Verbum

ЛЕ́ЙБНІЦА ФО́РМУЛА,

формула для вызначэння вытворнай n-га парадку ад здабытку дзвюх функцый праз вытворныя сумножнікаў. Прыведзена Г.В.Лейбніцам у лісце да І.Бернулі (1695).

Калі функцыі u(x) і v(x) у пункце х маюць вытворныя да n-га парадку ўключна, то іх здабытак у тым жа пункце мае вытворныя тых жа парадкаў, якія паводле Л.ф. маюць выгляд: $\frac{d^n}{d{x}^n}\text{(}uv\text{)}=\frac{d^{n}u}{d{x}^n}v+c_n^1\frac{d^{\mathrm{n-1}}u}{d{x}^{\mathrm{n-1}}}\frac{dv}{dx}+c_n^2\frac{d^{\mathrm{n-2}}u}{d{x}^{\mathrm{n-2}}}\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+\text{...}+c_n^{\mathrm{n-1}}\frac{du}{dx}\frac{d^{\mathrm{n-1}}v}{d{x}^{\mathrm{n-1}}}+u\frac{d^{n}v}{d{x}^n}$ , дзе $c_n^{\mathrm{k}}$ — бінаміяльныя каэфіцыенты. Выкарыстоўваецца пры вызначэнні вытворных вышэйшых парадкаў. Гл. таксама Дыферэнцыяльнае злічэнне.

т. 9, с. 189

НЬЮ́ТАНА—ЛЕ́ЙБНІЦА ФО́РМУЛА,

асноўная формула інтэгральнага злічэння. Выражае сувязь паміж вызначаным інтэгралам ад функцыі 𝑓(x), зададзенай на адрэзку [a, b], і якой-н. яе першаіснай (гл. Нявызначаны інтэграл): ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx=F\text{(}b\text{)}-F\text{(}a\text{)}$ . Правіла, выражанае Н.—Л.ф., было вядома І.Ньютану і Г.В.Лейбніцу (адсюль назва). Калі функцыя 𝑓(x) неперарыўная на [a, b], то для любога x з [a, b] можна таксама запісаць $F\text{(}x\text{)}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}𝑓\text{(}t\text{)}dt+C$ , дзе C — некаторая пастаянная.

т. 11, с. 398

ЛАГІ́СТЫКА (ад грэч. logistikē мастацтва вылічаць, разважаць),

1) назва этапа ў развіцці матэматычнай логікі, прадстаўленага працамі Б.Расела і яго школы (гл. Лагіцызм). У антычнасці тэрмінам «Л.» называлі практычныя аперацыі вылічэнняў і вымярэнняў у арыфметыцы ў процілегласць тэарэт. матэматыцы. У Г. Лейбніца — абазначэнне «вылічэння вывадаў» (calculus ratiocinator) 2) Сінонім ( у пэўнай ступені архаічны) тэрміна «матэм. логіка». У наш час тэрмін «Л.» выкарыстоўваюць для абазначэння матэм. логікі пры вырашэнні эканам. задач, аптымізацыі кіраўніцкіх функцый і інш. Вытворнымі ад «Л.» з’яўляюцца паняцці «лагістычны метад» (спосаб пабудовы фармалізаваных моў для розных раздзелаў логікі) і «лагістычная сістэма» (фармальная частка гэтых моў).

В.М.Пешкаў.

т. 9, с. 89

БА́ЎМГАРТЭН ((Baumgarten) Аляксандр Готліб) (17.6.1714, Берлін — 26.5.1762),

нямецкі філосаф школы К.Вольфа. З 1740 праф. ун-та ў Франкфурце-на-Одэры. Родапачынальнік эстэтыкі як філас. дысцыпліны. У аснове канцэпцыі Баўмгартэна падзел пазнання на рацыянальнае і пачуццёвае. Эстэтыку лічыў часткай тэорыі пазнання, што датычыць паўсвядомых, заблытаных, незразумелых уяўленняў (т.зв. перцэпцый у прынятай Баўмгартэнам тэрміналогіі Лейбніца) у адрозненне ад ясных і лагічных меркаванняў, т.зв. аперцэпцый. Паводле Баўмгартэна, аперцэпцыямі, або рацыянальным пазнаннем, займаецца логіка, а перцэпцыямі, або пачуццёвым пазнаннем, — эстэтыка. Лічыў, што мастацкае (пачуццёвае) пазнанне, якое выяўляецца ў эстэт. суджэннях, з’яўляецца недасканалай формай лагічнага пазнання. Гал. працы: «Развагі» (1735), «Метафізіка» (1739), «Эстэтыка» (1750—58).

Тв.:

Рус. пер. — у кн.: История эстетики. М.,1964. Т. 2. С. 49—65.

Н.К.Мазоўка.

