Verbum

МАТЭМА́ТЫКА (грэч. mathēmatikē ад mathēma веды, навука),

навука пра колькасныя адносіны і прасторавыя формы сапраўднага свету. Узнікла ў старажытнасці з практычных патрэб чалавека. У сувязі з развіццём і запатрабаваннямі тэхнікі і прыродазнаўства разнастайнасць колькасных адносін і прасторавых форм пастаянна пашыраецца і вызначэнне М. ўсё больш узбагачаецца. Паняцці М. абстрагаваныя ад якасных асаблівасцей з’яў і аб’ектаў, што надае агульнасць матэм. паняццям, дазваляе ўжываць іх да розных па сваёй прыродзе з’яў, да фіз., біял., тэхн. і інш. працэсаў. У М. шырока выкарыстоўваюцца працэсы абстрагавання розных ступеняў, а метады атрымання вынікаў заснаваны выключна на базе лагічных меркаванняў (законаў). Матэм. метады важныя ў механіцы, фізіцы, нябеснай механіцы. Выкарыстанне іх у біял. і гуманітарных навуках ажыццяўляецца пераважна праз кібернетыку (для гэтых навук істотнае значэнне мае матэматычная статыстыка). Важную ролю ў развіцці многіх галін навукі і тэхнікі адыгралі дыферэнцыяльныя ўраўненні і вылічальная матэматыка.

Пачатак развіцця М. адносяць да 6—5 ст. да н.э., калі сфармуляваны паняцці цэлага ліку, рацыянальнага дробу, адлегласці, плошчы, аб’ёму, створаны правілы дзеянняў з лікамі, вызначэння плошчаў фігур і аб’ёмаў цел (гл. Вавілона-асірыйская культура, Егіпет Старажытны, Грэцыя Старажытная). Назапашаны матэрыял паступова склаўся ў арыфметыку, вымярэнне плошчаў і аб’ёмаў садзейнічала станаўленню геаметрыі, метады арыфметычных вылічэнняў спарадзілі алгебру, а патрэбы астраноміі — трыганаметрыю. М. ў гэты перыяд яшчэ не была дэдуктыўнай навукай, а ўяўляла сабой збор правіл і прыкладаў рашэння асобных задач. Самастойнай навукай са сваім дакладна акрэсленым метадам і сістэмай асн. паняццяў М. становіцца да сярэдзіны 17 ст. Была створана дзесятковая сістэма лічэння (5 ст., Індыя), метад рашэння лінейных ураўненняў з 2 невядомымі. Узорам матэм. дэдуктыўна пабудаванай тэорыі стала эўклідава геаметрыя, з арыфметыкі паступова вылучылася лікаў тэорыя, створана сістэматызаванае вучэнне аб ліках і вымярэннях, фарміруецца паняцце сапраўднага ліку, развіваецца плоская і сферычная трыганаметрыя, уводзіцца паняцце трыганаметрычных функцый (гл. ў арт. Арабская культура). Значны ўплыў на развіццё М. зрабілі працы Піфагора Самоскага, Эўдокса Кнідскага, Эўкліда, Архімеда, Дыяфанта Александрыйскага, Герона Александрыйскага, Арыябхаты, Ф.Віета, Дж.​Кардана і інш. У 17—18 ст. у М. ўводзяцца ідэі руху і змены ў форме пераменных велічынь і функцыянальнай залежнасці паміж імі, ствараецца аналітычная геаметрыя, дыферэнцыяльнае злічэнне, інтэгральнае злічэнне. У 18 ст. ўзнікаюць тэорыя дыферэнцыяльных ураўненняў, дыферэнцыяльная геаметрыя, варыяцыйнае злічэнне і інш. У 19 — пач. 20 ст. М. ўзнімаецца на новыя ступені абстракцыі, ствараюцца неэўклідавы геаметрыі. Развіццё М. гэтага перыяду звязана з імёнамі І.Ньютана, Г.В.Лейбніца, Р.Дэкарта, Б.Паскаля, П.Ферма, сям’і Бернулі, Ж.Л.Лагранжа, Н.Г.Абеля, Ж.Б.Ж.Фур’е, Э.Галуа, Я.Больяй, К.Ф.Гаўса, Г.Ф.Б.Рымана, К.Т.В.Веерштраса, Ж.Адамара, Ж.А.Пуанкарэ, Л.Эйлера, М.І.Лабачэўскага, П.Л.Чабышова, А.А.Маркава, М.В.Астраградскага, А.М.Ляпунова, У.А.Сцяклова і інш. У 20 ст. з’явіліся ці былі развіты новыя матэм. дысцыпліны і кірункі М.: праектыўная геаметрыя, мностваў тэорыя, функцыянальны аналіз, матэматычная логіка, груп тэорыя, імавернасцей тэорыя, тапалогія і інш. Лікавыя метады М. склалі яе самастойную галіну — вылічальную М., стымулявалі развіццё вылічальных машын. «Матэматызацыя» навукі, хуткае развіццё выліч. тэхнікі стымулявалі паяўленне такіх матэм. дысцыплін, як гульняў тэорыя, інфармацыі тэорыя, графаў тэорыя, дыскрэтная матэматыка, тэорыя аптымальнага кіравання. Значным укладам у М. былі працы Н.Бурбакі, Г.Кантара, М.У.Келдыша, А.М.Калмагорава, М.М.Крылова, М.М.Багалюбава, М.А.Лаўрэнцьева, Л.С.Пантрагіна і інш.

