свінцовы ці сярэбраны штыфт, сангіна, графіт) і вадкімі (туш, бістр, сепія, чарніла) фарбавальнымі рэчывамі. У якасці асновы выкарыстоўваюць паперу (у старажытнасці папірус, пергамент). Сродкамі для стварэння ўласна М. могуць служыць акварэль, гуаш, пастэль, соус, туш (як і для жывапісных твораў). М. — аснова маст. адукацыі (маляванне з натуры, вучэбнае маляванне і інш.).

Вытокі М. ў першабытным мастацтве (прадрапаныя на косці, камені ці намаляваныя на сценах пячор палеалітычныя выявы жывёл). З 4 ст. да н.э. ў краінах Д. Усходу развіваецца тонкі каліграфічны М. У Еўропе ў часы антычнасці і сярэднявечча М. быў пераважна дапаможным сродкам для стварэння жывапісных твораў. Як самаст. від творчасці склаўся ў эпоху Адраджэння (Г.​Гольбейн, А.​Дзюрэр, Ф.​Клуэ, Леанарда да Вінчы, Мікеланджэла, Я.​Тынтарэта і інш.). Сярод найб. выдатных майстроў 17—18 ст. А.​Вато, Ф.​Гвардзі, К.​Ларэн, Н.​Пусэн, П.​П.​Рубенс, Рэмбрант, У.​Хогарт, 19—20 ст. В. ван Гог, Ф.​Гоя, Э.​Дэга, Э.​Дэлакруа, А.​Матыс, А.​Менцэль, П.​Пікасо, Сюй Бэйхун, Ж.​А.​Энгр і інш.; у Расіі — К.​Брулоў, А.​Венецыянаў, А.​Кіпрэнскі, В.​Сяроў, М.​Урубель, У.​Фаворскі, А.​Ягораў і інш.

На Беларусі ў першабытным мастацтве вядомы як арнаментыка на касцяных, каменных, метал., гліняных вырабах. У сярэднявеччы спецыфіка М. найб. яскрава выявілася ў ілюстраванні рукапісаў і друкаваных кніг, у прорысях для абразоў і фрэсак. Зберагліся М. падрыхтоўчыя Б.​Радзівіла да арх. планаў, А. ван Вестэрфельда да шпалер (17—18 ст.). Вял. ролю ў развіцці М. адыгралі Віленская маст. школа і Полацкі езуіцкі калегіум. У 19 — пач. 20 ст. ў галіне М. працавалі І.​Аляшкевіч, С.​Богуш-Сестранцэвіч, В.​Ваньковіч, Г.​Вейсенгоф, Я.​Дамель, Ф.​Рушчыц, Н.​Сілівановіч, у 1920—50-я г. — М.​Аксельрод, А.​Астаповіч, В.​Букаты, С.​Герус, П.​Гуткоўскі, М.​Гуціеў, В.​Дваракоўскі, Я.​Драздовіч, Я.​Зайцаў, Б.​Звінагродскі, Г.​Змудзінскі, С.​Раманаў, П.​Сергіевіч, М.​Сеўрук, М.​Тарасікаў, А.​Тычына і інш. Сярод майстроў М. 1960—90-х г. В.​Александровіч, Л.​Асецкі, В.​Баранаў, М. і У.​Басалыгі, У.​Вішнеўскі, А.​Дзямарын, П.​Драчоў, Я.​Жылін, М.​Карпук, А.​Кашкурэвіч, Я.​Кулік, М.​Купава, А.​Г.​Лось, Л.​Марчанка, Г.​Паплаўскі, А.​Паслядовіч, У.​Савіч, М Селяшчук, Р.​Сітніца, Г.​Скрыпнічэнка, В.​Славук, В.​Шаранговіч і інш.

В.​Я.​Буйвал.

т. 10, с. 49

АНДО́РА (каталанскае, ісп. Andorra, франц. Andorre),

Княства Андора (каталанскае Principat d’Andorra, ісп. Principado de’Andorra, франц. Principauté d’Andorre), дзяржава на ПдЗ Еўропы ва ўсх. Пірэнеях паміж Іспаніяй і Францыяй. Пл. 465 км², нас. 64 тыс. чад. (1993). Сталіца — г. Андорала-Вела. Афіц. мова каталанская, выкарыстоўваецца таксама ісп. і французская. Насельніцтва: іспанцы (61%), андорцы (30%), французы (6%) і інш. Большасць вернікаў — католікі. Сярэдняя шчыльн. насельніцтва 137 чал. на 1 км². У адм.-тэр. адносінах Андора падзяляецца на 7 абшчын. Афіцыйна Андора — суверэннае парламенцкае княства, фактычна — рэспубліка. Заканадаўчы орган — аднапалатны Ген. савет, які выбіраецца ўсеаг. прамым галасаваннем на 4 гады. Выканаўчую ўладу ажыццяўляе Выканаўчы савет (урад) з 5 міністраў. Узбр. сіл не мае. Існуюць невял. паліцэйскія фарміраванні для аховы грамадскага парадку.

