Verbum

НЕЭЎКЛІ́ДАВЫ ГЕАМЕ́ТРЫІ,

геаметрычныя тэорыі, у якіх сістэма асн. палажэнняў (аксіём) адрозная ад прынятай у эўклідавай геаметрыі. Грунтуюцца на сістэмах аксіём, якія апісваюць суадносіны паміж асн. абстрактнымі геам. аб’ектамі (пунктамі, прамымі, плоскасцямі). У вузкім сэнсе пад Н.г. разумеюць Лабачэўскага геаметрыю і Рымана геаметрыю.

т. 11, с. 306

ЛАБАЧЭ́ЎСКАГА ГЕАМЕ́ТРЫЯ,

геаметрычная тэорыя, сістэма аксіём якой адрозніваецца ад сістэмы аксіём эўклідавай геаметрыі толькі аксіёмай (пастулатам) аб паралельнасці. Паводле гэтай аксіёмы, праз пункт, што не ляжыць на зададзенай прамой, праходзяць не менш як 2 прамыя, якія не перасякаюць зададзеную. Л.г. выкарыстоўваецца ў тэорыі функцый, матэм. аналізе, тэорыі лікаў і тэорыі адноснасці.

Л.г. распрацавана М.І.Лабачэўскім у 1826 (апублікавана ў 1829—30). У 1832 аналагічныя вынікі незалежна атрымаў Я.Больяй. Перадумовай узнікнення Л.г. былі шматвяковыя спробы доказу аксіёмы пра паралельныя прамыя (пяты пастулат Эўкліда) на аснове астатніх аксіём. Лабачэўскі першы прыйшоў да высновы пра недаказальнасць пастулата і пра магчымасць існавання геам. сістэм з інш. аксіёмамі паралельнасці, пабудаваў своеасаблівую лагічна бездакорную геам. сістэму. Л.г. мае некаторыя асаблівасці (напр., 2 трохвугольнікі з роўнымі вугламі роўныя; сума вуглоў трохвугольніка меншая за 2 прамыя вуглы), якія не супярэчаць рэчаіснасці. Стварэнне Л.г. заклала асновы развіцця неэўклідавых геаметрый. значна пашырыла ўяўленні аб прыродзе прасторы і спрыяла ўзнікненню новых кірункаў у матэматыцы.

Літ.:

Смородинский Я.А., Сурков Е.Л. Геометрия Лобачевского и теория относительности. М., 1971;

Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение. М.,1976.

В.​І.​Вядзернікаў.

т. 9, с. 81

АКСІЯМАТЫ́ЧНЫ МЕ́ТАД,

спосаб пабудовы навук. тэорыі ў выглядзе сістэмы пастулатаў (аксіём) і правіл вываду (аксіяматыкі), што дае магчымасць логікавымі разважаннямі атрымліваць сцвярджэнні (тэарэмы) дадзенай тэорыі.

Узнік у работах стараж.-грэч. матэматыкаў. Напр., у «Асновах» Эўкліда праведзена ідэя атрымання асн. зместу геаметрыі з невялікай колькасці аксіём, праўдзівасць якіх лічыцца відавочнай. Адкрыццё ў 19 ст. неэўклідавых геаметрый стымулявала ўзнікненне праблем больш агульнага характару (напр., несупярэчлівасці, паўнаты і незалежнасці той ці інш. сістэмы аксіём). Гэта адкрыла шлях да фармалізаванага развіцця тэорый: пошуку інш. сістэм паняццяў (тэорый, галін ведаў), якія падпарадкоўваюцца тым жа аксіёмам, выяўлення новых інтэрпрэтацый пэўнай сістэмы аксіём, што дало магчымасць адкрываць новыя навук. факты. Д.Гільберт і яго школа спадзяваліся на аснове аксіяматычнага метаду вырашыць гал. пытанні абгрунтавання матэматыкі. Аднак вынікі аўстр. і амер. матэматыка і логіка К.​Гёдэля (1931) выявілі неажыццявімасць гэтай праграмы, напр. тэарэма аб непаўнаце арыфметыкі сведчыць аб абмежаванасці аксіяматычнага метаду. У 20 ст. дзякуючы развіццю матэматычнай логікі стала магчымым аксіяматызаваць тыя сродкі логікі, з дапамогай якіх выводзяцца адны сцвярджэнні аксіяматычнай тэорыі з інш. яе сцвярджэнняў, што мае істотнае значэнне для аўтаматызацыі разумовай працы.

