Verbum

АПЕРА́ТАРЫ ў квантавай механіцы, матэматычныя аперацыі, якія выконваюцца над хвалевай функцыяй, што апісвае стан сістэмы. Служаць для супастаўлення з зададзенай хвалевай функцыяй (вектарам стану) ψ інш. функцыі ${\displaystyle \mathrm{\psi \prime }:\mathrm{\psi \prime }=\hat{\mathrm{L}}\mathrm{\psi }}$ , дзе $\hat{\mathrm{L}}$ — аператар, якому адпавядае фіз. велічыня L. Напр., аператар множання $\hat{\mathrm{x}}\mathrm{\psi }=\mathrm{x}$, дзе $\hat{\mathrm{x}}$ — аператар каардынаты; дыферэнцавання ${\displaystyle {\hat{\mathrm{P}}}_{\mathrm{x}}\mathrm{\psi }=-\mathrm{ih}\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{x}}}$ , дзе ${\hat{\mathrm{P}}}_{\mathrm{x}}$ — аператар праекцыі імпульсу на вось х. Над аператарам можна выконваць алг. дзеянні, напр., здабытак $\hat{\mathrm{L}}={\hat{\mathrm{L}}}_1{\hat{\mathrm{L}}}_2$ азначае, што ${\hat{\mathrm{L}}}_{\mathrm{\psi }}=\mathrm{\psi ″}$, калі ${\hat{\mathrm{L}}}_1\mathrm{\psi }=\mathrm{\psi \prime }$ і ${\hat{\mathrm{L}}}_2\mathrm{tp\prime }=\mathrm{\psi ″}$. Яўны выгляд аператара вызначаецца ўласцівасцямі пераўтварэнняў той сіметрыі, з якой звязана матэм. фармулёўка адпаведнага закону захавання (гл. Нётэр тэарэма). Уласцівасці аператара $\hat{\mathrm{L}}$ вызначаюцца ўраўненнем $\hat{\mathrm{L}}\mathrm{\psi }={\hat{\mathrm{L}}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{n}}$; яго рашэнні ψ_n (уласныя функцыі) апісваюць квантавыя станы, у якіх фіз. велічыня L прымае значэнні L_n(уласныя значэнні аператара). Набор такіх значэнняў (спектр) выяўляе ўсе значэнні фіз. велічыні L, якія можна вызначыць эксперыментальна, бывае неперарыўным (напр., аператар каардынат, імпульсу), дыскрэтным (аператар праекцыі моманту імпульсу на каардынатную вось) і змешаным (аператар энергіі ў залежнасці ад характару сіл, што дзейнічаюць у сістэме; дыскрэтныя ўласныя значэнні аператара наз. ўзроўнямі энергіі). У квантавай механіцы карыстаюцца пераважна лінейнымі аператарамі і эрмітавымі аператарамі.

А.​А.​Богуш.

т. 1, с. 423

ДРУ́ГАСНАЕ КВАНТАВА́ННЕ,

метад апісання квантавых сістэм з вял. пераменнай колькасцю часціц, у якім ролю незалежных пераменных хвалевых функцый выконваюць лікі часціц у індывід. станах асобнай часціцы (т.з. лікі запаўнення).

Д.к. распрацавана П.Дзіракам для базонаў (1927) і незалежна Ю.Вігнерам і ням. фізікам П.​Іорданам для ферміёнаў (1928). Д.к. дасягаецца ўвядзеннем аператараў, што павялічваюць (аператары нараджэння) або памяншаюць (аператары знікнення) лік часціц у вызначаным стане на 1. Матэм. ўласцівасці такіх аператараў устанаўліваюцца перастановачнымі суадносінамі (камутантамі), выгляд якіх вызначаецца спінам часціцы (відам квантавай статыстыкі). Пры такім падыходзе хвалевая функцыя сама становіцца аператарам. Д.к. выкарыстоўваецца ў квантавай тэорыі поля.

А.​І.​Балсун.

