Verbum

ДЭТЭРМІНА́НТ, вызначнік, алгебраічны выраз, складзены паводле пэўнага правіла з n​² лікаў, дзе n — парадак дэтэрмінанта. Д. квадратнай матрыцы $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{...}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{...}& \text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{...}& a_{nn}\end{array}\right|$ з n​² элементы a_ik (i — нумар радка, k — нумар калонкі, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n) наз. алг. сума $\sum \pm \begin{array}{cccc}{a}_{1j_1}& a_{2j_2}& \text{...}& a_{n{j}_n}\end{array}$ усіх здабыткаў элементаў гэтай матрыцы, узятых па аднаму з кожнага радка і з кожнай калонкі. Складаемаму a_1j1, a_2j2 ... a_njn прыпісваецца знак «+», калі перастаноўка j₁, j₂, ..., j_n лікаў 1, 2, ... n мае цотную колькасць інверсій, і знак «−», калі колькасць інверсій у ёй няцотная. Напр., Д. 2-га парадку $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ $=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ .

Лічаць, што: радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, калі кожны элемент гэтага радка (калонкі) памнажаецца на α; складваюцца 2 радкі (калонкі) Д., калі складваюцца адпаведныя элементы гэтых радкоў (калонак), якія стаяць у адной калонцы (радку); да i-га радка (калонкі) Д. дадаецца яго k-ы радок (калонка), калі i-ы радок (калонка) замяняецца сумай i-га і k-га радкоў (калонак); робіцца лінейная камбінацыя радкоў (калонак) Д., калі кожны i-ы радок (калонка) множыцца на адвольны лік a_i і складваюцца атрыманыя радкі (калонкі). Д. мае шэраг уласцівасцей, якія аблягчаюць яго вылічэнне: калі элементы a_kj k-га радка Д. d ёсць сумы двух складаемых a_kj = b_j + c_j, то Д. d роўны суме двух Д. d = d₁ + d₂, якія адрозніваюцца ад d толькі k-м радком: b₁, b₂ ..., b_n — k-ы радок Д. d₁, c₁, c₂..., c_n k-ы радок Д. d₂ калі які-н. радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, то і Д. памнажаецца на α; Д. не зменіцца, калі да якога-н. яго радка (калонкі) дадаецца адвольная лінейная камбінацыя інш. радкоў (калонак); для таго, каб Д. быў роўны нулю, неабходна і дастаткова, каб які-н. яго радок (калонка) быў лінейнай камбінацыяй іншых радкоў (калонак). Тэорыя Д. створана ў асноўным у 2-й пал. 18 ст. і 1-й пал. 19 ст. ў працах матэматыкаў: швейц. Г.​Крамера, франц. А.​Вандэрмонда, П.​С.​Лапласа, А.​Кашы, ням. К.​Гаўса і К.​Якобі. Франц. матэматык Ж.​Дзьеданэ ўвёў паняцце Д. матрыцы над целам (мае важнае значэнне для сучаснай алгебры). Шматлікія дастасаванні Д. да розных пытанняў матэматыкі і фізікі, напр. пры рашэнні лінейных ураўненняў.

Літ.:

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 10 изд. М., 1971;

Артин Э. Геометрическая алгебра: Пер. с англ. М., 1969;

Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 1. Мн., 1984.

Р.​І.​Тышкевіч.

т. 6, с. 362

ПЯЧА́ТКА, пячаць,

рэч з выразанымі знакамі для адбітку іх на гліне, сургучы, воску, паперы і інш., а таксама адбітак гэтых знакаў, зроблены, каб надаць якому-н. дакументу верагоднасць і юрыд. сілу. Вывучае П. сфрагістыка.

П. вядомы з 4-га тыс. да н.э. ў краінах Стараж. Усходу. У Стараж. Грэцыі і Рыме П. рабілі з каштоўнага каменю — т.зв. гемы, як узоры мастацтва іх вывучае гліптыка. Рымляне карысталіся таксама П.-пярсцёнкамі. З канца 4 ст. ў Рыме былі віслыя П. — булы (адціскаліся на свінцовых, сярэбраных, залатых пласцінках і прывешваліся на шнурках да дакументаў), у канцы 10 ст. праз Візантыю трапілі на Русь. Найб. колькасць віслых П. знойдзена ў Ноўгарадзе, а свінцовых П. для тавараў (пломбаў) — у Драгічыне на р.

Буг (цяпер у Падляскім ваяв., Польшча). Знойдзены полацкія П. кн. Ізяслава Уладзіміравіча (канец 10 ст.), Ефрасінні Полацкай і яе маці Софіі. епіскапаў Дыянісія і Міны (12 ст.). П. з выявамі расквітнеўшага крыжа і св. Глеба належала менскаму кн. Глебу Усяславічу. У Тураве знойдзена П. кіеўскага мітрапаліта Кірылы (13 ст.). У 1-й пал. 14 ст. ў Полацку карысталіся свінцовымі буламі, у канцы 14—15 ст. ужываліся віслыя і прыкладныя васковыя П. Паводле тыпаў П. 14—15 ст. былі княжацкія. епіскапскія, гарадскія, баярскія і інш. У Польшчы і ВКЛ у 15—18 ст. ужываліся асабістыя П.-пярсцёнкі (сыгнеты). З прыняццем магдэбургскага права ў 14—17 ст. многія бел. гарады мелі П. з выявамі гербаў. Стараж. адбіткі П. падзяляюцца на металічныя (10—15 ст.), васковыя (14—17 ст.), сургучныя (з канца 17 ст.), куродымныя (18—19 ст.). У канцы 19 ст. ўзніклі каўчукавыя штэмпелі і спец. масціка, каб рабіць адбітак на паперы.

У Рэспубліцы Беларусь П. гербавыя і простыя. На гербавай назва дзярж. арг-цыі ці органа, якія яе выкарыстоўваюць, і выява Герба дзяржаўнага Рэспублікі Беларусь. На простых П. няма выявы герба, імі звычайна карыстаюцца грамадскія арг-цыі, недзярж. прадпрыемствы і асобы (напр., урачы). Адзін з відаў простай П. — вуглавы і інш. штампы.

Літ.:

Янин В.Л. Актовые печати Древней Руси X—XV вв. Т. 1—3. М., 1970—98 (т. 3 разам з П.​Р.​Гайдуковым);

Цітоў А. Пячаткі старажытнай Беларусі: Нарысы сфрагістыкі. Мн., 1993;

Трофимов А.И. Об атрибуции брестской печати XI в. // Гербовед. 1997. № 3.

Г.​В.​Штыхаў.

т. 13, с. 177