Verbum

А́ЛГЕБРА,

навука пра сістэмы аб’ектаў той ці інш. прыроды, у якіх устаноўлены аперацыі, па сваіх уласцівасцях падобныя на складанне і множанне лікаў (алг. аперацыі). Задачы і метады алгебры ствараліся паступова, у выніку пошукаў агульных прыёмаў рашэння аднатыпных арыфм. задач (пераважна састаўлення і рашэння ўраўненняў).

Вялікі ўплыў на развіццё алг. ідэй і сімволікі зрабіла «Арыфметыка» Дыяфанта (3 ст.). Тэрмін «алгебра» паходзіць ад назвы твора Мухамеда аль-Харэзмі «Альджэбр аль-мукабала» (9 ст.), які мае агульныя метады рашэння алгебраічных ураўненняў (АУ) 1-й і 2-й ступеняў. У канцы 15 ст. замест грувасткіх слоўных апісанняў алг. дзеянняў у матэм. творах з’яўляюцца знакі «+» і «-», потым знакі ступеняў, кораняў, дужкі. У канцы 16 ст. Ф.Віет першы выкарыстаў літарныя абазначэнні. Да сярэдзіны 17 ст. ў асн. склалася сучасная алг. сімволіка. У далейшым погляд на алгебру мяняўся. Алгебра 17—18 ст. займалася літарнымі вылічэннямі (рашэнне АУ, тоеснае пераўтварэнне формул і інш.) у адрозненне ад арыфметыкі, якая аперыруе канкрэтнымі лікамі. Да сярэдзіны 18 ст. алгебра склалася прыблізна ў аб’ёме цяперашняй т.зв. элементарнай алгебры. Алгебра 18—19 ст. з’яўляецца ў асн. алгебрай мнагачленаў. Першай гіст. задачай алгебры было рашэнне АУ з адным невядомым. У 16 ст. італьян. матэматыкамі была знойдзена формула для рашэння ўраўненняў 3-й ступені (формула Кардана), потым метад рашэння ўраўненняў 4-й ступені (метад Ферары). Амаль 3 стагоддзі вёўся пошук формулы для рашэння ўраўненняў вышэйшай ступені. У 17 ст. ўпершыню выказана А.​Жырарам, а ў канцы 18 ст. К.Гаўсам даказана асн. тэарэма алгебры аб існаванні камплекснага кораня для адвольных АУ з камплекснымі каэфіцыентамі. У 1824 Н.Абель даказаў, што ўраўненне вышэй 4-й ступені ў агульным выпадку ў радыкалах невырашальнае, а ў 1830 Э.Галуа знайшоў крытэрый вырашальнасці ў радыкалах АУ. Разам з тэарэмай АУ з адным невядомым разглядаліся сістэмы АУ з многімі невядомымі, у прыватнасці сістэмы лінейных ураўненняў, у сувязі з чым узніклі паняцці матрыцы і дэтэрмінанта. З сярэдзіны 19 ст. даследаванні ў алгебры паступова пераносяцца з тэорыі АУ да вывучэння адвольных алг. аперацый. Абстрактнае паняцце алг. аперацыі ўзнікла ў сярэдзіне 19 ст. ў сувязі з даследаваннем прыроды камплексных лікаў, а таксама ў выніку з’яўлення прыкладаў алг. аперацый над элементамі зусім інш. прыроды, чым лікі, — складанне і множанне матрыц і інш.

