Verbum

МНО́ЖАННЕ,

аперацыя ўтварэння па двух дадзеных аб’ектах a і b (сумножніках) трэцяга аб’екта с (здабытку). Абазначаецца c = a x b=a∙b=ab. Уласцівасці М. вывучаюцца ў агульнай алгебры, тэорыях груп і кольцаў.

Мае розны канкрэтны сэнс ў залежнасці ад канкрэтнага віду сумножнікаў і здабытку. Напр., у выніку М. цэлых дадатных лікаў a і b атрымліваецца лік с, роўны суме b складаемых, кожнае з якіх роўнае a: c = a + a + ... + a (b складаемых). М. лікаў адназначнае і мае ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці і дыстрыбутыўнасці. Абагульненні М. звязаныя з магчымасцю разглядаць лікі як аператары ў сукупнасці вектараў на плоскасці. Напр., камплекснаму ліку z = r (cosφ+ і sinφ) адпавядае аператар расцяжэння ўсіх вектараў у r разоў і павароту іх на плоскасці на вугал φ вакол пачатку каардынат. Пры гэтым М. камплексных лікаў адпавядае М. адпаведных аператараў. Такое вызначэнне аператараў пераносіцца на інш. іх віды, якія ўжо нельга выразіць з дапамогай лікаў, напр., лінейныя пераўтварэнні, М. вектараў, матрыц, кватэрніёнаў. Пры гэтым часта парушаюцца некаторыя ўласцівасці М. (звычайна камутатыўнасць).

т. 10, с. 502

КАМУТАТЫ́ЎНАСЦЬ (ад лац. commutatus змяненне, пераўтварэнне),

перастаўляльнасць, уласцівасць бінарнай матэм. аперацыі, якая выражаецца тоеснасцю a*b = b*a. Камутатыўныя складанне і множанне лікаў, паліномаў, скалярнае множанне (гл. Вектарнае злічэнне) вектараў і інш. Тэрмін «К.» уведзены франц. матэматыкам Ф.​Сервуа (1815).

т. 7, с. 551

ПО́ЛЕ ў матэматыцы,

мноства, якое мае 2 і больш элементаў з зададзенымі бінарнымі алг. аперацыямі складання і множання; асобны падклас кольцаў. Задавальняе пэўныя ўмовы (аксіёмы П.).

Аксіёмы П.: складанне і множанне камутатыўныя і асацыятыўныя, множанне дыстрыбутыўнае адносна складання; у П. існуюць нулявы і адзінкавы элементы, а таксама для кожнага элемента а існуе процілеглы элемент -a і для ненулявога элемента а — адваротны элемент ​¹/_a. Адсюль вынікае, што ў П. выконваюцца аперацыі адымання і дзялення (на ненулявы элемент). Напр., мноства рацыянальных лікаў, мноства сапраўдных лікаў.

т. 12, с. 471

АСАЦЫЯТЫ́ЎНАСЦЬ (ад лац. associare далучаць),

спалучальнасць, спалучальны закон (матэм.), уласцівасць складання і множання лікаў, якая выражана тоеснасцю (a + b) + c = a + (b + c) і (a b) c = a (bc) адпаведна (спачатку выконваецца аперацыя, узятая ў дужкі). Уласцівасць асацыятыўнасці мае множанне матрыц, падстановак, пераўтварэнняў. Аперацыі дзялення і аднімання не асацыятыўныя.

т. 2, с. 21

ДЫСТРЫБУТЫ́ЎНАСЦЬ (ад лац. distributivus размеркавальны),

уласцівасць, якая звязвае складанне і множанне лікаў і выражаецца формулай (a + b + ... + c)m = am + bm + ... + cm. У агульным выпадку Д. аператара T адносна некаторага дзеяння x⊗y выражаецца формулай T(x⊗y) = T(x)⊗T(y). Напр., падвышэнне да ступені дыстрыбутыўна адносна множання [(ab)​ⁿ = a​ⁿb​ⁿ].

т. 6, с. 297

ЛІНЕ́ЙНЫ ФУНКЦЫЯНА́Л,

абагульненне паняцця лінейнай формы на лінейныя прасторы Л.ф. f на лінейнай наміраванай прасторы E наз. лікавая функцыя f(x), якая вызначана для ўсіх x з E і мае ўласцівасці неперарыўнасці і лінейнасці. Сукупнасць усіх Л.ф. дадзенай прасторы пераўтвараецца ў лінейную нарміраваную прастору, калі вызначыць натуральным чынам складанне Л.ф. і іх множанне на лікі. Гл. таксама Функцыянальны аналіз.

т. 9, с. 267

МНАГАСКЛА́Д, паліном,

алгебраічная сума канечнай колькасці адначленаў. Ступенню М. наз. найб. са ступеней адначленаў, якія ўваходзяць у яго. Любы М. адной пераменнай можа мець выгляд a₀x​ⁿ+a₁x​^n-1+...+a_n=a₀(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n), дзе x₁, x₂, ..., x_n — карані дадзенага М. Складанне, адыманне і множанне М. падпарадкоўваюцца камутатыўнаму (гл. Камутатыўнасць), спалучальнаму (гл. Асацыятыўнасць) і размеркавальнаму (гл. Дыстрыбутыўнасць) законам.

т. 10, с. 500

ВЫРАША́ЛЬНЫ ЎЗМАЦНЯ́ЛЬНІК у аналагавых вылічальных машынах,

узмацняльнік пастаяннага току з ланцугамі адмоўнай адваротнай сувязі. Прызначаны для выканання матэм. аперацый (напр., складання, інтэгравання, дыферэнцыравання) над аналагавымі велічынямі. Пры нелінейных ланцугах адваротнай сувязі дае магчымасць выконваць нелінейныя аперацыі (падвышэнне да ступені, множанне, лагарыфмаванне). Вырашальны ўзмацняльнік без ланцугоў адваротнай сувязі наз. аперацыйным узмацняльнікам (мае каэфіцыент узмацнення больш за 10​⁶; выпускаецца ў выглядзе інтэгральнай схемы). Выкарыстоўваецца таксама ў сістэмах аўтаматыкі, радыё- і вымяральнай тэхнікі.

т. 4, с. 320

КВАТЭРНІЁН (франц. quaternion ад лац. quaterni па чатыры),

адна з сістэм гіперкамплексных лікаў. Увёў У.Р.Гамільтан (1843) у сувязі з задачай абагульнення камплексных лікаў.

К. вызначаецца як лінейная камбінацыя віду a + bi + cj + dk, дзе a, b, c, d — сапраўдныя лікі, i, j, k — уяўныя адзінкі: i₂ = j₂ = k₂ = −1. Складанне і множанне К. выконваецца па адпаведных правілах для мнагачленаў з улікам jk = −kj = i, ki = −ki = j, ij = −ji = k. Алг. дзеянні над К. маюць усе ўласцівасці (за выключэннем камутатыўнасці множання) адпаведных дзеянняў над сапраўднымі лікамі. Гэтым К. вылучаюцца сярод гіперкамплексных лікаў.

т. 8, с. 213