т. 6, с. 209

«БЕЛАРУСЬФІ́ЛЬМ»,

кінастудыя Беларусі. Створана ў 1928 кінаарганізацыяй Белдзяржкіно пад назвай «Савецкая Беларусь» (напачатку ў Ленінградзе, з 1939 у Мінску), з 1946 сучасная назва. Выпускае фільмы маст. і тэлевізійныя ігравыя, хранікальна-дакумент. і навук.-папулярныя, анімацыйныя. У даваенны час на студыі створаны маст. фільмы: «Кастусь Каліноўскі» (1928), «Да заўтра» (1929), «Атэль «Савой» і «У агні народжаная» (1930), «Жанчына» (1932), «Першы ўзвод» (1933), «Двойчы народжаны» (1934), «Паручнік Кіжэ» (1934), «Палескія рабінзоны» (1935), «Дзяўчына спяшаецца на спатканне» і «Шукальнікі шчасця» (1936), «Дачка Радзімы» і «Балтыйцы» (1937), «Адзінаццатага ліпеня»; кінанавелы «Мядзведзь», «Маска» і «Мянтуз» (усе 1938), «Чалавек у футарале» (1939) і інш.

Сярод пачынальнікаў студыі рэжысёры Ю.Тарыч, У.Гардзін, аператары А.Кальцаты, М.​Казлоўскі, Н.​Навумаў-Страж, Д.​Шлюглейт, мастак М.​Літвак. У 1920—30-я г. на студыі здымаліся акцёры бел. т-раў У.Крыловіч, Л.Мазалеўская, П.Малчанаў, Б.Платонаў, В.Пола, У.Уладамірскі і інш., а таксама Л.​Кміт, Б.Бабачкін, М.Сіманаў, М.Чаркасаў. На пачатку тут працавалі многія вядомыя майстры кіно: рэжысёры М.Данской, Р.Рашаль; кампазітары І.Дунаеўскі, В.Салаўёў-Сядой, А.Туранкоў; у 1930-я г. — сцэнарысты Б.Брадзянскі, А.Вольны, Р.Кобец, М.Таўбэ; рэжысёры М.​Авербах, Э.Аршанскі, І.Аненскі, Я.Дзіган, У.Корш-Саблін, С.Сплашноў, А.Файнцымер; аператары А.Булінскі, С.​Бяляеў, С.​Іваноў, Б.​Рабаў, А.​Рагоўскі; мастакі С.​Мандэль, У.​Пакроўскі, Р.​Фэдор.

У Вял. Айч. вайну аператары кінахронікі (І.Вейняровіч, М.Бераў, У.Цяслюк і інш.) працавалі ў франтавых кінагрупах, частка работнікаў — на студыях Алма-Аты і Масквы, дзе створаны кіназборнік «Беларускія навелы» (1942), фільм-канцэрт «Жыві, родная Беларусь» (1944), дакумент, фільм «Вызваленне Савецкай Беларусі» (1944). Першыя пасляваен. маст. фільмы здымаліся на студыях Кіева, Адэсы і Ленінграда, у Мінску ствараліся пераважна кіначасопісы і кінанарысы. З 1950-х г. маст. фільмы здымаліся ў Мінску. У 1954 створаны першы бел. каляровы маст. фільм «Дзеці партызана». У 1971 зняты першы бел. шырокафарматны фільм «Крушэнне імперыі». Студыя ажыццявіла сумесныя пастаноўкі з кінастудыямі Чэхаславакіі («Пушчык едзе ў Прагу», 1966; «Маленькі сяржант», 1977; «Заўтра будзе позна», 1972) і Балгарыі («Братушка», 1976).

Многія творы студыі атрымалі шырокае прызнанне і адзначаны прэміямі на міжнар. і ўсесаюзных кінафестывалях. Сярод іх: «Канстанцін Заслонаў», «Чырвонае лісце», «Гадзіннік спыніўся апоўначы», «Масква—Генуя», «Альпійская балада», «Дзяўчынка шукае бацьку», «Анюціна дарога», «Іван Макаравіч», «Паланэз Агінскага», «Руіны страляюць...» (тэлевізійны), «Вянок санетаў», «Горад майстроў», «Праз могілкі», «Вазьму твой боль», «Дзікае паляванне караля Стаха», «Людзі на балоце», «Хам», «Наш браняпоезд» і інш.; дакументальныя «Генерал Пушча», «Праз дзесяць гадоў, або Надзеі і трывогі 10 «А», «Боль мой — Хатынь», «А зязюля кукавала...», «Палескія калядкі», цыкл «У вайны не жаночы твор», «Паляванне на золата» і інш.