Сучасныя навук. тэорыі, пабудаваныя пры дапамозе аксіяматычнага метаду, наз. дэдуктыўнымі. Усе паняцці такіх тэорый (акрамя фіксаванай колькасці першапачатковых) уводзяцца пры дапамозе вызначэнняў, якія выражаюць іх змест праз першапач. паняцці. У той ці інш. меры дэдуктыўныя доказы, характэрныя для аксіяматычнага метаду, выкарыстоўваюцца ў многіх навуках, найб. у матэматыцы, логіцы, некаторых раздзелах фізікі, біялогіі і інш. Тэорыі, пабудаваныя пры дапамозе аксіяматычнага метаду, нярэдка маюць выгляд фармалізаваных сістэм, якія даюць дакладнае апісанне лагічных сродкаў вываду тэарэм з аксіём. Доказ такой тэорыі ўяўляе сабой паслядоўнасць формул, кожная з якіх з’яўляецца аксіёмай або атрымліваецца з папярэдніх формул па адным з прынятых правіл вываду. У адрозненне ад такіх фармальных доказаў уласцівасці самой фармальнай сістэмы ў цэлым вывучаюцца змястоўнымі сродкамі метатэорыі. Асн. патрабаванні да аксіяматычных фармальных сістэм: несупярэчлівасць, паўната, незалежнасць аксіём. Аксіяматычны метад — адзін з метадаў пабудовы навук. ведаў, які мае абмежаванае выкарыстанне, бо патрабуе высокага ўзроўню развіцця навук. тэорыі. Нават некаторыя дастаткова багатыя навук. тэорыі (напр., арыфметыка натуральных лікаў) не дапускаюць поўнай аксіяматызацыі. Гэта сведчыць аб немагчымасці поўнай фармалізацыі навук. ведаў.

Літ.:

Садовский В.Н. Аксиоматический метод построения научного знания // Философские вопросы современной формальной логики. М., 1962;

Столл Р. Множества. Логика: Аксиоматич. теории.: Пер. с англ. М., 1968;

Новиков П.С. Элементы математической логики. 2 изд. М., 1973.

Р.​Т.​Вальвачоў, У.​К.​Лукашэвіч.

т. 1, с. 207

ПРАЕКТЫ́ЎНАЯ ПЛО́СКАСЦЬ,

эўклідава плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленымі (няўласнымі) пунктамі, якія належаць бясконца аддаленай прамой. У больш агульным сэнсе П.п. — сукупнасць двух мностваў элементаў (пунктаў і прамых), якія падпарадкоўваюцца патрабаванням аксіём праектыўнай геаметрыі. Гл. Праектыўная прастора.

т. 12, с. 541

КА́НТАР ((Cantor) Георг) (3.3.1845, С.-Пецярбург — 6.1.1918),

нямецкі матэматык, заснавальнік тэорыі мностваў. Скончыў Берлінскі ун-т (1867). З 1869 ва ун-це ў г. Гале (у 1879—1913 праф.). Распрацаваў тэорыю бясконцых мностваў і тэорыю трансфінітных лікаў, сістэматызаваў і абгрунтаваў прынцыпы свайго вучэння аб бясконцасці. Сфармуляваў адну з аксіём неперарыўнасці (аксіёма К.). Увёў паняцці лімітавага пункта, вытворнага мноства, развіў адну з тэорый ірацыянальных лікаў.

Тв.:

Рус. пер. — Труды по теории множеств. М., 1985.

т. 7, с. 604

ПЛО́СКАСЦЬ,

найпрасцейшая паверхня, адно з асноўных геам. паняццяў. У геаметрыі бярэцца як зыходнае і не вызначаецца.

Уласцівасці П. апісваюцца аксіёмамі, напр.: П. — паверхня, якая змяшчае кожную прамую, што злучае 2 яе пункты; П. — геам. месца пунктаў, роўнаадлеглых ад двух дадзеных (паводле М.​І.​Лабачэўскага). Становішча П. ў прасторы вызначаецца 3 пунктамі, якія не належаць адной прамой. П., суадносіны паміж пунктамі і прамымі якой задавальняюць сістэму аксіём эўклідавай геаметрыі, наз. эўклідавай. Уласцівасці фігур на эўклідавай П. вывучае планіметрыя.