т. 2, с. 355

ГЕР’Е́ (Уладзімір Іванавіч) (29.5.1837, Масква — 30.6.1919),

расійскі гісторык, паліт. дзеяч. Чл.-кар. Пецярбургскай АН (1902). Д-р гіст. н., праф. (1868). Скончыў Маскоўскі ун-т (1858), дзе і працаваў (1868—1904). Вучань Ц.М.Граноўскага. Адзін са стваральнікаў Вышэйшых жаночых курсаў у Маскве. Старшыня Маскоўскай гар. думы (1892—1904), чл. партыі акцябрыстаў (1906—17), чл. Дзярж. савета (з 1907). Адзін з першых рус. гісторыкаў даследаваў гісторыю новага часу, эпоху Франц. рэвалюцыі 1789—99. Аўтар прац: «Барацьба за польскі трон у 1733 г.» (1862), «Адносіны Лейбніца да Расіі і Пятра Вялікага» (1871), «Ідэя народаўладдзя і Французская рэвалюцыя 1789 г.» (1904), «Аб канстытуцыі і парламентарызме ў Расіі» (1906), «Французская рэвалюцыя 1789—1795 гг. у асвятленні І.Тэна» (1911), «Заходняе манаства і папства» (т. 1—2, 1913—15), «Філасофія гісторыі ад Аўгусціна да Гегеля» (1915).

Літ.:

Шаханов А.Н. Воспоминания В.И. Герье // История и историки. М., 1990.

т. 5, с. 174

ГРО́ТЭВАЛЬ ((Grotewohl) Ота) (11.3.1894, г. Браўншвайг, Германія — 21.9.1964),

нямецкі паліт. і дзярж. дзеяч. Вучыўся ў Акадэміі імя Лейбніца ў Гановеры (1924—26), Берлінскім ун-це (1926—30). З 1912 чл. Сацыял-дэмакратычнай партыі Германіі (СДПГ). Дэп. ландтага (1920—25), міністр унутр. спраў, міністр нар. адукацыі (1920—22), міністр юстыцыі (1922—24) зямлі Браўншвайг. Дэп. рэйхстага (1925—33). У час нацысцкай дыктатуры пазбаўлены дэпутацтва, за ўдзел у нелегальным антыфаш. руху арыштаваны ў 1938 і 1939. У 1945 удзельнічаў у аднаўленні СДПГ ва Усх. Германіі, старшыня яе ЦК (1945—46). Пасля аб’яднання СДПГ з усх.-герм. камуністамі ў Сацыяліст. адзіную партыю Германіі сустаршыня партыі (разам з В.Пікам; 1946 — 54), чл. Палітбюро яе ЦК (з 1949). Першы прэм’ер-міністр Герм. Дэмакр. Рэспублікі (ГДР, з 1958 старшыня СМ) у 1949—64, у 1960—64 таксама нам. старшыні Дзярж. савета рэспублікі. Тройчы Герой Працы ГДР (1954, 1959, 1964).

Тв.:

Рус. пер. — Избр. произв. (1945—1960 гг.). М., 1966.

т. 5, с. 449

ВЫ́ЗНАЧАНЫ ІНТЭГРА́Л,

канечны ліміт інтэгральнай сумы функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ на адрэзку [a, b]; адно з асн. паняццяў матэм. аналізу. Абазначаецца ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx$ .

Геаметрычна вызначаны інтэграл выражае плошчу «крывалінейнай трапецыі», абмежаванай адрэзкам [a, b] восі Ox, графікам функцыі 𝑓(x) і ардынатамі пунктаў графіка, якія маюць абсцысы a і b.

Паводле вызначэння вызначаны інтэграл ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx=\underset{\mathrm{\lambda }\to 0}{\overset{}{lim}}\sum _{k-1}^n𝑓\text{′(}{x}_k\text{′)}\mathrm{\Delta }{x}_k$ , дзе $\mathrm{\Delta }{x}_k=x_k-x_{k-1}$ — даўжыні элементарных адрэзкаў, якія атрымліваюцца ў выніку падзелу адрэзка [a, b] на n элементарных адрэзкаў пунктамі $a=x_0<x_1<x_2<\text{...}<x_n=b(k=\text{1,2,...,}n)$ ; λ — даўжыня найбольшага адрэзка $\mathrm{\Delta }{x}_k$; $x_k\text{′}$ — некаторы пункт адрэзка $\left[x_{k-1}\text{,}{x}_k\right]$. Асн. сродак вылічэння вызначанага інтэграла — формула Ньютана—Лейбніца ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx=F\text{(}b\text{)}-F\text{(}a\text{)}$ , дзе $F\text{(}x\text{)}$ — любая першаісная для $𝑓\text{(}x\text{)}$, г.зн. $F\text{′(}b\text{)}=𝑓\text{(}x\text{)}$ .

Вызначаны інтэграл мае разнастайныя дастасаванні ў матэматыцы, фізіцы, механіцы, біялогіі, тэхніцы. З яго дапамогай вылічаюць плошчы крывалінейных фігур, паверхняў, даўжыні дуг крывых ліній, аб’ёмы цел, каардынаты цэнтра цяжару, моманты інерцыі, шлях цела, работу і інш.

А.А.Гусак.