У 1940—50-я г. на студыі працавалі рэжысёры П.​Васілеўскі, Л.Голуб, М.​Фігуроўскі; аператары У.Акуліч, А.Аўдзееў, І.Пікман, Г.​Удавянкоў; мастакі У.Белавусаў, Ю.Булычаў, Е.Ганкін; у 1960-я г. — рэжысёры У.Бычкоў, Р.Віктараў, В.Вінаградаў, І.Дабралюбаў, М.Калінін, Б.Сцяпанаў, В.Тураў, В.Чацверыкоў; аператары А.Забалоцкі, Ю.Марухін, І.Рамішэўскі; мастакі Ю.​Альбіцкі, У.Дзяменцьеў, Я.Ігнацьеў; у 1970 — пач. 90-х г. — рэжысёры А.Карпаў. Л.​Мартынюк, В.Нікіфараў, М.Пташук, В.Рыбараў, В.Рубінчык; аператары П.​Аліфер, Дз.Зайцаў, Т.Логінава, Р.Масальскі, С.Пятроўскі, Ю.Ялхоў; мастак А.Чартовіч і інш.; стваральнікі дакумент. фільмаў В.Дашук, Ю.Лысятаў, М.Жданоўскі, С.Лук’янчыкаў, Дз.​Міхлееў, В.Сукманаў, Ю.Цвяткоў, Р.Ясінскі; мультыплікатары А.Белавусаў, І.​Волчак, А.​Піткевіч і інш. У складзе «Беларусьфільма» працуюць творчыя аб’яднанні «Летапіс», «Тэлефільм», майстэрня анімацыйных фільмаў (з 1975). Пры «Беларусьфільме» працуе Тэатр-студыя кінаакцёра. Гл. таксама нарыс Кіно ў арт. Беларусь.

Л.​І.​Паўловіч.

т. 3, с. 68

БА́НАХ ((Banach) Стафан) (30.3.1892, Кракаў — 31.8.1945),

польскі і ўкр. матэматык; адзін са стваральнікаў львоўскай матэм. школы. Чл.-кар. АН у Кракаве (1924). Скончыў Львоўскі політэхн. ін-т (1914). З 1924 праф. Львоўскага ун-та. Адзін са стваральнікаў сучаснага функцыянальнага аналізу. Яго імем названы лінейныя прасторы, у якіх найбольш плённа вывучаюцца лінейныя функцыяналы і аператары.

Тв.:

Рус. пер. — Дифференциальное и интегральное исчисление. 3 изд. М., 1972.

т. 2, с. 273

КВА́НТАРЫ (ад лац. quantum колькі),

у матэматычнай логіцы, аператары, што выяўляюць пры вылічэннях колькасную характарыстыку аб’ектаў, пра якія гаворыцца ў выказваннях, або іх прэдыкатаў.

Найб. важнае значэнне маюць К. агульнасці (у звычайнай мове ім адпавядаюць словы «ўсе», «усякі», «кожны», «любы», «бясконца многа» і інш.) і К. існавання («некаторы», «некалькі», «існуе», «адзіны» і інш.). У лагічных вылічэннях К. пераўтвараюць свабодныя пераменныя ў звязаныя. Аперацыю выкарыстання К. наз. падвядзеннем пад К. (вывядзеннем з-пад К.) ці квантарыфікацыяй. Над выразамі з К. можна рабіць усе аперацыі злічэння прэдыкатаў, размяркоўваць К. па членах складанага выразу, перастаўляць іх і інш. ў адпаведнасці з законамі матэматычнай логікі.

