Verbum

ЛЕ́ЙБНІЦА ФО́РМУЛА,

формула для вызначэння вытворнай n-га парадку ад здабытку дзвюх функцый праз вытворныя сумножнікаў. Прыведзена Г.В.Лейбніцам у лісце да І.Бернулі (1695).

Калі функцыі u(x) і v(x) у пункце х маюць вытворныя да n-га парадку ўключна, то іх здабытак у тым жа пункце мае вытворныя тых жа парадкаў, якія паводле Л.ф. маюць выгляд: ${\displaystyle \frac{d^n}{d{x}^n}\text{(}uv\text{)}=\frac{d^{n}u}{d{x}^n}v+c_n^1\frac{d^{\mathrm{n-1}}u}{d{x}^{\mathrm{n-1}}}\frac{dv}{dx}+c_n^2\frac{d^{\mathrm{n-2}}u}{d{x}^{\mathrm{n-2}}}\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+\text{...}+c_n^{\mathrm{n-1}}\frac{du}{dx}\frac{d^{\mathrm{n-1}}v}{d{x}^{\mathrm{n-1}}}+u\frac{d^{n}v}{d{x}^n}}$ , дзе ${\displaystyle c_n^{\mathrm{k}}}$ — бінаміяльныя каэфіцыенты. Выкарыстоўваецца пры вызначэнні вытворных вышэйшых парадкаў. Гл. таксама Дыферэнцыяльнае злічэнне.

т. 9, с. 189

НЬЮ́ТАНА—ЛЕ́ЙБНІЦА ФО́РМУЛА,

асноўная формула інтэгральнага злічэння. Выражае сувязь паміж вызначаным інтэгралам ад функцыі 𝑓(x), зададзенай на адрэзку [a, b], і якой-н. яе першаіснай (гл. Нявызначаны інтэграл): ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx=F\text{(}b\text{)}-F\text{(}a\text{)}}$ . Правіла, выражанае Н.—Л.ф., было вядома І.Ньютану і Г.В.Лейбніцу (адсюль назва). Калі функцыя 𝑓(x) неперарыўная на [a, b], то для любога x з [a, b] можна таксама запісаць ${\displaystyle F\text{(}x\text{)}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}𝑓\text{(}t\text{)}dt+C}$ , дзе C — некаторая пастаянная.

т. 11, с. 398

ЛАГІ́СТЫКА (ад грэч. logistikē мастацтва вылічаць, разважаць),

1) назва этапа ў развіцці матэматычнай логікі, прадстаўленага працамі Б.Расела і яго школы (гл. Лагіцызм). У антычнасці тэрмінам «Л.» называлі практычныя аперацыі вылічэнняў і вымярэнняў у арыфметыцы ў процілегласць тэарэт. матэматыцы. У Г. Лейбніца — абазначэнне «вылічэння вывадаў» (calculus ratiocinator) 2) Сінонім ( у пэўнай ступені архаічны) тэрміна «матэм. логіка». У наш час тэрмін «Л.» выкарыстоўваюць для абазначэння матэм. логікі пры вырашэнні эканам. задач, аптымізацыі кіраўніцкіх функцый і інш. Вытворнымі ад «Л.» з’яўляюцца паняцці «лагістычны метад» (спосаб пабудовы фармалізаваных моў для розных раздзелаў логікі) і «лагістычная сістэма» (фармальная частка гэтых моў).

В.М.Пешкаў.

т. 9, с. 89

НЯВЫ́ЗНАЧАНЫ ІНТЭГРА́Л,

агульны выраз першаіснай функцыі, вытворная ад якой роўная зададзенай падынтэгральнай функцыі 𝑓(x). Абазначаецца ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{\int }}𝑓\text{(}x\text{)}dx}$ . Вылічваецца з дакладнасцю да адвольнай пастаяннай, напр., ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{\int }}{x}^{n}dx=\frac{x^n+1}{n+1}+C}$ , дзе C — адвольная пастаянная.

Вылічэнне Н.і. (інтэграванне) — аперацыя, адваротная дыферэнцаванню. Паводле абазначэння ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{\int }}𝑓\text{(}x\text{)}dx=F\text{(}x\text{)}+C}$ . Усе першаісныя зададзенай функцыі адрозніваюцца толькі адвольнай пастаяннай і знаходзяцца ў выразе F(x) + C, таму што [F(x) + C]′ = F′(x) = f(x). Для функцыі, зададзенай на адрэзку, Н.і. звязаны з вызначаным інтэгралам ад гэтай функцыі Ньютана—Лейбніца формулай. Гл. таксама Інтэгральнае злічэнне.

т. 11, с. 405

БА́ЎМГАРТЭН ((Baumgarten) Аляксандр Готліб) (17.6.1714, Берлін — 26.5.1762),

нямецкі філосаф школы К.Вольфа. З 1740 праф. ун-та ў Франкфурце-на-Одэры. Родапачынальнік эстэтыкі як філас. дысцыпліны. У аснове канцэпцыі Баўмгартэна падзел пазнання на рацыянальнае і пачуццёвае. Эстэтыку лічыў часткай тэорыі пазнання, што датычыць паўсвядомых, заблытаных, незразумелых уяўленняў (т.зв. перцэпцый у прынятай Баўмгартэнам тэрміналогіі Лейбніца) у адрозненне ад ясных і лагічных меркаванняў, т.зв. аперцэпцый. Паводле Баўмгартэна, аперцэпцыямі, або рацыянальным пазнаннем, займаецца логіка, а перцэпцыямі, або пачуццёвым пазнаннем, — эстэтыка. Лічыў, што мастацкае (пачуццёвае) пазнанне, якое выяўляецца ў эстэт. суджэннях, з’яўляецца недасканалай формай лагічнага пазнання. Гал. працы: «Развагі» (1735), «Метафізіка» (1739), «Эстэтыка» (1750—58).