На Беларусі даследаванні па М. пачаліся ў 1920-я г., праводзіліся ў БДУ, БСГА, АН Беларусі, Віцебскім пед. ін-це і інш. Асн. кірункамі даследаванняў былі: дыферэнцыяльныя ўраўненні; геаметрыя, алгебра; тэорыі функцый рэчаіснай і комплекснай пераменных; лікавыя і графічныя метады, набліжаныя метады ў алгебры; тэорыя імавернасцей і матэм. статыстыка, матэм. апрацоўка вынікаў вымярэнняў; матэм. фізіка, матэм. метады ў механіцы; метадалогія навукі, філас. пытанні М. Ішло стварэнне бел. навуковай тэрміналогіі. У пасляваен. гады цэнтрам матэм. даследаванняў сталі Інстытут матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ. Асн. кірункі даследаванняў: алгебра, выліч. матэматыка, геаметрыя, дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні, матэм. кібернетыка, тэорыя лікаў, матэм. фізіка, праграмнае забеспячэнне ЭВМ, функцыянальны аналіз. Дасягненні бел. матэматыкаў у гэтых кірунках атрымалі міжнар. прызнанне. Значны ўклад у развіццё М. на Беларусі зрабілі М.П.Яругін, У.І.Крылоў, С.А.Чуніхін, Ф.​Дз.Гахаў, Дз.А.Супруненка, Я.А.Барбашын, У.Г.Спрынджук і інш. У Мінску выдаюцца часопісы: «Дифференциальные уравнения» (з 1965), «Весці Нац. АН Беларусі. Сер. фіз.-матэм. навук» (з 1965; гл. «Весці Акадэміі навук Беларусі»), «Веснік БДУ. Сер. 1. Фізіка. Матэматыка. Механіка» (з 1969; гл. «Веснік Беларускага дзяржаўнага універсітэта»), «Труды Института математики Нац. АН Беларуси» (з 1998). Створана Бел. матэм. т-ва (1993).

Літ.:

Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 1—3. М., 1956;

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?: Пер. с англ. 2 изд. М., 1967;

Рыбников К.А. История математики. 2 изд. М., 1974;

Бурбаки Н. Очерки по истории математики: Пер. с фр. М., 1963;

Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики: Пер. с нем. 3 изд. М., 1978;

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1—3. М., 1970—72;

История отечественной математики. Т. 1—4. Киев, 1966—70.

І.​В.​Гайшун.