т. 8, с. 211

АПЕРА́ТАРСКАЕ МАСТА́ЦТВА,

від творчасці ў кінематаграфіі і на тэлебачанні, майстэрства сродкамі кіназдымкі рэалізаваць ідэі літаратурнага сцэнарыя і творчай задумы рэжысёра.

Узнікла і развілося са станаўленнем кінамастацтва. Першыя здымкі ажыццявілі ў Францыі ў 1895 браты Люм’ер. З развіццём кінематографа фарміраваліся і выяўл. сродкі аператарскага мастацтва: кампазіцыя кадра, прасторы, асвятленне, ракурс, прыёмы дынамічнай здымкі, аптычны малюнак кадра, святлотанальнае і колеравае вырашэнне эпізодаў. Значныя работы з’явіліся ў Італіі, ЗША, Германіі, Швецыі, Даніі. У 1920-я г. фарміравалася сав. школа аператарскага мастацтва (Э.Цісэ, А.Галаўня, А.Масквін, Д.​Дэмуцкі і інш.). У 1920—30-я г. ў стварэнні цэласнага выяўл. вобраза фільма вызначыліся франц. аператары Ж.​Перыналь, Р.​Матэ, Б.​Каўфман, амер. Дж.​Арналд, Б.​Рэйналдс, Х.​Расан; у распрацоўцы і выкарыстанні колеру ў кіно — амер. аператар Р.​Рэнахен, сав. аператар Ф.​Правораў.

У 1930-я г. са з’яўленнем гуку кінааператары асвойвалі новыя маст.-творчыя тэхналогіі і формы выяўл. арганізацыі матэрыялу. Павялічылася ўвага да псіхал. партрэтных характарыстык персанажаў. У 1940—60-я г. стылістыка майстроў зах. кінематографа выявілася ў творчай практыцы неарэалізму. Аператары франц. «новай хвалі» выкарыстоўвалі здымкі рухомай камерай у натуральным асяроддзі, імправізаваную кампазіцыю кадра. На аснове новай тэхнікі, матэрыялаў і тэхналогій 1960—90-х г. пашырылася фарміраванне індывід. стыляў у аператарскім мастацтве. Сярод найб. вядомых майстроў: Г.​Толанд, Х.​Уэкслер, Л.​Ковач, Дж.​Тэйлар (ЗША), Ю.​Стрындберг, С.​Нюквіст (Швецыя), Э.​Рышар, Н.​Альмендрас, П.​Глен (Францыя), В.​Старара, Т.​Дэлі Колі, Дж.​Ратуна, П. дэ Сантыс, Л.​Таволі (Італія), Дж.​Олкат, Дж.​Ансварт, Д.​Слокам (Вялікабрытанія), Л.​Ахвледзіяні, А.​Булінскі, К.​Кыдыраліеў, П.​Лебешаў, Р.​Масальскі, М.​Мусаеў, В.​Нікалаеў, Л.​Пааташвілі, М.​Піліхіна, Г.​Рэрберг, Ю.​Сіларт, С.​Урусеўскі, Х.​Файзіеў, В.​Юсаў (СССР).

На Беларусі першыя маст. фільмы ў 1920—30-я г. здымалі аператары Д.​Шлюглейт («Лясная быль»), М.​Казлоўскі («Хвоі гамоняць»), Н.​Навумаў-Страж («Жанчына»), А.​Кальцаты («Першы ўзвод»), Б.​Рабаў («Двойчы народжаны»). Сталым аператарскім мастацтвам вызначаюцца лепшыя фільмы канца 1940—50-х г., якія знялі А.​Булінскі («Дзеці партызана»), А.​Гінцбург («Канстанцін Заслонаў»), Г.​Удавянкоў («Міколка-паравоз»), У.​Акуліч («Гадзіннік спыніўся апоўначы»), А.​Аўдзееў і І.​Пікман («Дзяўчынка шукае бацьку»). Выкарыстанне з сярэдзіны 1950-х г. шырокіх і шырокафарматных экранаў павялічыла выяўл. магчымасці аператарскага мастацтва. У 1960—80-я г. аператарскае мастацтва бел. майстроў вызначалі паэт. светаадчуванне (А.​Забалоцкі — «Праз могілкі», «Альпійская балада»), псіхалагізм і выразнасць кампазіцыі (Ю.​Марухін — «Магіла льва», «Паводка»), тонкае адчуванне прыроды (Дз.​Зайцаў — «Рудабельская рэспубліка», «Людзі на балоце»), дакладнае адчуванне колеру (Э.​Садрыеў — «Жыццё і смерць двараніна Чартапханава», «Хлеб пахне порахам»), дынамізм і лірызм (Т.​Логінава — «Вянок санетаў», «Дзікае паляванне караля Стаха»), завершанасць кампазіцыйных рашэнняў (Ю.​Ялхоў — «Раскіданае гняздо», «Франка — жонка Хама»).