У пачатку 20 ст. алгебра стала разглядацца як агульная тэорыя алг. аперацый на аснове аксіяматычнага метаду (сфарміравалася пад уплывам прац Ц.Гільберта, Э.​Штэйніца, Э.​Арціна, Э.​Нётэр і інш.). Сучасная алгебра вывучае мноствы адвольнай прыроды з зададзенымі на іх алг. аперацыямі (г.зн. алгебра ці універсальныя алгебра). Доўгі час вывучаліся толькі некалькі тыпаў універсальных алгебраў — групы, кольцы, лінейныя прасторы. Пазней пачалося вывучэнне абагульненняў паняцця групы — паўгрупы, квазігрупы і лупы. Разам з асацыятыўнымі кольцамі і алгебрай пачалі вывучацца і неасацыятыўныя кольцы і алгебра. Асацыятыўна-камутатыўныя кольцы і палі з’яўляюцца асн. аб’ектам вывучэння камутатыўнай алгебры, з якой цесна звязана алгебраічная геаметрыя. Важным тыпам алгебры з’яўляюцца структуры. Лінейныя прасторы, модулі, а таксама іх лінейныя пераўтварэнні і сумежныя пытанні вывучае лінейная алгебра, часткай якой з’яўляюцца тэорыі лінейных ураўненняў і матрыц. Да лінейнай алгебры прымыкае полілінейная алгебра. Першыя працы па агульнай тэорыі адвольных універсальных алгебраў належаць Г.​Біркгафу (1830-я г.). У тыя ж гады А.​І.​Мальцаў і А.​Тарскі заклалі асновы тэорыі мадэляў — мностваў з зададзенымі на іх адносінамі. У выніку цеснага збліжэння тэорыі універсальных алгебраў з тэорыяй мадэляў узнік новы раздзел алгебры, сумежны з алгебрай і матэматычнай логікай, — тэорыя алг. сістэм, якая вывучае мноствы з зададзенымі на іх алг. аперацыямі і адносінамі (гл. Алгебра логікі). Дысцыпліны, сумежныя з алгебрай і інш. часткамі матэматыкі, вызначаюцца ўнясеннем ва універсальныя алгебры дадатковых структур, узгодненых з алг. аперацыямі і адносінамі: тапалагічная алгебра, у т. л. тапалагічныя групы і групы Лі, тэорыя ўнармаваных кольцаў, дыферэнцыяльная алгебра, тэорыі розных упарадкаваных алгебраў. Да сярэдзіны 1950-х г. сфарміравалася гамалагічная алгебра, карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.

Алг. паняцці і метады выкарыстоўваюцца ў геаметрыі, тэорыі лікаў, функцыян. аналізе, тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, метадах вылічэнняў і інш. Алгебра мае вял. дачыненне да фізікі (выяўленні груп у квантавай фізіцы), крышталяграфіі (дыскрэтныя групы), кібернетыкі (тэорыі аўтаматаў і кадзіравання), матэм. эканомікі (лінейныя няроўнасці) і інш. Сістэм. даследаванні па алгебры на Беларусі пачалі Дз.А.Супруненка (1945) і С.А.Чуніхін (1953). Вядуцца пераважна ў Ін-це матэматыкі АН Беларусі, БДУ, Гомельскім ун-це ў школах У.П.Платонава, А.Я.Залескага, Л.А.Шамяткова.

Літ.:

Математика, её содержание, методы и значение. Т. 1—3. М., 1956;

Бурбаки Н. Очерки по истории математики: Пер. с фр. М., 1963.

Р.​Т.​Вальвачоў.