т. 10, с. 211

АКСІЯМАТЫ́ЧНЫ МЕ́ТАД,

спосаб пабудовы навук. тэорыі ў выглядзе сістэмы пастулатаў (аксіём) і правіл вываду (аксіяматыкі), што дае магчымасць логікавымі разважаннямі атрымліваць сцвярджэнні (тэарэмы) дадзенай тэорыі.

Узнік у работах стараж.-грэч. матэматыкаў. Напр., у «Асновах» Эўкліда праведзена ідэя атрымання асн. зместу геаметрыі з невялікай колькасці аксіём, праўдзівасць якіх лічыцца відавочнай. Адкрыццё ў 19 ст. неэўклідавых геаметрый стымулявала ўзнікненне праблем больш агульнага характару (напр., несупярэчлівасці, паўнаты і незалежнасці той ці інш. сістэмы аксіём). Гэта адкрыла шлях да фармалізаванага развіцця тэорый: пошуку інш. сістэм паняццяў (тэорый, галін ведаў), якія падпарадкоўваюцца тым жа аксіёмам, выяўлення новых інтэрпрэтацый пэўнай сістэмы аксіём, што дало магчымасць адкрываць новыя навук. факты. Д.Гільберт і яго школа спадзяваліся на аснове аксіяматычнага метаду вырашыць гал. пытанні абгрунтавання матэматыкі. Аднак вынікі аўстр. і амер. матэматыка і логіка К.​Гёдэля (1931) выявілі неажыццявімасць гэтай праграмы, напр. тэарэма аб непаўнаце арыфметыкі сведчыць аб абмежаванасці аксіяматычнага метаду. У 20 ст. дзякуючы развіццю матэматычнай логікі стала магчымым аксіяматызаваць тыя сродкі логікі, з дапамогай якіх выводзяцца адны сцвярджэнні аксіяматычнай тэорыі з інш. яе сцвярджэнняў, што мае істотнае значэнне для аўтаматызацыі разумовай працы.

Сучасныя навук. тэорыі, пабудаваныя пры дапамозе аксіяматычнага метаду, наз. дэдуктыўнымі. Усе паняцці такіх тэорый (акрамя фіксаванай колькасці першапачатковых) уводзяцца пры дапамозе вызначэнняў, якія выражаюць іх змест праз першапач. паняцці. У той ці інш. меры дэдуктыўныя доказы, характэрныя для аксіяматычнага метаду, выкарыстоўваюцца ў многіх навуках, найб. у матэматыцы, логіцы, некаторых раздзелах фізікі, біялогіі і інш. Тэорыі, пабудаваныя пры дапамозе аксіяматычнага метаду, нярэдка маюць выгляд фармалізаваных сістэм, якія даюць дакладнае апісанне лагічных сродкаў вываду тэарэм з аксіём. Доказ такой тэорыі ўяўляе сабой паслядоўнасць формул, кожная з якіх з’яўляецца аксіёмай або атрымліваецца з папярэдніх формул па адным з прынятых правіл вываду. У адрозненне ад такіх фармальных доказаў уласцівасці самой фармальнай сістэмы ў цэлым вывучаюцца змястоўнымі сродкамі метатэорыі. Асн. патрабаванні да аксіяматычных фармальных сістэм: несупярэчлівасць, паўната, незалежнасць аксіём. Аксіяматычны метад — адзін з метадаў пабудовы навук. ведаў, які мае абмежаванае выкарыстанне, бо патрабуе высокага ўзроўню развіцця навук. тэорыі. Нават некаторыя дастаткова багатыя навук. тэорыі (напр., арыфметыка натуральных лікаў) не дапускаюць поўнай аксіяматызацыі. Гэта сведчыць аб немагчымасці поўнай фармалізацыі навук. ведаў.

Літ.:

Садовский В.Н. Аксиоматический метод построения научного знания // Философские вопросы современной формальной логики. М., 1962;

Столл Р. Множества. Логика: Аксиоматич. теории.: Пер. с англ. М., 1968;

Новиков П.С. Элементы математической логики. 2 изд. М., 1973.

