Verbum

БРАХІСТАХРО́НА

(ад грэч. brachistos самы кароткі + chronos час),

крывая самага хуткага спуску. Напр., калі пункты A і B ляжаць не на адной вертыкалі ў полі сілы цяжару, то шарык пры руху ўздоўж брахістахроны за самы кароткі час прыйдзе з пункта A у пункт B. Калі няма сіл супраціўлення, брахістахрона — цыклоіда з гарыз. асновай і пунктам звароту, які супадае з пунктам A. Рашэнне задачы аб брахістахроне (І.Бернулі, 1696) — зыходны пункт для развіцця варыяцыйнага злічэння.

т. 3, с. 252

БЕРНУ́ЛІ

(Bernoulli),

сям’я швейц. вучоных 17—18 ст.

Якаб Бернулі (27.12.1654, г. Базель, Швейцарыя — 16.8.1705), матэматык. Праф. Базельскага ун-та (1687). Развіў метады злічэння бесканечна малых Г.Лейбніца; у тэорыі імавернасцяў даказаў самы просты выпадак закону вял. лікаў (тэарэма Бернулі); разам з братам Іаганам заклаў асновы варыяцыйнага злічэння. Іаган Бернулі (27.7.1667, Базель — 1.1.1748), матэматык. Праф. Гронінгенскага (1695) і Базельскага (1705) ун-таў. Ганаровы чл. Пецярбургскай АН (1725). Працы па злічэнні бесканечна малых і варыяцыйным злічэнні.

Данііл Бернулі (29.1.1700, г. Гронінген, Нідэрланды — 17.3.1782), механік і матэматык. Сын Іагана. Замежны ганаровы чл. Пецярбургскай АН (1733), дзе працаваў у 1725—33, чл. Балонскай (1724), Берлінскай (1747), Парыжскай (1748) АН, Лонданскага каралеўскага т-ва (1750). Працы па фізіялогіі, медыцыне, матэматыцы і механіцы. Распрацаваў метад лікавага рашэння алг. ураўненняў з дапамогай зваротных шэрагаў, вывеў асн. ўраўненне стацыянарнага руху ідэальнай вадкасці (Бернулі ўраўненне), працаваў над кінетычнай тэорыяй газаў.

Якаб Бернулі (17.10.1759, Базель — 3.7.1789), механік. Унук Іагана. Акад. Пецярбургскай АН (1787). Асн. працы па дыферэнцыяльных і інтэгральных ураўненнях, механіцы, муз. акустыцы.

Літ.:

Никифоровский В.А. Великие математики Бернулли. М., 1984.

т. 3, с. 121

ВАРЫЯ́ЦЫЯ

(ад лац. variatio змяненне),

1) у агульных выпадках — відазмяненне, разнавіднасць чаго-небудзь.

2) У музыцы — складаная частка варыяцыйнай формы, якая ўяўляе сабой відазмяненне тэмы.

3) У балеце — невял., але тэхнічна складаны і кампазіцыйна развіты класічны танец. Звычайна частка па-дэ-дэ, па-дэ-труа, гран-па і інш.; могуць мець і самаст. значэнне. Служаць элементамі характарыстыкі дзейнай асобы, выяўляюць эмац. стан героя, маюць значэнне прамога выказвання.

4) У матэматыцы — малое змяненне аргумента (незалежнай пераменнай) або функцыянала; асн. паняцце варыяцыйнага злічэння.

5) Уастраноміі — перыядычная змена скорасці руху Месяца па арбіце, абумоўленая гравітацыйным дзеяннем Сонца.

т. 4, с. 20

ГА́МІЛЬТАН (Hamilton) Уільям Роўан

(4.8.1805, Дублін — 2.9.1865),

ірландскі матэматык і механік. Чл. Ірландскай АН (1832) і яе прэзідэнт у 1837—45. Чл.-кар. Пецярбургскай АН (1837). Скончыў Дублінскі ун-т (1827), з 1827 праф. і дырэктар астр. абсерваторыі гэтага ун-та. Распрацаваў тэорыю гіперкамплексных лікаў, пабудаваў сістэму кватэрніёнаў, адначасова з Г.Грасманам прапанаваў тэорыю камплексных лікаў, якая стала адной з крыніц развіцця вектарнага злічэння. Распрацаваў тэорыю аптычных з’яў і ўстанавіў аналогію паміж класічнай механікай і геам. оптыкай, сфармуляваў адзін з варыяцыйных прынцыпаў механікі — найменшага дзеяння прынцып (прынцып Гамільтана), які незалежна ад яго выказаў М.В.Астраградскі.

Літ.:

Полак Л.С. Уильям Роуэн Гамильтон // Тр. Ин-та истории естествознания и техники АН СССР. 1956. Т. 15.

