Verbum

ВЕ́КТАРНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, у якім вывучаюцца дзеянні над вектарамі і іх уласцівасці. Яго развіццё ў 19 ст. выклікана патрэбамі механікі і фізікі. Пачалося з даследаванняў У.​Гамільтана і Г.​Грасмана па гіперкамплексных ліках. Падзяляецца на вектарную алгебру і вектарны аналіз.

Вектарная алгебра разглядае лінейныя дзеянні над вектарамі (складанне, адніманне вектараў, множанне вектараў на лік), а таксама скалярны здабытак, вектарны здабытак і змешаны здабытак вектараў. Сума ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}}$ вектараў $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ і $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ — вектар, праведзены з пачатку $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ да канца $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, калі канец $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ і пачатак $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ супадаюць. Складанне вектараў мае ўласцівасці: ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ ; ${\displaystyle \text{(}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\text{)}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\text{(}\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}\text{)}}$ ; ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ ; ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a}}+\text{(−}\overrightarrow{\mathrm{a}}\text{)}=\overrightarrow{0}}$ ; дзе $\overrightarrow{0}$ — нулявы вектар, $\text{−}\overrightarrow{\mathrm{a}}$ — вектар, процілеглы вектару $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (гл. Асацыятыўнасць, Камутатыўнасць). Рознасць $\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}$ вектараў $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ і $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ — вектар $\overrightarrow{\mathrm{x}}$ такі, што ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{x}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ ; рознасць $\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ёсць вектар, які злучае канец вектара $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ з канцом вектара $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, калі яны адкладзены з аднаго пункта. Здабыткам вектара $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ на лік α наз. вектар α $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, модуль якога роўны ${\displaystyle \text{|}\mathrm{\alpha }\text{‖}\overrightarrow{\mathrm{a}}\text{|}}$ і які накіраваны аднолькава з вектарам $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, калі α > 0, і процілеглы пры α < 0. Калі α = 0 ці $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{0}$, то α $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$. Уласцівасці множання вектара на лік: ${\displaystyle \alpha \text{(}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\text{)}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{a}}+\alpha \overrightarrow{\mathrm{b}}}$ ; ${\displaystyle \text{(}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\text{)}\alpha =\overrightarrow{\mathrm{a}}\alpha +\overrightarrow{\mathrm{b}}\alpha }$ ; ${\displaystyle \alpha \text{(}\beta \overrightarrow{\mathrm{a}}\text{)}=\text{(}\alpha \beta \text{)}\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ ; ${\displaystyle 1\bullet \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ . Пры каардынатным заданні вектараў розным дзеяннем над вектарамі адпавядаюць дзеянні над іх каардынатамі. У вектарным аналізе вывучаюцца вектарныя і скалярныя функцыі аднаго ці некалькіх аргументаў і дыферэнцыяльныя аперацыі над гэтымі функцыямі (гл., напр., Градыент, Дывергенцыя).

А.​А.​Гусак.

т. 4, с. 63

АДЗІ́НКАВЫ ВЕ́КТАР,

орт, вектар, даўжыня якога прынята за адзінку выбранага маштабу. Адвольны вектар $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ можна атрымаць з якога-н. калінеарнага яму адзінкавага вектара $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ множаннем на лік (скаляр) λ : $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\mathrm{\lambda }\overrightarrow{\mathrm{e}}$. Гл. таксама Вектарнае злічэнне.

т. 1, с. 108

КАМУТАТЫ́ЎНАСЦЬ (ад лац. commutatus змяненне, пераўтварэнне),

перастаўляльнасць, уласцівасць бінарнай матэм. аперацыі, якая выражаецца тоеснасцю a*b = b*a. Камутатыўныя складанне і множанне лікаў, паліномаў, скалярнае множанне (гл. Вектарнае злічэнне) вектараў і інш. Тэрмін «К.» уведзены франц. матэматыкам Ф.​Сервуа (1815).

т. 7, с. 551

ВЕ́КТАРНЫ ЗДАБЫ́ТАК вектараў $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ і $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, вектар $\overrightarrow{\mathrm{c}}$, модуль якога роўны плошчы паралелаграма, пабудаванага на вектарах $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ і $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, перпендыкулярны плоскасці гэтага паралелаграма і накіраваны так, што вектары $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ і $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ утвараюць правую тройку. Абазначаецца $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ = [$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$] або $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ × $\overrightarrow{\mathrm{b}}$. Уведзены У.​Гамільтанам (1853). Выкарыстоўваецца ў геаметрыі, механіцы і фізіцы. Гл. таксама Вектарнае злічэнне.