т. 1, с. 233

ДЫЯЛЕ́КТЫКА [ад грэч. dialektikē (technē) майстэрства весці гутарку, спрэчку],

вучэнне аб найб. агульных законах развіцця космасу і прыроды, грамадства, чалавека і мыслення. Асн. прынцыпы Д. — усебаковая, усеагульная сувязь рэчаў і з’яў, станаўленне і развіццё. У склад Д. як вучэння ўваходзяць філас. тэорыя, метад і метадалогія філас. пазнання. Першыя спробы дыялект. асэнсавання прыроднай і грамадскай рэчаіснасці, быцця чалавека ў свеце зроблены ў глыбокай старажытнасці і знайшлі сваё ўвасабленне ў духоўнай культуры і светапоглядзе ўсх. цывілізацый: егіпецкай, шумерскай, індыйскай, кітайскай і інш. Унікальны ўклад у развіццё дыялект. мыслення зрабіла ант. грэч. цывілізацыя, якая стварыла спрыяльныя ўмовы для росквіту духоўнай творчай дзейнасці чалавека, асабліва ў галіне філасофіі, эстэтыкі, навукі. Паняцце Д. ўпершыню выкарыстаў Сакрат, разумеючы пад ім майстэрства весці мэтанакіраваны дыялог, калі супрацьпастаўленне і барацьба розных думак спрыяюць знаходжанню ісціны. Сакратаўскае разуменне Д. развіў Платон у шэрагу сваіх прац, напісаных у форме дыялогу. Ён даў дыялект. інтэрпрэтацыю філас. катэгорый руху, спакою, адрознення, тоеснасці, быцця, падкрэсліваючы іх супярэчлівы змест. Характэрнай рысай дыялект. мыслення стараж.-грэч. філосафаў было ўспрыманне свету ў якасці адзінага непадзельнага цэлага, якое знаходзіцца ў стане стыхійнага руху і змянення. У межах стыхійна-наіўнага ўяўлення аб непадзельнай рэчаіснасці ў Грэцыі існавалі і развіваліся формы суб’ектыўнай і аб’ектыўнай Д. Геракліт лічыў, што ўсё існуе і ў той жа час не існуе, таму што ўсё цячэ і змяняецца, узнікае і знікае, а свет з’яўляецца месцам няспыннай барацьбы процілеглых з’яў. У гэтай барацьбе процілегласцей ён бачыў галоўную прычыну развіцця. Стыхійна дыялект. ідэі знайшлі адлюстраванне ў вучэнні Дэмакрыта, Леўкіпа, Эпікура і інш. аб атамах і атамнай будове рэчаў. Істотнае даследаванне розных форм дыялект. мыслення правёў Арыстоцель. У часы панавання монатэістычных рэлігій, у прыватнасці хрысціянства, Д. фактычна атаясамлівалася з асобасным абсалютам — тварцом космасу і прыроды і адначасова з першапрычынай іх няспыннага руху і змянення. У філасофіі новага часу дыялект. ідэі выкарыстоўваліся супраць панавання метафіз. поглядаў. Р.Дэкарт спрыяў пранікненню дыялект. спосабу мыслення ў матэматыку, абгрунтоўваў ідэю аб неаднароднасці прасторы і пачатак развіцця адносна да касмалогіі. Д.Дзідро лічыў рух унутр. уласцівасцю матэрыі і адстойваў эвалюц. погляды на жывую прыроду. Г.Лейбніц падышоў да дыялект. погляду на адзінства прасторы і часу. Навукова плённыя дыялект. думкі аб захаванні матэрыі і руху, эвалюц. паходжанні і развіцці зямлі выказаў М.В.Ламаносаў. У якасці універсальнай тэорыі і метаду пазнання свету шляхам знаходжання, аналізу і раскрыцця ўласцівых яму супярэчнасцей Д. распрацоўвалася ў ням. класічнай філасофіі 18—19 ст. І.Кант вучыў, што працэс пазнання рэчаіснасці чалавекам абапіраецца на практычны вопыт, таму абстрактныя катэгорыі «бог», «душа», «свабода» і інш. не могуць прэтэндаваць на абсалютныя веды, а чалавечы розум у сваім імкненні авалодаць абсалютным няўхільна трапляе ў палон невырашальных супярэчнасцей. Выключнае месца ў станаўленні навук. канцэпцыі Д. займае філас. вучэнне Г.​Гегеля, які абагульніў гіст. вопыт навук. дыялект. мыслення аб космасе, прыродзе і чалавеку, а ўвесь матэрыяльны і нематэрыяльны свет прадставіў у якасці працэсу бесперапынных змен і развіцця Адначасова ён зрабіў спробу сфармуляваць унутр. законы Д. Змены, пераход рэчаў і з’яў з аднаго якаснага стану ў другі Гегель тлумачыў узаемадзеяннем супярэчнасцей і іх канчатковым вырашэннем, г.зн., што працэс развіцця адбываўся дзякуючы ўласным унутр. імпульсам, а развіццё з’яўлялася самаразвіццём. Такую ўласцівасць ён лічыў істотнай рысай абсалютнай ідэі, абсалютнага духу, што было абумоўлена сутнасцю ўсёй гегелеўскай філасофіі, паводле якой свядомасць з’яўляецца тварцом рэчаіснасці. Дыялект. ідэі, погляды і канцэпцыі прадстаўнікоў ням. класічнай філасофіі далі штуршок развіццю матэрыяліст. Д., якую распрацоўвалі К.​Маркс, Ф.​Энгельс, У.​І.​Ленін. Яе асн. катэгорыі і законы: прастора, час, рух, матэрыя, адзінства і барацьба процілегласцей, адмаўленне адмаўлення, пераход колькасных змен у якасныя і інш. Матэрыяліст. Д. прыроды абгрунтоўвае і даказвае свае палажэнні, спасылаючыся на гіст. вопыт развіцця прыродазнаўчых навук, а Д. сац. жыцця звяртаецца да вывучэння асаблівых рыс чалавечага грамадства, суадносін суб’ектыўнага і аб’ектыўнага ў гісторыі, сац. прагрэсу, узаемаадносін грамадства і прыроды, грамадства і асобы і інш. Яна ўключае таксама тэарэт. праблемы пазнання, якое заснавана на прынцыпе адлюстравання і дыялектычную логіку.