Прырода. Размешчана на паўд. схілах Пірэнеяў у даліне р. Валіра і яе прытокаў (бас. р. Эбра), акружанай гарамі выш. 800—2942 м. Шмат азёраў ледавіковага паходжання. Сярэднія т-ры студз. ў гарах -15 °C, у даліне Валіры і на Пд Андоры -2 °C, ліп. — да 20 °C, ападкаў 1000—2000 мм за год. Частыя засухі. Па схілах гор шыракалістыя (дуб, граб, бук, каштан; займаюць 30% тэр.) і ялова-піхтавыя лясы, вышэй — субальпійскія і альпійскія лугі. Карысныя выкапні: свінцовыя, жал. і сярэбраныя руды, шыферныя сланцы, каштоўныя і вырабныя камяні, ёсць мінер. воды.

Гісторыя. Першае ўпамінанне ў крыніцах адносіцца да 805. У сярэднія вякі тэр. Андоры — феад. ўладанне ў асн. графаў дэ Фуа і епіскапаў Урхельскіх; паводле пагаднення 1278 іх сумесны сюзерэнат. Пазней правы графаў дэ Фуа перайшлі да франц. каралёў. З 1419 дзейнічае Ген. савет — найстарэйшы (пасля ісландскага) парламент у Еўропе. У 1866 уведзена канстытуцыя, з 1867 улада епіскапа абмежавана. У жыцці і звычаях народа Андоры захоўваюцца перажыткі дафеад. і феад. адносін (абшчынная ўласнасць на зямлю, звычаёвае права і інш.). У 1933 уведзена ўсеагульнае выбарчае права для мужчын, у 1970 — і для жанчын. У 1981 падпісаны дэкрэт аб «рэформе інстытутаў» (раздзяленні ўлады), якім прадугледжана акрамя Ген. савета стварэнне Выканаўчага савета. Пасля парламенцкіх выбараў у 1992 Ген. савет і ўрад узначаліў лідэр рэфармістаў О.​Рыба-Рэйг. На рэферэндуме ў сак. 1993 прынята новая канстытуцыя. 2.6.1993 падпісаны дагаворы аб добрасуседстве, дружбе і супрацоўніцтве з Францыяй і Іспаніяй, якія першыя прызналі суверэнітэт Андоры. Да гэтага моманту, знаходзячыся пад двайным пратэктаратам Францыі і епіскапа Урхельскага, Андора плаціла ім абодвум сімвалічную даніну грашамі і натурай. Паліт. партыі: Саюз і прагрэс, Дэмакр. саюз і інш.

Гаспадарка. Аснова эканомікі — абслугоўванне турыстаў (больш за 10 млн. чал. штогод, 250 атэляў). Развіты лячэбна-аздараўленчы і горны турызм (асабліва лыжны). Бальнеалагічны цэнтр Андоры — г. Лес-Эскальдэс. Валавы ўнутр. прадукт — 760 млн. дол. (1992). Прадпрыемствы харчасмакавай (у т. л. тытунёвай), лёгкай прам-сці. ГЭС магутнасцю 26,5 МВт. Развіты саматужныя і дапаможныя промыслы — выраб сувеніраў, вытв-сць драўнянага вугалю, лесанарыхтоўкі. У сельскай гаспадарцы спалучаюцца пашавая жывёлагадоўля і земляробства. Разводзяць авечак (больш за 25 тыс. галоў). Пад с.-г. культурамі 4% тэр. краіны. Вырошчваюць ячмень, жыта, кукурузу, бульбу, агародніну, тытунь (20% пасяўной пл.), вінаград, аліўкавыя дрэвы. Транспарт аўтамабільны, аўтамагістралі злучаюць Андору з Іспаніяй і Францыяй. Экспарт: электраэнергія, свінцовая руда, воўна, аўчыны, тытунь, соль, керамічныя вырабы, драўняны вугаль. Імпарт: прамысл. і харч. тавары. Гал. знешнегандлёвыя партнёры — Францыя, Іспанія і Вялікабрытанія. Андора — міжнар. фінансавы цэнтр. Грашовыя адзінкі — франц. франк і ісп. песета.

Ю.​В.​Ляшковіч (прырода, гаспадарка).

т. 1, с. 354