Г.​В.​Ратнікаў.

т. 1, с. 423

АПЕРА́ТАР (ад лац. operator які дзейнічае), 1) у матэматыцы — адпаведнасць паміж элементамі двух мностваў X і Y (кожнаму элементу x з X адпавядае пэўны элемент y з Y). Раўназначныя паняцці: адлюстраванне, пераўтварэнне, функцыя, функцыянал. Важны клас аператара — лінейныя аператары ў лінейнай алгебры і функцыянальным аналізе. Дыферэнцыяльнымі і інтэгральнымі аператарамі карыстаюцца ў матэм. фізіцы, тэорыі дыферэнцыяльных і інтэгральных ураўненняў і інш. Напр., аператар дыферэнцавання ${\displaystyle \mathrm{A }\mathrm{f}\text{(}\mathrm{x}\text{)}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}\text{(}\mathrm{x}\text{)}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ ; інтэгральны ${\displaystyle \mathrm{A }\mathrm{f}\text{(}\mathrm{x}\text{)}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{K}\text{(x, x′)}\mathrm{f}\text{(}\mathrm{x}\text{′)}\mathrm{d}\mathrm{x\prime }}$ ; зруху ${\displaystyle \mathrm{A }\mathrm{f}\text{(}\mathrm{x}\text{)}=\mathrm{f}\text{(}\mathrm{x}+\mathrm{a}\text{)}}$ . Да логікавых аператараў адносяцца кан’юнкцыя, дыз’юнкцыя, імплікацыя, адмаўленне, квантары агульнасці і існавання.

2) У вылічальнай тэхніцы — прадпісанне на мове праграмавання закончанага дзеяння ў праграме, напр. прысваенне лікавага значэння пераменнай велічыні, перадача кіравання, выклік падпраграмы, цыкл.

3) У тэхніцы — спецыяліст, які кіруе з пульта абсталяваннем, напр. ЭВМ, радыёлакацыйнай станцыяй.

М.​П.​Савік.