т. 5, с. 15

ГРЫ́НА ФО́РМУЛЫ,

формулы інтэгральнага злічэння, якія звязваюць паміж сабой інтэгралы розных тыпаў. Самая простая з іх, вядомая яшчэ Л.Эйлеру (1771), звязвае падвойны інтэграл па плоскай паверхні S з крывалінейным інтэгралам па яе мяжы L: ${\int }_{\mathrm{(L)}}^{}P\mathrm{d}\mathrm{x}+Q\mathrm{d}\mathrm{y}={\int }_{\mathrm{(S)}}^{}\text{(}\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \mathrm{y}}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}\text{)}$ ; яе фіз. сэнс: паток вадкасці, якая цячэ па плоскасці са скорасцю V(Q, -P) праз мяжу L, роўны інтэгралу ад інтэнсіўнасці (дывергенцыі) крыніц і сцёкаў, размеркаваных па паверхні S. Дзве інш. формулы, што звязваюць інтэгралы па аб’ёме і па паверхні, якая яго абмяжоўвае, апублікаваны Дж.Грынам у 1828 у сувязі з даследаваннямі па тэорыі патэнцыялу. Гл. таксама Астраградскага формула, Стокса формула.

Р.Т.Вальвачоў.

т. 5, с. 482

ЛАПЛА́СА ПЕРАЎТВАРЭ́ННЕ,

лінейнае функцыянальнае пераўтварэнне, якое пераводзіць функцыю f(t) сапраўднай пераменнай t (арыгінал) у функцыю F(s) камплекснай пераменнай (вобраз). Цесна звязана з Фур’ё пераўтварэннем. Выкарыстоўваецца для інтэгравання дыферэнцыяльных ураўненняў у задачах электратэхнікі, гідрадынамікі, механікі, тэорыі цеплаправоднасці.

Дазваляе зводзіць рашэнне, напр., звычайнага лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўнення з пастаяннымі каэфіцыентамі да рашэння алг. ўраўнення 1-й ступені. Аднабаковае Л.п. матэматычна выражаецца праз інтэграл Лапласа $\mathrm{F(s)}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{f(t)e}}^{\mathrm{-st}}\mathrm{dt}$ (інтэгралы такога віду разглядаліся П.С.Лапласам у працах па тэорыі імавернасцей у 1812, адсюль назва) Пры пэўных абмежаваннях на функцыю F(s) функцыя f(t) узнаўляецца адназначна па формулах абарачэння. Л.п. разам з яго абарачэннем складае аснову аперацыйнага злічэння.

А.А.Гусак.

т. 9, с. 134

АЛГАРЫ́ТМ

(Algorithmi — лац. транслітарацыя імя матэматыка аль-Харэзмі),

адно з асноўных паняццяў кібернетыкі; прадпісанне выканання сістэмы аперацый ці дзеянняў у зададзеным парадку для дасягнення выніку, які вызначаецца зыходнымі дадзенымі. Дазваляе праводзіць аперацыі з лікамі, літарамі, дужкамі і інш. сімваламі, атрымліваць рашэнні задач «у агульным выглядзе» (прыдатныя для цэлага класа аднатыпных задач). Напр., правілы арыфм. дзеянняў з рацыянальнымі лікамі, алгарытм знаходжання найб. агульнага дзельніка двух цэлых лікаў (А.Эўкліда), алгарытм перакладу з адной мовы на другую. Уласцівасці алгарытму вывучае алгарытмаў тэорыя.

У сярэдневяковай Еўропе алгарытмам наз. дзесятковую пазіцыйную сістэму злічэння і майстэрства лічэння ў ёй (лац. пераклад трактата аль-Харэзмі; 12 ст.). Развіццё электронна-выліч. тэхнікі дало магчымасць ствараць і рэалізоўваць складаныя алгарытмы ў матэматыцы і яе дастасаваннях.

В.А.Ліпніцкі.

т. 1, с. 233

ЛАГРА́НЖ (Lagrange) Жазеф Луі

(25.1. 1736, г. Турын, Італія — 10.4.1813),

французскі матэматык і механік, адзін са стваральнікаў аналітычнай механікі і варыяцыйнага злічэння. Чл. Берлінскай АН (1759) і яе прэзідэнт (1766—87), чл. Парыжскай АН (1772), замежны ганаровы чл. Пецярбургскай АН (1776). Вучыўся ў Турынскім ун-це. Праф. Артыл. школы (з 1754) у Турыне, Вышэйшай нармальнай школы (з 1795) і Політэхн. школы (з 1797) у Парыжы. Навук. працы па механіцы, геаметрыі, тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, матэм. аналізе, тэорыі лікаў, алгебры, астраноміі. Сфармуляваў асн. варыяцыйныя прынцыпы механікі, увёў абагульненыя каардынаты, надаў ураўненням руху форму, названую яго імем (гл. Лагранжа ўраўненні), прапанаваў тэорыю лібрацыі Месяца і тэорыю руху спадарожнікаў Юпітэра, выканаў шэраг грунтоўных даследаванняў па розных раздзелах матэматыкі, матэм. картаграфіі і тэарэт. астраноміі.