Літ.:

Гегель Г.В.Ф. Наука логики: Пер. с нем. Т. 1—3. М., 1970—72;

Ленін У.І. Філасофскія сшыткі // Тв. Т. 38 (Полн. собр. соч. Т. 29);

Современные зарубежные концепции диалектики: Критич. очерки. М., 1987;

Ильенков Э.В. Философия и культура. М., 1991.

В.​І.​Боўш.

т. 6, с. 311

НАДЗЕ́ЛЬНАЕ ЗЕМЛЕЎЛАДА́ННЕ,

сістэма сялянскага ўладання зямлёй у Рас. імперыі ў 2-й пал. 19 — пач. 20 ст. Утварылася ў выніку сялянскай рэформы 1861, дзяржаўных сялян рэформы 1866—67, чыншавай рэформы 1886, рэформ удзельных сялян і інш. З пераходам сялян на выкуп, зацвярджэннем выкупных і люстрацыйных актаў надзельныя (гл. Надзел) і частка арандаваных зямель сталі іх уладаннямі. Уласнікам гэтай зямлі да сталыпінскай аграрнай рэформы была дзяржава. Н.з. захоўвала напаўпрыгонніцкі характар. Продаж і дарэнне надзельнай зямлі былі вельмі абмежаваныя. Сялянам забаранялася закладваць яе нават пасля выкупу. У той жа час сял. надзельныя ўчасткі свабодна адчужаліся для дзярж. і грамадскіх патрэб. Усё гэта стрымлівала развіццё капіталіст. адносін у сельскай гаспадарцы. Н.з. існавала ў абшчыннай і падворнай формах. Падворная форма яго панавала ў Прыбалтыцы, зах. і цэнтр. паветах Беларусі, на Правабярэжнай Украіне, у Бесарабіі, Каралеўстве Польскім. У астатніх рэгіёнах еўрап. Расіі панавала абшчыннае землеўладанне. Памеры Н.з. ў розных катэгорый сялян былі неаднолькавыя. У 1905 у б. дзярж. сялян надзел на двор у сярэднім дасягаў 12,5 дзес., а ў б. памешчыцкіх сялян — 6,7 дзес. У сярэднім на памешчыцкую латыфундыю ў еўрап. Расіі прыпадала 2,2 тыс. дзес., а на сял. двор — 11,1 дзес. зямлі пры тым, што мінімальныя патрэбы сял. гаспадаркі мог забяспечыць надзел, не меншы як 15 дзес. На пач. 20 ст. з 12,3 млн. сял. двароў 6,2 млн. мелі да 8 дзес. зямлі, а 2,2 млн. — больш за 15 дзес. Паскораны працэс разлажэння сялянства вёў да малазямелля асн. масы сялян, якое ўзмацнялася натуральным ростам сял. насельніцтва, і надзел часта не мог пракарміць сял. сям’ю. Пашыралася арэнда зямлі, найперш памешчыцкай. Не менш за ​¹/₂ усёй зямлі, арандаванай сялянамі еўрап. часткі краіны, было сканцэнтравана ў руках сельскай буржуазіі (кулацтва), якая вяла на ёй капіталіст. гаспадарку. Рыначнай з’явай была купля зямлі сялянамі па-за межамі Н.з. Усяго з 1877 да 1905 сяляне еўрап. Расіі набылі 7,5 млн. дзес. зямлі, з якіх ад ​²/₃ да ​³/₄ знаходзілася ў руках кулацтва.