т. 4, с. 64

АСТРАГРА́ДСКАГА ФО́РМУЛА,

звязвае інтэграл па некаторым аб’ёме з інтэгралам па замкнёнай паверхні, што абмяжоўвае гэты аб’ём. У вектарнай форме мае выгляд: ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{(V)}}^{\mathrm{}}div\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{dV}={\oint }_{\mathrm{(S)}}^{\mathrm{}}\overrightarrow{\mathrm{a}}\bullet \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{S}}}$ , дзе $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$(M) — вектарнае поле, зададзенае ў кожным пункце M аб’ёму V, $div\overrightarrow{\mathrm{a}}$ — дывергенцыя $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, ${\displaystyle {\oint }_{\mathrm{(S)}}^{\mathrm{}}\overrightarrow{\mathrm{a}}\bullet \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{S}}}$ — паток $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ праз замкнёную паверхню S. Прапанавана М.В.Астраградскім (1828—31) і пашырана на n-мерную прастору (1834—38).

т. 2, с. 49

ЗМЕ́ШАНЫ ЗДАБЫ́ТАК вектараў $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, лік, роўны скалярнаму здабытку вектара $\overrightarrow{a}$ на вектарны здабытак вектараў $\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{c}$. Запісваецца ў выглядзе ${\displaystyle \text{(}\overrightarrow{a}\text{,}\overrightarrow{b}\text{,}\overrightarrow{c}\text{)}=\text{(}\overrightarrow{a}\text{, [}\overrightarrow{b}\text{,}\overrightarrow{c}\text{])}=\overrightarrow{a}\bullet \text{(}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\text{)}}$ . Лікава роўны аб’ёму паралелепіпеда, пабудаванага на вектарах $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, які бярэцца са знакам плюс, калі гэтыя вектары ўтвараюць правую тройку, і са знакам мінус у процілеглым выпадку. Выкарыстоўваецца ў геаметрыі, механіцы і фізіцы. Гл. таксама Вектарнае злічэнне.

т. 7, с. 96

ГІ́ЛЬБЕРТАВА ПРАСТО́РА,

абагульненне эўклідавай прасторы на бясконцамерны выпадак. Уведзена ў канцы 19 — пач. 20 ст. ў працах Д.Гільберта як вынік абагульнення фактаў і метадаў раскладання функцый у артаганальныя шэрагі, а таксама даследаванняў інтэгральных ураўненняў. Выкарыстоўваецца ў розных раздзелах матэматыкі, тэорыі імавернасцей, тэарэт. фізікі.

Першасна гільбертава прастора — прастора бясконцых паслядоўнасцей, напр., x = (x₁, x₂, ..., x_n, ...) са збежным шэрагам квадратаў x₁​² + x₂​² + ... + x_n​² + ... . Суму двух элементаў (вектараў) паслядоўнасцей, іх скалярны здабытак і інш. вылічваюць пакаардынатна па звычайных правілах (гл. Вектарная прастора, Вектарнае злічэнне). У больш шырокім сэнсе гільбертава прастора — лінейная прастора, для якой вызначаны скалярны здабытак. У залежнасці ад вызначэння множання элементаў на сапраўдны ці камплексны лік адрозніваюць сапраўдныя і камплексныя гільбертавы прасторы.

т. 5, с. 244

ПАТЭНЦЫЯ́Л у фізіцы,

характарыстыка фіз. сілавых палёў (эл., магн., гравітацыйных), а таксама палёў вектарных фіз. велічынь (напр., поля скарасцей у вадкасці). Ідэя П. напанавана прапанавана Ж.Л.Лагранжам (1775) і П.С.Лапласам (1782), тэорыя створана незалежна Дж.Грынам (1828) і К.Ф.Гаўсам (1840).

Для вектарнага поля $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\text{(}x,y,z\text{)}$ , зададзенага ў пункце з каардынатамі x, y, z, П. (патэнцыяльнай функцыяй) з’яўляецца такая скалярная функцыя U = U(x, y, z), што $\overrightarrow{a}=gradU$ (гл. Градыент); у гэтым выпадку вектарнае поле $\overrightarrow{a}$ наз. патэнцыяльным. Часам П. наз функцыю φ(x, y, z) = −U(x, y, z). П. выкарыстоўваецца для апісання узаемадзеяння часціцы з полем і адшукання фіз. палёў па зададзеных размеркаваннях іх крыніц (гл. Поля тэорыя). П. электрастатычны — энергетычная характарыстыка электрастатычнага поля. Вызначаецца формулай φ = W/q, дзе W — патэнцыяльная энергія ўзаемадзеяння эл. зараду q з электрастатычным полем, напружанасць якога $\overrightarrow{E}=-grad\mathrm{\phi }$ . П. вызначаецца з дакладнасцю да адвольнай пастаяннай (найб. важнае значэнне мае рознасць патэнцыялаў). Адзінка П. электрастатычнага ў СІ — вольт.

А.​І.​Болсун.

т. 12, с. 186