Тв.:

Рус. пер. — Аналитическая механика. Т. 1—2. 2 изд. М.; Л., 1950.

Літ.:

Жозеф Луи Лагранж, 1736—1936: Сб. ст.: К 200-летию со дня рождения. М.; Л., 1937.

А.І.Болсун.

т. 9, с. 92

АЛГАРЫ́ТМАЎ ТЭО́РЫЯ,

раздзел матэматыкі, які вывучае агульныя ўласцівасці алгарытмаў; тэарэт. аснова кібернетыкі, вылічальнай матэматыкі.

У інтуітыўным паняцці алгарытмы выкарыстоўваліся ў матэматыцы на працягу яе існавання. Дакладнае паняцце алгарытму сфарміравалася ў пач. 20 ст. і ўпершыню з’явілася ў працах матэматыкаў франц. Э.Барэля (1912) і ням. Г.Вейля (1921). Сістэматычная распрацоўка алгарытмаў тэорыі пачалася ў 1936, калі амер. матэматык А.Чэрч удакладніў паняцце алгарытмічна вылічальнай функцыі і прывёў прыклад невыліч. функцыі, англ. А.Цьюрынг і амер. Э.Пост удакладнілі паняцце алгарытму ў тэрмінах ідэалізаваных выліч. машын (машыны Цьюрынга—Поста); сав. матэматык А.М.Калмагораў прапанаваў выкарыстанне алгарытмаў тэорыі для абгрунтавання інфармацыі тэорыі (1965).

Адзін з гал. Кірункаў алгарытмаў тэорыі — вывучэнне невырашальнасці (вырашальнасці) алгарытмічных праблем, напр., у самой алгарытмаў тэорыі — праблема спынення універсальнай машыны Цьюрынга; у матэм. логіцы — праблема распазнавання тоесна праўдзівых формул злічэння прэдыкатаў 1-й ступені; у алгебры — праблема тоеснасці для паўгруп; у тапалогіі — праблема гомеамарфізму; у тэорыі лікаў — 10-я праблема Д.Гільберта. Даследаванні прывялі да ўзнікнення паняцця ступені невырашальнасці, вывучэння адпаведных матэм. структур і паказалі, што алгарытмічныя праблемы невырашальнасці маюць найб. ступень.

Літ.:

Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2 изд. М., 1986;

Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М., 1980.

Р.Т.Вальвачоў.

т. 1, с. 233

ВЫТВО́РНАЯ функцыі, ліміт адносін прырашчэння функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ да прырашчэння аргумента; адно з асн. паняццяў дыферэнцыяльнага злічэння. Характарызуе хуткасць змены функцыі пры змене яе аргумента. Абазначаецца $𝑓\text{(′}x\text{)}$, $y\text{′(}x\text{)}$, $\frac{d𝑓\text{(}x\text{)}}{dx}$ . Вытворная функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ у пункце x₀ роўная вуглавому каэфіцыенту $tg\alpha$ датычнай да лініі $y=𝑓\text{(}x\text{)}$ у яе пункце M_o з абсцысай x_o.

Паводле вызначэння $𝑓\text{′(}x\text{)}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{𝑓(x_0+\mathrm{\Delta }x)-𝑓\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}$ , дзе x₀ — пункт, у некаторым наваколлі якога вызначана функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$; $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$ — прырашчэнне аргумента; $\mathrm{\Delta }y=𝑓(x_0+\mathrm{\Delta }x)-𝑓\left(x_0\right)$ — адпаведнае прырашчэнне функцыі. Калі гэты ліміт канечны, то функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$ наз. дыферэнцавальнай у пункце x₀. Аперацыя знаходжання вытворнай наз. дыферэнцаваннем. Вытворнай ад y′ (першай вытворнай) ёсць другая вытворная (y″) і г.д. Для функцый некалькіх зменных вызначаюцца частковыя вытворныя — вытворныя па аднаму з аргументаў пры ўмове пастаянства ўсіх астатніх аргументаў.

Паняццем вытворнай карыстаюцца пры рашэнні многіх задач матэматыкі, фізікі, тэхнікі і інш. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математнка. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.А.Гусак.

т. 4, с. 326