т. 12, с. 432

ВЫ́ВАД у логіцы,

разважанне, у ходзе якога з зыходных суджэнняў (выказванняў), пасылак ці прадпасылак выводзіцца заключэнне — суджэнне, што лагічна з іх вынікае. Вывад можа быць непасрэдны і ўскосны, дакладны і гіпатэтычны. У сімвалічнай логіцы вывад вызначаецца больш строга — як паслядоўнасць выказванняў ці формул, што складаецца з аксіём, пасылак і раней даказаных формул (тэарэм). У матэматычнай логіцы пад вывадам разумеюць паслядоўнасці формул, дзе кожная з’яўляецца або зыходнай формулай, або аксіёмай, або вынікам, атрыманым паводле правіл логікі з папярэдніх формул. Гл. Дэдукцыя, Індукцыя.

т. 4, с. 301

АРЫФМЕ́ТЫКА (ад грэчаскага arithmos лік),

навука, галоўны аб’ект якой цэлыя, рацыянальныя лікі і дзеянні над імі. Узнікла ў старажытныя часы з практычных патрэб чалавека лічыць і вымяраць. Для падліку вялікай колькасці аб’ектаў створаны сістэмы лічэння. Найбольш зручная дзесятковая сістэма лічэння; існуюць таксама сістэмы лічэння з асновамі 5, 12, 20, 40, 60 і нават 11 (Новая Зеландыя). З пашырэннем вылічальнай тэхнікі выкарыстоўваецца двайковая сістэма лічэння.

Да пачатку нашай эры былі атрыманы дастаткова глыбокія вынікі: даказана бесканечнасць мноства простых лікаў, несувымернасць стараны квадрата і яго дыяганалі (па сутнасці доказ ірацыянальнасці ліку √2), створаны алгарытм выяўлення агульнай меры двух адрэзкаў і найбольшага агульнага дзельніка, Піфагорам знойдзены агульны выгляд цэлалікавых катэтаў і гіпатэнузы прамавугольных трохвугольнікаў, значны ўплыў на развіццё арыфметыкі зрабіў Архімед. Фундаментальнае значэнне арыфметыкі як навукі стала зразумелым у канцы 17 стагоддзя ў сувязі з далучэннем да яе паняцця ірацыянальнага ліку. Развіццё апарату сувязяў паміж гэтымі лікамі і іх рацыянальнымі набліжэннямі (у прыватнасці, дзесятковымі), а таксама вынаходства і дастасаванне лагарыфмаў (шатландскі матэматык Дж.​Непер) значна пашырылі тэматыку даследаванняў. Шматлікія пытанні знайшлі вырашэнне ў лікаў тэорыі. Спроба Г.Грасмана аксіяматычнай пабудовы арыфметыкі (сярэдзіна 19 стагоддзя) завершана італьянскім матэматыкам Дж.​Пеана ў выглядзе 5 аксіём: 1) адзінка ёсць натуральны лік; 2) наступны за натуральным лікам ёсць таксама натуральны лік; 3) у адзінкі няма папярэдняга натуральнага ліку; 4) калі натуральны лік a стаіць за натуральным лікам b і за натуральным лікам c, то b і c тоесныя; 5) калі якое-небудзь сцвярджэнне даказана для адзінкі і калі з дапушчэння, што яно праўдзівае для натуральнага ліку n, вынікае, што яно выконваецца і для наступнага за n натуральнага ліку, то гэта сцвярджэнне справядліва для адвольнага натуральнага ліку (аксіёма поўнай матэматычнай індукцыі). Па-за прапанаванай сістэмай аксіём застаюцца многія пытанні, у якіх вывучаецца ўся бесканечная сукупнасць натуральных лікаў, што патрабуе даследавання несупярэчлівасці адпаведнай сістэмы аксіём і больш дэталёвага аналізу сэнсу сцвярджэнняў, якія вынікаюць з яе. Як навука арыфметыка часам атаясамліваецца з тэорыяй лікаў.

Літ.:

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1—3. М., 1970—72. Депман И.Я. История арифметики. 2 изд. М., 1965.

В.​І.​Бернік.

т. 2, с. 9