Verbum

НАБЛІ́ЖАНАЕ ВЫЛІЧЭ́ННЕ,

атрыманне набліжаных рашэнняў розных матэм. задач (напр., задач, якія ўзнікаюць пры матэматычным мадэліраванні рэальных працэсаў і з’яў). Выкарыстоўваецца ў ядз. фізіцы, касманаўтыцы, машынабудаванні і інш.

Найб. пашыраныя задачы Н.в.: рашэнне алг. і трансцэндэнтных ураўненняў, а таксама сістэм такіх ураўненняў; набліжэнне і інтэрпаляцыя функцый, набліжанае дыферэнцаванне, набліжанае інтэграванне і інш. Для рашэння пэўнай матэм. задачы выбіраецца (ці будуецца) адпаведны лікавы метад — алгарытм (распрацоўваецца і вывучаецца ў тэорыі лікавых метадаў). Для Н.в. шырока выкарыстоўваюцца ЭВМ (алгарытмы рашэнняў задач, якія найб. часта ўзнікаюць на практыцы, уваходзяць у іх матэматычнае забеспячэнне). У інж. разліках часта карыстаюцца графічнымі вылічэннямі і намаграмамі. (Гл. таксама Вылічальная матэматыка.)

Л.​А.​Яновіч.

т. 11, с. 88

НАБЛІ́ЖАНАЕ ІНТЭГРАВА́ННЕ,

раздзел вылічальнай матэматыкі, які вывучае метады набліжанага вылічэння вызначаных інтэгралаў і набліжанага рашэння (інтэгравання) дыферэнцыяльных ураўненняў. Выкарыстоўваецца, калі дакладнае вылічэнне немагчыма або вельмі складанае.

Набліжанае вылічэнне вызначаных інтэгралаў выконваецца аналітычнымі і графічнымі (гл. Графічныя вылічэнні) метадамі, а таксама з дапамогай спец. прылад (планіметр, інтэгратар). Сярод аналітычных найб. пашыраны метады, заснаваныя на замене падынтэгральнай функцыі адрэзкам яе Тэйлара шэрагу, інтэрпаляцыйным паліномам (гл. квадратурная формула) і інш. Для многіх правіл інтэгравання складзены табліцы вузлоў і каэфіцыентаў квадратурных формул. Нявызначаныя інтэгралы зводзяць да вызначаных з пераменнай верхняй мяжой інтэгравання. Кратныя інтэгралы вылічваюць як паўторныя, з дапамогай кубатурных формул або спец. метадамі, напр., Монтэ-Карла метадам. Для набліжанага рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў карыстаюцца пераважна лікавымі метадамі (Рунге—Кута, Эйлера, рознаснымі метадамі і інш.), якія дазваляюць даць рашэнне ў выглядзе табліцы. Аналітычнымі метадамі (напр., шэрагаў, Чаплыгіна, варыяцыйнымі) рашэнне выяўляецца ў аналітычным выглядзе; графічнымі метадамі — у выглядзе графіка. Існуюць таксама метады, заснаваныя на выкарыстанні аналагавых вылічальных машын.

Л.​А.​Янавіч.

т. 11, с. 88

НАБЛІ́ЖАНАЕ ДЫФЕРЭНЦАВА́ННЕ,

знаходжанне вытворнай (або дыферэнцыяла) функцыі набліжанымі або лікавымі метадамі. Выкарыстоўваецца, калі метады дыферэнцыяльнага злічэння не прыдатныя (напр., функцыя зададзена таблічна) або выклікаюць значныя цяжкасці (напр., функцыя мае складаны аналітычны выраз).

Алгарытмы Н.д. часта выкарыстоўваюцца для апрацоўкі вынікаў эксперыментаў, якія маюць абмежаваную дакладнасць. У такіх выпадках патрабуецца іх папярэдняе згладжванне. Дакладнасць алгарытмаў, заснаваных на інтэрпаляцыйных формулах істотна залежыць ад спосабу інтэрпаляцыі і часам бывае вельмі нізкай нават для дастаткова гладкіх функцый і вял. ліку вузлавых пунктаў. Большую дакладнасць маюць алгарытмы, заснаваныя на сплайн-інтэрпаляцыі, дзе будуецца інтэрпаляцыйная формула (сплайн), якая мае неперарыўныя вытворныя зададзеных парадкаў на зададзеным адрэзку інтэрпаляцыі.

т. 11, с. 88

ЛІ́КАВАЕ ІНТЭГРАВА́ННЕ,

набліжанае вылічэнне інтэграла па некалькіх значэннях падынтэгральнай функцыі. Выкарыстоўваецца ў выпадках, калі падынтэгральная функцыя зададзена набліжана (напр., таблічна), інтэграл не выражаецца праз вядомыя функцыі, а таксама, калі Л.і. хутчэй вядзе да вынікаў з зададзенай дакладнасцю, чым дакладныя метады.