Тв.:

Рус. пер. — у кн.: История эстетики. М.,1964. Т. 2. С. 49—65.

Н.К.Мазоўка.

т. 2, с. 355

ГЕР’Е́ (Уладзімір Іванавіч) (29.5.1837, Масква — 30.6.1919),

расійскі гісторык, паліт. дзеяч. Чл.-кар. Пецярбургскай АН (1902). Д-р гіст. н., праф. (1868). Скончыў Маскоўскі ун-т (1858), дзе і працаваў (1868—1904). Вучань Ц.М.Граноўскага. Адзін са стваральнікаў Вышэйшых жаночых курсаў у Маскве. Старшыня Маскоўскай гар. думы (1892—1904), чл. партыі акцябрыстаў (1906—17), чл. Дзярж. савета (з 1907). Адзін з першых рус. гісторыкаў даследаваў гісторыю новага часу, эпоху Франц. рэвалюцыі 1789—99. Аўтар прац: «Барацьба за польскі трон у 1733 г.» (1862), «Адносіны Лейбніца да Расіі і Пятра Вялікага» (1871), «Ідэя народаўладдзя і Французская рэвалюцыя 1789 г.» (1904), «Аб канстытуцыі і парламентарызме ў Расіі» (1906), «Французская рэвалюцыя 1789—1795 гг. у асвятленні І.Тэна» (1911), «Заходняе манаства і папства» (т. 1—2, 1913—15), «Філасофія гісторыі ад Аўгусціна да Гегеля» (1915).

Літ.:

Шаханов А.Н. Воспоминания В.И. Герье // История и историки. М., 1990.

т. 5, с. 174

ГРО́ТЭВАЛЬ ((Grotewohl) Ота) (11.3.1894, г. Браўншвайг, Германія — 21.9.1964),

нямецкі паліт. і дзярж. дзеяч. Вучыўся ў Акадэміі імя Лейбніца ў Гановеры (1924—26), Берлінскім ун-це (1926—30). З 1912 чл. Сацыял-дэмакратычнай партыі Германіі (СДПГ). Дэп. ландтага (1920—25), міністр унутр. спраў, міністр нар. адукацыі (1920—22), міністр юстыцыі (1922—24) зямлі Браўншвайг. Дэп. рэйхстага (1925—33). У час нацысцкай дыктатуры пазбаўлены дэпутацтва, за ўдзел у нелегальным антыфаш. руху арыштаваны ў 1938 і 1939. У 1945 удзельнічаў у аднаўленні СДПГ ва Усх. Германіі, старшыня яе ЦК (1945—46). Пасля аб’яднання СДПГ з усх.-герм. камуністамі ў Сацыяліст. адзіную партыю Германіі сустаршыня партыі (разам з В.Пікам; 1946 — 54), чл. Палітбюро яе ЦК (з 1949). Першы прэм’ер-міністр Герм. Дэмакр. Рэспублікі (ГДР, з 1958 старшыня СМ) у 1949—64, у 1960—64 таксама нам. старшыні Дзярж. савета рэспублікі. Тройчы Герой Працы ГДР (1954, 1959, 1964).

Тв.:

Рус. пер. — Избр. произв. (1945—1960 гг.). М., 1966.

т. 5, с. 449

ВЫ́ЗНАЧАНЫ ІНТЭГРА́Л,

канечны ліміт інтэгральнай сумы функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ на адрэзку [a, b]; адно з асн. паняццяў матэм. аналізу. Абазначаецца ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx}$ .

Геаметрычна вызначаны інтэграл выражае плошчу «крывалінейнай трапецыі», абмежаванай адрэзкам [a, b] восі Ox, графікам функцыі 𝑓(x) і ардынатамі пунктаў графіка, якія маюць абсцысы a і b.

Паводле вызначэння вызначаны інтэграл ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx=\underset{\mathrm{\lambda }\to 0}{\overset{}{lim}}\sum _{k-1}^n𝑓\text{′(}{x}_k\text{′)}\mathrm{\Delta }{x}_k}$ , дзе ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{x}_k=x_k-x_{k-1}}$ — даўжыні элементарных адрэзкаў, якія атрымліваюцца ў выніку падзелу адрэзка [a, b] на n элементарных адрэзкаў пунктамі $a=x_0<x_1<x_2<\text{...}<x_n=b(k=\text{1,2,...,}n)$ ; λ — даўжыня найбольшага адрэзка $\mathrm{\Delta }{x}_k$; $x_k\text{′}$ — некаторы пункт адрэзка $\left[x_{k-1}\text{,}{x}_k\right]$. Асн. сродак вылічэння вызначанага інтэграла — формула Ньютана—Лейбніца ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx=F\text{(}b\text{)}-F\text{(}a\text{)}}$ , дзе $F\text{(}x\text{)}$ — любая першаісная для $𝑓\text{(}x\text{)}$, г.зн. ${\displaystyle F\text{′(}b\text{)}=𝑓\text{(}x\text{)}}$ .

Вызначаны інтэграл мае разнастайныя дастасаванні ў матэматыцы, фізіцы, механіцы, біялогіі, тэхніцы. З яго дапамогай вылічаюць плошчы крывалінейных фігур, паверхняў, даўжыні дуг крывых ліній, аб’ёмы цел, каардынаты цэнтра цяжару, моманты інерцыі, шлях цела, работу і інш.

А.А.Гусак.

т. 4, с. 308