На Беларусі ў канцы 1870-х г. надзельныя землі (5535,7 тыс. дзес.) складалі ​¹/₃ ад агульнай плошчы прыдатнай зямлі, памешчыцкія і казённыя — больш за 75. У 1877 на сял. двор тут прыпадала ў сярэднім 14,6 дзес., у 1905—10,2, на памешчыка і памешчыцкі маёнтак адпаведна 1097 і 813 дзес. Пры гэтым надзел на двор б. казённых сялян у сярэднім быў роўны 17 дзес., а б. памешчыцкіх сялян — 13,8 дзес. У 1877 менш за 15 дзес. (мінімальна неабходны надзел) мелі 61,9% бел. сялянскіх гаспадарак, у 1905—84,5%. Ва ўсх. Беларусі (у Магілёўскай і бел. паветах Віцебскай губ.), дзе захаваліся абшчынныя надзельныя землі, перыядычны іх перадзел у асн. не ажыццяўляўся. У Магілёўскай губ. да 1904 агульныя і прыватныя перадзелы зямельныя не праводзіліся ў 88% сельскіх грамад. У Віцебскай губ. агульныя зямельныя перадзелы таксама адсутнічалі ў большасці паселішчаў з абшчынным землеўладаннем. Недахоп надзельнай зямлі абумоўліваў на Беларусі арэнду сялянамі пазанадзельных зямель. На мяжы 19—20 ст. арандаваныя бел. сялянамі пазанадзельныя землі складалі каля ​¹/₃ ад плошчы надзельнай зямлі. Адначасова бедната частку сваіх надзельных угоддзяў здавала ў арэнду заможным аднавяскоўцам. Побач з арэндай сяляне ўзмоцнена куплялі зямлю. На Беларусі плошча купленых імі зямель з 1877 да 1905 павялічылася ў 8,3 раза і дасягнула 21,5% ад надзельных. 82,1% сялянскай асабістай купленай зямлі тут належала заможным кулацкім вярхам вёскі. Землі, набытыя сял. грамадамі і т-вамі, таксама размяркоўваліся «па грошах» і траплялі пераважна ў рукі тых жа заможных гаспадароў. З часу сталыпінскай агр. рэформы сяляне атрымалі права выхаду з пазямельнай абшчыны і замацавання надзельнай зямлі ў асабістую ўласнасць без абмежаванняў. За час гэтай рэформы плошча Н.з. па Мінскай, Гродзенскай, Віленскай, Магілёўскай і Віцебскай губ. скарацілася: да 43% абшчынных зямель сталі асабістай уласнасцю сялян. За 1907—14 ў 5 зах. губернях 40 820 сялян прадалі свае атрыманыя ў асабістую ўласнасць надзелы (187,8 тыс. дзес.), якія перайшлі пераважна ў рукі сельскай буржуазіі. Н.з. ліквідавана пасля Кастр. рэвалюцыі 1917 у выніку нацыяналізацыі ўсёй зямлі.

Літ.:

Зайончковский П.А. Проведение в жизнь крестьянской реформы 1861 г. М., 1958;

Ленін У.І. Аграрнае пытанне ў Расіі к канцу XIX в. // Тв. Т. 15 (Полн. собр. соч. Т. 17);

Шабуня К.И. Аграрный вопрос и крестьянское движение в Белоруссии в революции 1905—1907 гг. Мн., 1962;

Панютич В.П. Социально-экономическое развитие белорусской деревни в 1861—1900 гг. Мн., 1990.

В.​П.​Панюціч, Ж.​Б.​Чэпа.

т. 11, с. 121