Вызначаныя інтэгралы ад адной пераменнай вылічваюцца па квадратурных формулах, кратныя — па кубатурных. Нявызначаныя інтэгралы папярэдне зводзяцца да вызначаных з пераменнай верхняй мяжой інтэгравання. Падынтэгральную функцыю даводзіцца вылічваць у многіх пунктах, што прывяло да распрацоўкі спец. метадаў. Гл. таксама Інтэрпаляцыя і экстрапаляцыя, Набліжанае інтэграванне.

т. 9, с. 256

ЗВАРО́ТНАЯ ПАСЛЯДО́ЎНАСЦЬ, рэкурэнтная паслядоўнасць,

паслядоўнасць, кожны член якой, пачынаючы з некаторага нумара, вызначаецца праз пэўную колькасць папярэдніх членаў. Напр., арыфметычная прагрэсія, геаметрычная прагрэсія. Выкарыстоўваецца пры рашэнні многіх практычных задач (гл. Набліжанае вылічэнне).

т. 7, с. 37

ЛІ́КАВЫЯ МЕ́ТАДЫ ў матэматыцы,

метады набліжанага рашэння матэм. задач, якія зводзяцца да выканання канечнай колькасці элементарных аперацый над лікамі. Вылічэнні выконваюцца ўручную ці з дапамогай вылічальных машын. Распрацоўка новых Л.м. і выкарыстанне іх у ЭВМ прывялі да ўзнікнення вылічальнай матэматыкі. Гл. таксама Набліжанае вылічэнне, Набліжаныя формулы.

т. 9, с. 256

ЛІ́КАВАЕ РАШЭ́ННЕ ЎРАЎНЕ́ННЯЎ,

знаходжанне дакладнага ці набліжанага рашэння ўраўненняў у выглядзе лікаў.

Зводзіцца да выканання арыфм. аперацый над каэфіцыентамі ўраўнення і значэннямі функцый, якія ўваходзяць у яго, і дазваляе знаходзіць рашэнне з любой наперад зададзенай дакладнасцю. Кожны від ураўнення мае свае лікавыя метады рашэння. Пры Л.р.ў. карыстаюцца ЭВМ і інш. сродкамі вылічэнняў. Гл. таксама Набліжанае інтэграванне, Найменшых квадратаў метад, Паслядоўных набліжэнняў метад.

т. 9, с. 256

ВА́РТАСНЫЯ ЛІ́ЧБЫ ў матэматыцы,

усе лічбы набліжанага ліку ад першай злева, адметнай ад нуля, да апошняй, за сапраўднасць якіх можна ручацца. Напр., калі ўзважванне праведзена з дакладнасцю да 1 г, то ў запісе вынікаў 0,320 вартасныя лічбы будуць 3, 2 і 0. Вартасная лічба наз. праўдзівай, калі абсалютная хібнасць набліжанага ліку не перавышае палавіны адзінкі разраду гэтай лічбы. Напр., у запісе скорасці святла с = (299 796 ± 4) км/с праўдзівыя вартасныя лічбы 2, 9, 9, 7 і 9. Гл. таксама Набліжанае вылічэнне.

т. 4, с. 13

АКРУГЛЕ́ННЕ ліку,

набліжанае выяўленне ліку з дапамогай канечнай колькасці лічбаў. Пры акругленні з недахопам апошняя пакінутая лічба не мяняецца, пры акругленні з лішкам — павялічваецца на адзінку. Праводзіцца паступова справа налева паводле правіла: калі адкінутая лічба a ≤ 4 або калі a = 5 і апошняя пакінутая лічба цотная, то акругляюць з недахопам, у астатніх выпадках — з лішкам. Адрозніваюць акругленне да пэўнага ліку дзесятковых знакаў, калі загадзя ўказваецца нумар апошняга разраду, і акругленне да пэўнага ліку вартасных лічбаў, напр., акругленне ліку 78,6741 да першага дзесятковага знака дае лік 78,7, да другога — 78,67, да дзвюх вартасных лічбаў — 79.

т. 1, с. 201

ПАСЛЯДО́ЎНЫХ НАБЛІЖЭ́ННЯЎ МЕ́ТАД,

метад рашэння матэм. задач з дапамогай паслядоўнасцей набліжэнняў, якія збягаюцца да іх дакладнага рашэння. Кожнае набліжанае рашэнне знаходзіцца паводле рэкурэнтных формул.

Зыходнае ўраўненне, напр., віду F(x) = 0, пераўтвараецца ў раўнасільнае ўраўненне віду x = 𝑓(x) і будуецца паслядоўнасць a₀, a₁ = 𝑓(a₀), a₂ = 𝑓(a₂), a₃ = 𝑓(a₂), дзе a₀ — пачатковае набліжэнне. Пры пэўных умовах пабудаваная паслядоўнасць збягаецца да дакладнага рашэння. Выкарыстоўваецца для вылічэння каранёў алг. і трансцэндэнтных ураўненняў, доказу існавання дакладных і пабудовы набліжаных рашэнняў дыферэнцыяльных, інтэгральных, інтэгра-дыферэнцыяльных і функцыянальных ураўненняў, для вызначэння якасных характарыстык рашэнняў і інш.

А.​А.​Гусак.

т. 12, с. 166