Р.​Т.​Вальвачоў, У.​К.​Лукашэвіч.

т. 1, с. 207

ПРЫЦЯГНЕ́ННЕ,

гравітацыя, універсальнае ўзаемадзеянне паміж любымі відамі матэрыяльных аб’ектаў, абумоўленае іх масамі і ўсімі відамі энергіі, што існуюць у фіз. сістэме; імкнецца зменшыць адлегласць паміж целамі. Найб. слабае з вядомых тыпаў фундаментальных узаемадзеянняў (гл.Гравітацыйнае ўзаемадзеянне), але з прычыны неабмежаванага радыуса дзеяння адыгрывае асн. ролю ў макраскапічных маштабах: вызначае сілу цяжару (вагу цела), паскарэнне свабоднага падзення, рух і будову нябесных цел, структуру і эвалюцыю зорак, галактык і ўсяго Сусвету.

П. ажыццяўляецца пры дапамозе гравітацыйнага поля, якое аднолькава дзейнічае на розныя целы незалежна ад іх масы, хім. саставу і інш. Асн. характарыстыка матэрыяльнага аб’екта як крыніцы П. — яго гравітацыйная маса. Для слабых гравітацыйных палёў і нерэлятывісцкіх скарасцей руху цел выконваецца сусветнага прыцягнення закон. Класічная тэорыя П. дае магчымасць тлумачыць многія з’явы на Зямлі і ў космасе. рашаць важныя прыкладныя задачы. Аднак яна не тлумачыць прыроду П. і рух перыгелія планеты Меркурый, не ўзгадняецца са спец. адноснасці тэорыяй і непрыдатная ў выпадку моцных палёў П. і руху часціц у гэтых палях са скарасцямі, блізкімі да скорасці святла. Рэлятывісцкае абагульненне ньютанавай тэорыі П. — агульная тэорыя адноснасці створана А.Эйнштэйнам (1915—16). Агульнарэлятывісцкія ўраўненні поля П. (ураўненні Эйнштэйна) звязваюць геам. характарыстыкі прасторы-часу з фіз. характарыстыкамі гравітуючай матэрыі. Паводле эйнштэйнаўскай тэорыі П. гравітацыя ёсць праяўленне скрыўлення прасторы-часу (адхіленне яе геаметрыі ад эўклідавай), якое выклікаецца масай рэчыва і ўсімі ’відамі энергіі, што існуюць у гравітуючай сістэме. Таму П. залежыць не толькі ад размяшчэння цел у прасторы, але і ад характару іх руху, размеркавання ціску і нацяжэнняў у гэтых целах, наяўнасці эл.-магн. і інш. фіз. палёў. З агульнай тэорыі адноснасці вынікае, што рухомая (напр., вярчальная) матэрыяльная сістэма стварае дадатковае поле П., аналагічнае магн. полю рухомых эл. зарадаў, а змяненні (хвалі) гравітацыйнага поля распаўсюджваюцца ў вакууме са скорасцю святла. Таму шэраг важнейшых вывадаў тэорыі Эйнштэйна (існаванне гравітацыйнага выпрамянення, гравітацыйнага радыуса, чорных дзір і інш.) якасна адрозніваецца ад вывадаў ньютанаўскай тэорыі П. Асн. палажэнні і назіральныя прадказанні эйнштэйнаўскай тэорыі П. пацверджаны астр. назіраннямі і эксперыментамі ў зямных умовах; агульная тэорыя адноснасці з’яўляецца тэарэт. фундаментам сучасных нябеснай механікі, астраметрыі, астрафізікі і касмалогіі.

Літ.:

Богородский А.Ф. Всемирное тяготение. Киев, 1971;

Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд. М., 1971;

Вейнберг С. Гравитация и космология: Пер. с англ. М., 1975;

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация: Пер. с англ. Т. 1—3. М., 1977;

У илл К.М. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. М., 1985.

М.​М.​Касцюковіч.