т. 4, с. 308

АДЗІ́НСТВА І РАЗНАСТА́ЙНАСЦЬ СВЕ́ТУ,

адна з асноватворных светапоглядных праблем, якая вырашаецца з пазіцый манізму, дуалізму і плюралізму. Манізм прымае за аснову ўсяго існага адзін пачатак. Матэрыялістычны манізм бачыць пачатак свету ў яго матэрыяльнасці (усе прадметы і з’явы — розныя віды ці ўласцівасці матэрыі, якая рухаецца). Наяўнасць структурных узроўняў матэрыі, на кожным з якіх яна валодае рознай будовай і падпарадкоўваецца спецыфічным законам руху, лічыцца крыніцай разнастайнасці свету. Ідэалістычны манізм звязвае адзінства свету з агульнасцю яго духоўнага пачатку. У Гегеля пачатак, які складае аснову ўсіх з’яў прыроды і гісторыі, прадстаўлены абсалютнай ідэяй. Дуалізм у поглядах на свет заключаецца ў прызнанні яго першапачаткам дзвюх раўнапраўных субстанцый: матэрыяльнай і духоўнай. Дэкартаўская (картэзіянская) карціна свету выцякае з паралельнага існавання цялеснай (працяглай) і мыслячай субстанцый (дуалізм цела і душы). Адзінкавыя прадметы — гэта модусы (часовы стан) працягласці і мыслення. Плюралізм грунтуецца на тым, што свет складаецца з мноства незалежных, раўнапраўных утварэнняў, якія не зводзяцца да адзінага пачатку. Паводле Лейбніца, субстанцыяльнымі адзінкамі прыроды з’яўляюцца манады — непадзельныя, замкнутыя духоўныя істоты; вышэйшай манадай ён лічыў Бога.

Літ.:

Гегель Г.В.Ф. Энциклопедия философских наук. Т. 1. Наука логики. М., 1974;

Декарт Р. Первоначала философии // Соч. М., 1989. Т. 1;

Лейбниц Г.В. Монадология // Соч. М., 1982. Т. 1;

Кучевский В.Б. Философские проблемы естествознания. М., 1985.

А.В.Рубанаў.

т. 1, с. 109

НЬЮ́ТАН ((Newton) Ісаак) (4.1.1643, Вулстарп, каля г. Грантэм, Вялікабрытанія — 31.3.1727),

англійскі фізік, матэматык і астраном, стваральнік класічнай механікі і асноў сучаснага прыродазнаўства. Чл. Лонданскага каралеўскага т-ва (1672, з 1703 яго прэзідэнт). Замежны чл. Парыжскай АН (1699). Скончыў Трыніты-каледж Кембрыджскага ун-та (1665). У 1669—1701 заг. кафедры матэматыкі гэтага ун-та. З 1696 даглядчык, з 1699 дырэктар Манетнага двара ў Лондане. Навук. працы па механіцы, оптыцы, астраноміі, матэматыцы. Даў азначэнні зыходных паняццяў і сфармуляваў асн. законы класічнай механікі (гл. Ньютана законы механікі). Адкрыў сусветнага прыцягнення закон. Увёў тэрмін «гравітацыя» і стварыў класічную тэорыю гравітацыі. На яе аснове растлумачыў Кеплера законы, асаблівасці руху Месяца, прэцэсію Юпітэра, прапанаваў тэорыю фігуры Зямлі, тэорыю прыліваў і адліваў. У галіне оптыкі адкрыў дысперсію святла (1666), храматычную аберацыю, інтэрферэнцыю святла ў тонкіх слаях паветра (гл. Ньютана кольцы). Сканструяваў люстэркавы тэлескоп-рэфлектар (1668), вынайшаў рэфлектарны мікраскоп (1672) і секстант. Развіў карпускулярную тэорыю святла. Распрацаваў дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнні (1665—66; гл. Ньютана—Лейбніца формула), пашырыў бінаміяльную формулу на выпадак адвольных рэчаісных паказчыкаў (гл. Ньютана біном). Гал. праца Н. — «Матэматычныя асновы натуральнай філасофіі» (1687), якая стала фундаментам класічнай фізікі і вызначыла развіццё прыродазнаўства ў наступныя 2 стагоддзі. У аснову ньютанаўскай карціны свету пакладзены паняцці абс. прасторы і часу, апісанне фіз. ўзаемадзеяння праз паняцце сілы, тэорыя далёкадзеяння, а таксама філас.-тэалагічныя погляды Н. Яго імем названа адзінка сілы ў СІ — ньютан.

Тв.:

Рус. пер. — Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе. М., 1948;

Оптика или трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света. 2 изд. М., 1954;

Математические начала натуральной философии. М., 1989.

Літ.:

Исаак Ньютон, 1643—1727: Сб. статей к трехсотлетию со дня рождения. М.; Л., 1943;

Карцев В.П. Ньютон. М., 1987;

Вавилов С.И. Исаак Ньютон, 1643—1727. 4 изд. М., 1989.

М.М.Касцюковіч.

т. 11, с. 397