т. 1, с. 423

КВА́НТАВАЯ ТЭО́РЫЯ ПО́ЛЯ,

рэлятывісцкая квантавая тэорыя элементарных часціц і іх узаемадзеянняў; адзін з асн. раздзелаў тэарэт. фізікі, у якім вывучаюцца агульныя законы будовы матэрыі на мікраўзроўні. У К.т.п. кожнаму тыпу элементарных часціц як першасных крыніц і пераносчыкаў фундаментальных узаемадзеянняў ставіцца ў адпаведнасць сваё другасна-квантаванае поле (гл. Другаснае квантаванне), якое апісваецца аператарнай хвалевай функцыяй Ψ (гл. Аператары, Хвалевая функцыя). Кампаненты Ψ пры замене каардынат прасторы—часу згодна з патрабаваннямі спец. адноснасці тэорыі пераўтвараюцца паводле прадстаўленняў групы Лорэнца (гл. Лорэнца пераўтварэнні). Функцыі свабодных палёў Ψ₀ раскладаюцца на плоскія хвалі дэ Бройля, якія апісваюць станы з вызначанай энергіяй і імпульсам: ${\displaystyle {\mathrm{\Psi }}_0=\sum _{\mathrm{n}}^{\mathrm{}}\text{(}{C}_n{e}^{ikx}+e^{-ikx}\text{)}}$ , дзе K = p/h, p — 4-мерны вектар энергіі-імпульсу часціцы, h — Планка пастаянная, x — вектар каардынат-часу, C_n і $C_n^{\mathrm{+}}$ — аператары паглынання і выпрамянення часціц у нейкім n-м стане. Аператары задавальняюць перастановачным суадносінам камутацыі (антыкамутацыі) і адпавядаюць часціцам цэлага (паўцэлага) спіна — базонам (ферміёнам), якія падпарадкоўваюцца Бозе—Эйнштэйна (Фермі—Дзірака) статыстыцы. У К.т.п. кожнай часціцы адпавядае антычасціца, а квантаванае поле з’яўляецца сістэмай часціц і антычасціц. Тут няма закону захавання ліку часціц: пры ўзаемадзеянні яны могуць узаемна пераўтварацца адны ў другія (адны часціцы паглынаюцца, другія нараджаюцца). Стан квантаванага поля, у якім колькасць рэальных часціц роўная нулю, наз. вакуумам (гл. Вакуум у квантавай тэорыі поля).

Першай К.т.п. стала квантавая электрадынаміка. Яе ідэі і метады былі распаўсюджаны на ўсе элементарныя часціцы і выкарыстаны пры пабудове квантавапалявых тэорый слабага (Э.​Фермі, 1934) і моцнага (І.​Я.​Там, Дз.​Дз.​Іваненка, Х.​Юкава, 1932—35) узаемадзеянняў, якія, аднак, не вытрымалі выпрабавання часам. Таму значнае развіццё атрымалі аксіяматычны і іншыя падыходы ў К.т.п. Аднак толькі на падставе універсальнага дынамічнага прынцыпу калібровачнай інварыянтнасці пабудаваны сучасныя калібровачныя квантавапалявыя тэорыі электраслабага ўзаемадзеяння (С.​Вайнберг, Ш.​Глэшаў, А.​Салам, 1967—71) і моцнага ўзаемадзеяння — квантавая хромадынаміка (М.​Гел-Ман, Вайнберг, Салам і інш., 1973), якія забяспечылі дастаткова добрую згоду тэорыі эксперыментам. Першаснымі крыніцамі гэтых узаемадзеянняў сталі лептоны і кваркі, а іх пераносчыкамі — кванты адпаведных калібровачных палёў: фатон, 3 слабыя вектарныя базоны і 8 глюонаў. Далейшае развіццё К.т.п. звязваецца з канцэпцыяй адзінай тэорыі поля, суперсіметрыі, рашотак, струн, мембран і інш. Метады К.т.п. шырока выкарыстоўваюцца ў ядз. фізіцы, тэорыі цвёрдага цела, оптыцы і спектраскапіі, квантавай электроніцы і інш.

На Беларусі пытанні К.т.п. распрацоўваюцца з 1944 у БДУ, пазней у Ін-це фізікі Нац. АН Беларусі (да пач. 1990-х г. пад кіраўніцтвам Ф.​І.​Фёдарава). Пабудавана агульная каварыянтная тэорыя рэлятывісцкіх хвалевых ураўненняў 1-га парадку, распрацаваны метад праекцыйных аператараў, з дапамогай уведзенай вектарнай параметрызацыі групы Лорэнца вырашаны многія пытанні рэлятывісцкай кінематыкі (Фёдараў, А.​А.​Богуш, Ю.​А.​Курачкін і інш.).

Літ.:

Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М., 1957;

Федоров Ф.И. Проективные операторы в теории элементарных частиц // Журн. эксперимент. и теорет. физики. 1958. Т. 35, вып. 2;

Яго ж. Группа Лоренца. М., 1979;

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля: Пер. с англ. М., 1963;

Ченг Т.-П., Л и Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц: Пер. с англ. М., 1987.

А.​А.​Богуш, Ф.​І.​Фёдараў.