т. 13, с. 86

ДЭКА́РТ ((Descartes) Рэнэ) (латынізаванае Картэзій; Renatus Cartesius; 31.3.1596, Ла-Э, цяпер г. Ла-Э-Дэкарт, Францыя — 11.2.1650),

французскі філосаф, матэматык і прыродазнавец. Адукацыю атрымаў у езуіцкім калегіуме. З 1629 жыў у Нідэрландах, дзе выйшлі яго гал. творы — «Геаметрыя» і «Роздум аб метадзе» (абедзве 1637), «Разважанні аб першай філасофіі» (1641), «Пачаткі філасофіі» (1644), з 1649 у Стакгольме. У аснове філас. сістэмы Д. — дуалізм душы і цела, духоўнай і матэрыяльнай субстанцый, якія сталі асновай для разумення феномена т.зв. «гнасеалагічнага цвішэнізму» — стану паміж жыццём і смерцю, розумам і целам, логікай і страсцю, дабром і злом, бездухоўнасцю і маральнасцю, дэмакратыяй і дэспатызмам, свабодай і дэтэрмінацыяй і інш. Гал. і неад’емнай уласцівасцю матэрыі лічыў працягласць, або прастору, а гал. атрыбутам духоўнай субстанцыі — мысленне. З факта відавочнасці мыслення, або свядомасці чалавека, на думку Д., можна непасрэдна вывесці заключэнне пра сваё існаванне: «Я мыслю, значыць я існую». У гнасеалогіі Д. — пачынальнік рацыяналізму. Гал. ролю ў працэсе пазнання ён надаваў дэдукцыі, якая абапіраецца на цалкам відавочныя, інтуітыўна спасціжымыя аксіёмы. У матэматыцы ён — адзін са стваральнікаў аналітычнай геаметрыі, увёў літарныя абазначэнні, паняцці пераменнай велічыні і функцыі, сістэму каардынат; у механіцы сцвярджаў адноснасць руху і спакою, сфармуляваў агульныя законы дзеяння і процідзеяння, захавання пэўнай колькасці энергіі, даў паняцце імпульсу сілы; у касмалогіі выказаў ідэю натуральнага развіцця Сонечнай сістэмы і ўтварэння нябесных цел у выніку віхрападобнага руху часцінак матэрыі вакол цэнтра — Сонца (віхры Д.); у фізіялогіі раскрыў сутнасць адвольных і міжвольных рухаў і даў навук. апісанне рэфлектарнага акта (дуга Д.). Ідэі Д. сталі тэарэт. крыніцай картэзіянства, былі прадметам усебаковага даследавання і крытычнага аналізу Дж.​Лока, Ж.​Ламетры, І.​Канта, Б.​Спінозы і інш. Даследаванні Д. ў галіне матэматыкі і фармалізацыі працэсу пазнання разам з вынайдзенай Г.​Лейбніцам дваічнай сістэмай злічэння пакладзены ў аснову тэорыі сучаснай выліч. тэхнікі і інфарматыкі.

На Беларусі філас., прыродазнаўчыя і гнесеалагічныя ідэі атрымалі шырокае распаўсюджанне ў 2-й пал. 18 ст. ва ўмовах пераадолення сярэдневяковай схаластыкі, пашырэння ідэалогіі Асветніцтва. Асн. элементы філас. сістэмы Д. ўключаліся ў праграмы лекцыйных курсаў па філасофіі, абмяркоўваліся ў навук. і перыядычных выданнях.

С.​Шадурскі ў сваіх кнігах, выдадзеных у Навагрудку і Вільні, абвясціў Д. найвышэйшым навук. аўтарытэтам, падзяляў яго прынцыпы і пункт гледжання пра існаванне дзвюх субстанцый. У інтэрпрэтацыі А.​Скарульскага рацыяналізм Д. і сфармуляваныя ім крытэрыі ісціны набылі тэалагічную афарбоўку. Крытыкавалася яго ідэя прыроджаных ідэй і інтуітыўнай свядомасці. На дэдуктыўную рацыяналістычную логіку Д. спасылаўся Б.​Дабшэвіч у сваіх разважаннях аб крытэрыі ісціны. Да механістычнай карціны свету, распрацаванай Д., схіляўся А.​Доўгірд. У абарону ідэй Д. выступаў К.​Нарбут, што сведчыць аб ломцы і трансфармацыі айчыннай эклектыкі, пераходзе мысліцеляў Беларусі ад сярэдневяковага перыпатэтызму да філасофіі і навукі новага часу.

