Verbum

ліміт,

гранічная норма.

т. 9, с. 260

ліміт,

адно з паняццяў матэматычнага аналіза.

т. 9, с. 260

ГРАВІТАЦЫ́ЙНЫ КАЛА́ПС,

працэс хуткага сціскання масіўных астрафізічных аб’ектаў пад уздзеяннем уласных сіл прыцягнення. Становіцца магчымым, калі гравітацыйнае поле мацнейшае за сілы ўнутранага ціску; набывае катастрафічныя рысы на заключнай стадыі тэрмаядз. эвалюцыі. Канчатковы вынік гравітацыйнага калапсу (белы карлік, нейтронная зорка, чорная дзіра) залежыць ад пачатковай масы аб’екта, які калапсуе.

У 1930-я г. ўстаноўлена, што для аб’ектаў, якія вычарпалі сваё тэрмаядз. паліва, існуюць крытычныя значэнні масы (ліміт Чандрасекара для белых карлікаў, ліміт Опенгеймера—Волкава для нейтронных зорак), залежныя ад хім. саставу і фіз. стану рэчыва, пасля перавышэння якіх устойлівыя канфігурацыі немагчымыя: пачынаецца бязмежнае гравітацыйнае сцісканне цела. Гравітацыйны калапс можа спыніцца за кошт выбуховага выкіду часткі рэчыва (да значэння масы, ніжэйшага за крытычнае), што суправаджаецца ўспышкай звышновай зоркі. Несупынны рэлятывісцкі гравітацыйны калапс вядзе да ўтварэння чорнай дзіры.

Літ.:

На переднем крае астрофизики: Пер. с англ. М., 1979;

Шапиро С.Л., Тьюколски С.А. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды: Пер. с англ. Ч. 1—2. М., 1985.

М.М.Касцюковіч.

т. 5, с. 384

ВЫТВО́РНАЯ функцыі, ліміт адносін прырашчэння функцыі $f\text{(}x\text{)}$ да прырашчэння аргумента; адно з асн. паняццяў дыферэнцыяльнага злічэння. Характарызуе хуткасць змены функцыі пры змене яе аргумента. Абазначаецца $f\text{(′}x\text{)}$, $y\text{′(}x\text{)}$, $\frac{df\text{(}x\text{)}}{dx}$ . Вытворная функцыі $f\text{(}x\text{)}$ у пункце x₀ роўная вуглавому каэфіцыенту $tg\alpha$ датычнай да лініі $y=f\text{(}x\text{)}$ у яе пункце M_o з абсцысай x_o.

Паводле вызначэння $f\text{′(}x\text{)}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}$ , дзе x₀ — пункт, у некаторым наваколлі якога вызначана функцыя $f\text{(}x\text{)}$; $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$ — прырашчэнне аргумента; $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x_0\right)$ — адпаведнае прырашчэнне функцыі. Калі гэты ліміт канечны, то функцыя $f\text{(}x\text{)}$ наз. дыферэнцавальнай у пункце x₀. Аперацыя знаходжання вытворнай наз. дыферэнцаваннем. Вытворнай ад y′ (першай вытворнай) ёсць другая вытворная (y″) і г.д. Для функцый некалькіх зменных вызначаюцца частковыя вытворныя — вытворныя па аднаму з аргументаў пры ўмове пастаянства ўсіх астатніх аргументаў.

Паняццем вытворнай карыстаюцца пры рашэнні многіх задач матэматыкі, фізікі, тэхнікі і інш. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математнка. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.А.Гусак.

т. 4, с. 326

ВЫ́ЗНАЧАНЫ ІНТЭГРА́Л,

канечны ліміт інтэгральнай сумы функцыі $f\text{(}x\text{)}$ на адрэзку [a, b]; адно з асн. паняццяў матэм. аналізу. Абазначаецца ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}f\text{(}x\text{)}dx$ .

Геаметрычна вызначаны інтэграл выражае плошчу «крывалінейнай трапецыі», абмежаванай адрэзкам [a, b] восі Ox, графікам функцыі 𝑓(x) і ардынатамі пунктаў графіка, якія маюць абсцысы a і b.