т. 8, с. 208

МНО́ЖАННЕ,

аперацыя ўтварэння па двух дадзеных аб’ектах a і b (сумножніках) трэцяга аб’екта с (здабытку). Абазначаецца c = a x b=a∙b=ab. Уласцівасці М. вывучаюцца ў агульнай алгебры, тэорыях груп і кольцаў.

Мае розны канкрэтны сэнс ў залежнасці ад канкрэтнага віду сумножнікаў і здабытку. Напр., у выніку М. цэлых дадатных лікаў a і b атрымліваецца лік с, роўны суме b складаемых, кожнае з якіх роўнае a: c = a + a + ... + a (b складаемых). М. лікаў адназначнае і мае ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці і дыстрыбутыўнасці. Абагульненні М. звязаныя з магчымасцю разглядаць лікі як аператары ў сукупнасці вектараў на плоскасці. Напр., камплекснаму ліку z = r (cosφ+ і sinφ) адпавядае аператар расцяжэння ўсіх вектараў у r разоў і павароту іх на плоскасці на вугал φ вакол пачатку каардынат. Пры гэтым М. камплексных лікаў адпавядае М. адпаведных аператараў. Такое вызначэнне аператараў пераносіцца на інш. іх віды, якія ўжо нельга выразіць з дапамогай лікаў, напр., лінейныя пераўтварэнні, М. вектараў, матрыц, кватэрніёнаў. Пры гэтым часта парушаюцца некаторыя ўласцівасці М. (звычайна камутатыўнасць).

т. 10, с. 502

ЛО́ГІКА ПРЭДЫКА́ТАЎ, функцыянальная логіка,

раздзел логікі, у якім вывучаюцца лагічныя сувязі паміж выказваннямі з улікам іх унутранай (суб’ектна-прэдыкатнай) структуры; пашыраны варыянт логікі выказванняў. Прадметам даследавання з’яўляецца любая галіна аб’ектаў з дадзенымі на гэтых аб’ектах прэдыкатамі, г. зн. уласцівасцямі і адносінамі. У выніку фармалізацыі Л.п. прымае выгляд розных злічэнняў (напр., злічэнне выказванняў). Пры аналізе ўплыву на лагічны вывад унутр. структуры выказванняў прэдыкаты разглядаюцца як функцыі, значэннямі якіх служаць выказванні. У дапаўненне да сімвалічных сродкаў логікі выказванняў у мову Л.п. уведзены лагічныя знакі — аператары ∀ («для ўсіх») і ∃ («для некаторых», існуе... такое, што...»), якія адпаведна наз. квантарамі агульнасці і існавання. Для выяўлення структуры выказванняў уводзіцца бясконцы пералік індывідных пераменных x, y, z ... x​¹, y​¹, z​¹, .... якія ўяўляюць сабой розныя аб’екты, і бясконцы пералік прэдыкатных пераменных P, Q, R, ..., P​¹, Q​¹, R​¹ ..., якія ўяўляюць сабой уласцівасці і адносіны аб’ектаў. Запіс (∀x)P(x) азначае «Усякі x валодае ўласцівасцю P»; (∃x)P(x) — «некаторыя x валодаюць уласцівасцю P» і (∃xQ(xy) — «існуе x, які знаходзіцца ў адносінах Q з y» і да т.п. Квантары могуць звязваць у формулах індывідныя (звязаныя) пераменныя. Індывідныя пераменныя, не звязаныя ў формуле квантарамі, наз. свабоднымі. Так, ва ўсіх трох прыведзеных формулах пераменная х звязаная, у апошняй формуле пераменная у свабодная. Звязаныя пераменныя наз. фіктыўнымі. Формулы, якія прымаюць значэнне «ісціна» ў кожнай інтэрпрэтацыі, наз. агульназначнымі. Існуюць таксама некласічныя Л.п., якія прапануюць іншыя тлумачэнні лагічных звязак і квантара.

Літ.:

Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М., 1982;

Жуков Н.И. Философские основания математики. 2 изд. Мн. 1990.

С.​Ф.​Дубянецкі.

т. 9, с. 335