Тв.:

Рус. пер. — Соч. Т. 1—2. М., 1989—94.

Літ.:

Спиноза. Принципы философии Декарта. М., 1926;

Ляткер Я.А. Декарт. М., 1975;

Матвиевская Г.П. Рене Декарт, 1596—1650. М., 1976;

Памятники философской мысли Белоруссии XVII — первой половины XVIII в. Мн., 1991;

Двенадцатые республиканские чтения «Великие преобразователи естествознания Декарт и Лейбниц»;

Тез. докл. Мн., 1996.

С.​Ф.​Дубянецкі.

т. 6, с. 336

А́ЛГЕБРА,

навука пра сістэмы аб’ектаў той ці інш. прыроды, у якіх устаноўлены аперацыі, па сваіх уласцівасцях падобныя на складанне і множанне лікаў (алг. аперацыі). Задачы і метады алгебры ствараліся паступова, у выніку пошукаў агульных прыёмаў рашэння аднатыпных арыфм. задач (пераважна састаўлення і рашэння ўраўненняў).

Вялікі ўплыў на развіццё алг. ідэй і сімволікі зрабіла «Арыфметыка» Дыяфанта (3 ст.). Тэрмін «алгебра» паходзіць ад назвы твора Мухамеда аль-Харэзмі «Альджэбр аль-мукабала» (9 ст.), які мае агульныя метады рашэння алгебраічных ураўненняў (АУ) 1-й і 2-й ступеняў. У канцы 15 ст. замест грувасткіх слоўных апісанняў алг. дзеянняў у матэм. творах з’яўляюцца знакі «+» і «-», потым знакі ступеняў, кораняў, дужкі. У канцы 16 ст. Ф.Віет першы выкарыстаў літарныя абазначэнні. Да сярэдзіны 17 ст. ў асн. склалася сучасная алг. сімволіка. У далейшым погляд на алгебру мяняўся. Алгебра 17—18 ст. займалася літарнымі вылічэннямі (рашэнне АУ, тоеснае пераўтварэнне формул і інш.) у адрозненне ад арыфметыкі, якая аперыруе канкрэтнымі лікамі. Да сярэдзіны 18 ст. алгебра склалася прыблізна ў аб’ёме цяперашняй т.зв. элементарнай алгебры. Алгебра 18—19 ст. з’яўляецца ў асн. алгебрай мнагачленаў. Першай гіст. задачай алгебры было рашэнне АУ з адным невядомым. У 16 ст. італьян. матэматыкамі была знойдзена формула для рашэння ўраўненняў 3-й ступені (формула Кардана), потым метад рашэння ўраўненняў 4-й ступені (метад Ферары). Амаль 3 стагоддзі вёўся пошук формулы для рашэння ўраўненняў вышэйшай ступені. У 17 ст. ўпершыню выказана А.​Жырарам, а ў канцы 18 ст. К.Гаўсам даказана асн. тэарэма алгебры аб існаванні камплекснага кораня для адвольных АУ з камплекснымі каэфіцыентамі. У 1824 Н.Абель даказаў, што ўраўненне вышэй 4-й ступені ў агульным выпадку ў радыкалах невырашальнае, а ў 1830 Э.Галуа знайшоў крытэрый вырашальнасці ў радыкалах АУ. Разам з тэарэмай АУ з адным невядомым разглядаліся сістэмы АУ з многімі невядомымі, у прыватнасці сістэмы лінейных ураўненняў, у сувязі з чым узніклі паняцці матрыцы і дэтэрмінанта. З сярэдзіны 19 ст. даследаванні ў алгебры паступова пераносяцца з тэорыі АУ да вывучэння адвольных алг. аперацый. Абстрактнае паняцце алг. аперацыі ўзнікла ў сярэдзіне 19 ст. ў сувязі з даследаваннем прыроды камплексных лікаў, а таксама ў выніку з’яўлення прыкладаў алг. аперацый над элементамі зусім інш. прыроды, чым лікі, — складанне і множанне матрыц і інш.