Паводле вызначэння вызначаны інтэграл ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}f\text{(}x\text{)}dx=\underset{\mathrm{\lambda }\to 0}{\overset{}{lim}}\sum _{k-1}^{n}f\text{′(}{x}_k\text{′)}\mathrm{\Delta }{x}_k$ , дзе $\mathrm{\Delta }{x}_k=x_k-x_{k-1}$ — даўжыні элементарных адрэзкаў, якія атрымліваюцца ў выніку падзелу адрэзка [a, b] на n элементарных адрэзкаў пунктамі $a=x_0<x_1<x_2<\text{...}<x_n=b(k=\text{1,2,...,}n)$ ; λ — даўжыня найбольшага адрэзка $\mathrm{\Delta }{x}_k$; $x_k\text{′}$ — некаторы пункт адрэзка $\left[x_{k-1}\text{,}{x}_k\right]$. Асн. сродак вылічэння вызначанага інтэграла — формула Ньютана—Лейбніца ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}f\text{(}x\text{)}dx=F\text{(}b\text{)}-F\text{(}a\text{)}$ , дзе $F\text{(}x\text{)}$ — любая першаісная для $f\text{(}x\text{)}$, г.зн. $F\text{′(}b\text{)}=f\text{(}x\text{)}$ .

Вызначаны інтэграл мае разнастайныя дастасаванні ў матэматыцы, фізіцы, механіцы, біялогіі, тэхніцы. З яго дапамогай вылічаюць плошчы крывалінейных фігур, паверхняў, даўжыні дуг крывых ліній, аб’ёмы цел, каардынаты цэнтра цяжару, моманты інерцыі, шлях цела, работу і інш.

А.А.Гусак.

т. 4, с. 308

АСАБЛІ́ВЫ ПУНКТ у матэматыцы, 1) Асаблівы пункт крывой, зададзенай ураўненнем $\mathrm{F}\text{(x, y)}=0$, пункт M₀ (x₀, y₀), у якім роўныя нулю абедзве першыя частковыя вытворныя функцыі $\mathrm{F}\text{(x, y)}$ (напр., пачатак каардынат пункт 0). Асаблівы пункт бывае: двайны пры ўмове, што не ўсе другія частковыя вытворныя роўныя нулю; трайны, калі разам з першымі вытворнымі ператвараюцца ў нуль у пункце M₀ і ўсе другія вытворныя, але не ўсе трэція вытворныя роўныя нулю; і гэтак далей.

2) Асаблівы пункт дыферэнцыяльнага ўраўнення — пункт, у якім адначасова роўныя нулю лічнік і назоўнік правай часткі ўраўнення $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{P}\text{(x,y)}}{\mathrm{Q}\text{(x,y)}}$ , дзе P і Q — неперарыўна дыферэнцавальныя функцыі (гл. Дыферэнцыяльныя ўраўненні). У залежнасці ад паводзін інтэгральных крывых у наваколлі Асаблівага пункта адрозніваюць: вузел, сядло, фокус, цэнтр і інш. 3) Асаблівы пункт. адназначнай аналітычнай функцыі — пункт, у якім парушаецца аналітычнасць функцыі (гл. Аналітычныя функцыі). Адрозніваюць асаблівы пункт ізаляваны (у наваколлі асаблівага пункта няма іншых асаблівых пунктаў), папраўны (ізаляваны асаблівы пункт з канечным лімітам $\underset{\mathrm{z}\to \mathrm{a}}{\overset{}{lim}}\mathrm{f}\text{(}\mathrm{z}\text{)}=\mathrm{b}$ ), полюс або неістотна асаблівы пункт (ізаляваны асаблівы пункт і $\underset{\mathrm{z}\to \mathrm{a}}{\overset{}{lim}}\mathrm{f}\text{(}\mathrm{z}\text{)}=\mathrm{\infty }$ , істотна асаблівы пункт (ліміт не існуе). Для мнагазначных аналітычных функцый паняцце асаблівага пункта больш складанае. Кожны асаблівы пункт з’яўляецца перашкодай пры аналітычным прадаўжэнні ўздоўж крывой, якая праходзіць праз яго.

В.І.Громак.

т. 2, с. 18