У пачатку 20 ст. алгебра стала разглядацца як агульная тэорыя алг. аперацый на аснове аксіяматычнага метаду (сфарміравалася пад уплывам прац Ц.Гільберта, Э.​Штэйніца, Э.​Арціна, Э.​Нётэр і інш.). Сучасная алгебра вывучае мноствы адвольнай прыроды з зададзенымі на іх алг. аперацыямі (г.зн. алгебра ці універсальныя алгебра). Доўгі час вывучаліся толькі некалькі тыпаў універсальных алгебраў — групы, кольцы, лінейныя прасторы. Пазней пачалося вывучэнне абагульненняў паняцця групы — паўгрупы, квазігрупы і лупы. Разам з асацыятыўнымі кольцамі і алгебрай пачалі вывучацца і неасацыятыўныя кольцы і алгебра. Асацыятыўна-камутатыўныя кольцы і палі з’яўляюцца асн. аб’ектам вывучэння камутатыўнай алгебры, з якой цесна звязана алгебраічная геаметрыя. Важным тыпам алгебры з’яўляюцца структуры. Лінейныя прасторы, модулі, а таксама іх лінейныя пераўтварэнні і сумежныя пытанні вывучае лінейная алгебра, часткай якой з’яўляюцца тэорыі лінейных ураўненняў і матрыц. Да лінейнай алгебры прымыкае полілінейная алгебра. Першыя працы па агульнай тэорыі адвольных універсальных алгебраў належаць Г.​Біркгафу (1830-я г.). У тыя ж гады А.​І.​Мальцаў і А.​Тарскі заклалі асновы тэорыі мадэляў — мностваў з зададзенымі на іх адносінамі. У выніку цеснага збліжэння тэорыі універсальных алгебраў з тэорыяй мадэляў узнік новы раздзел алгебры, сумежны з алгебрай і матэматычнай логікай, — тэорыя алг. сістэм, якая вывучае мноствы з зададзенымі на іх алг. аперацыямі і адносінамі (гл. Алгебра логікі). Дысцыпліны, сумежныя з алгебрай і інш. часткамі матэматыкі, вызначаюцца ўнясеннем ва універсальныя алгебры дадатковых структур, узгодненых з алг. аперацыямі і адносінамі: тапалагічная алгебра, у т. л. тапалагічныя групы і групы Лі, тэорыя ўнармаваных кольцаў, дыферэнцыяльная алгебра, тэорыі розных упарадкаваных алгебраў. Да сярэдзіны 1950-х г. сфарміравалася гамалагічная алгебра, карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.

Алг. паняцці і метады выкарыстоўваюцца ў геаметрыі, тэорыі лікаў, функцыян. аналізе, тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, метадах вылічэнняў і інш. Алгебра мае вял. дачыненне да фізікі (выяўленні груп у квантавай фізіцы), крышталяграфіі (дыскрэтныя групы), кібернетыкі (тэорыі аўтаматаў і кадзіравання), матэм. эканомікі (лінейныя няроўнасці) і інш. Сістэм. даследаванні па алгебры на Беларусі пачалі Дз.А.Супруненка (1945) і С.А.Чуніхін (1953). Вядуцца пераважна ў Ін-це матэматыкі АН Беларусі, БДУ, Гомельскім ун-це ў школах У.П.Платонава, А.Я.Залескага, Л.А.Шамяткова.

Літ.:

Математика, её содержание, методы и значение. Т. 1—3. М., 1956;

Бурбаки Н. Очерки по истории математики: Пер. с фр. М., 1963.

Р.​Т.​Вальвачоў.

т. 1, с. 233