Verbum

МНО́СТВАЎ ТЭО́РЫЯ,

раздзел матэматыкі, у якім вывучаюцца агульныя ўласцівасці мностваў; з’яўляецца фундаментам шэрагу матэм. дысцыплін (напр., тэорыі функцый рэчаіснай пераменнай, агульнай тапалогіі, агульнай алгебры, функцыян. аналізу). Метады М.т. знаходзяць дастасаванні ў класічных галінах матэматыкі (напр., якаснай тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйным злічэнні, тэорыі імавернасцей). Развіццё М.т. глыбока паўплывала на разуменне самога прадмета матэматыкі.

Заснавана Г.Кантарам, які ўвёў паняцці магутнасці мноства, даказаў незлічонасць мноства рэчаісных лікаў, сфармуляваў паняцце актуальна бясконцага (гл. Бесканечнае і канечнае, Бесканечнасць). Паняцце мноства належыць да першапачатковых матэм. паняццяў, яго можна тлумачыць толькі на прыкладах. Адно з асн. паняццяў М.т. — паняцце прыналежнасці элемента дадзенаму мноству. Мноства лічыцца зададзеным, калі зададзена характарыстычная ўласцівасць яго элементаў; а калі дадзенай уласцівасці не мае ні адзін з элементаў, то гавораць, што такая ўласцівасць вызначае пустое мноства. Напр., мноства рэчаісных каранёў ураўнення х​² = -1 з’яўляецца пустым. Магчымасць колькаснай параўнальнай ацэнкі мностваў грунтуецца на паняцці ўзаемна адназначнай адпаведнасці (біекцыі) паміж 2 мноствамі: мноствы X і Y з’яўляюцца роўнамагутнымі (эквівалентнымі), калі паміж іх элементамі вызначана ўзаемна адназначная адпаведнасць. Бясконцыя мноствы, роўнамагутныя мноству ўсіх цэлых лікаў, наз. злічонымі (напр., мноства рацыянальных лікаў). Мноства ўсіх рэчаісных лікаў мае магутнасць (абагульненне паняцця ліку элементаў), большую за магутнасць злічонага мноства, і яго магутнасць наз. магутнасцю кантынуума. Значны ўклад у развіццё М.т. зрабілі рас. матэматыкі Дз.​Ф.​Ягораў, М.​М.​Лузін, П.​С.​Аляксандраў, А.​М.​Калмагораў, П.​С.​Новікаў, амер. матэматык П.​Дж.​Коэн.

Літ.:

Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с фр. М., 1965;

Коэн П.​Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза: Пер. с англ. М., 1969;

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.

А.​А.​Гусак.

т. 10, с. 502

КАМУТАТЫ́ЎНАСЦЬ (ад лац. commutatus змяненне, пераўтварэнне),

перастаўляльнасць, уласцівасць бінарнай матэм. аперацыі, якая выражаецца тоеснасцю a*b = b*a. Камутатыўныя складанне і множанне лікаў, паліномаў, скалярнае множанне (гл. Вектарнае злічэнне) вектараў і інш. Тэрмін «К.» уведзены франц. матэматыкам Ф.​Сервуа (1815).

т. 7, с. 551

РО́ЗНАСЦЬ у матэматыцы,

вынік аднімання лікаў, вектараў, матрыц і інш. Р. арыфметычнай прагрэсіі — пастаянны лік, які дадаецца да папярэдняга члена прагрэсіі, каб атрымаць наступны. Р. мностваў A і B — сукупнасць (мноства) членаў мноства A, якія не ўваходзяць у мноства B.

т. 13, с. 401

ПАДЗЕ́ЛЬНАСЦЬ,

здольнасць аднаго ліку (ці алг. выразу) дзяліцца на другі (гл. Дзяленне). Напр., адзін цэлы лік кратны другому, калі ў выніку дзялення першага (дзеліва) на другі (дзельнік) атрымліваецца таксама цэлы лік.

Уласцівасці П. залежаць ад таго, якія сукупнасці лікаў разглядаюцца. Лік наз. простым, калі ў яго няма дзельнікаў, адрозных ад яго самога і адзінкі (напр., лікі 2, 3, 5, 7), і састаўным у процілеглым выпадку. Любы цэлы састаўны лік можна адназначна раскласці ў здабытак простых лікаў, напр., 72 = 2∙2∙2∙3∙3. Існуюць прыкметы, па якіх лёгка вызначыць, ці дзеліцца зададзены лік на просты. Напр., лік дзеліцца на 2, калі яго апошняя лічба цотная; лік дзеліцца на 3 (ці 9), калі сума яго лічбаў дзеліцца на 3 (ці 9).

т. 11, с. 495

РАСКЛАДА́ННЕ НА МНО́ЖНІКІ,

тоеснае пераўтварэнне ліку ці мнагаскладу ў здабытак некалькіх сумножнікаў. Вядзе да спрашчэння матэм. выразаў.

Р. на м. цэлых лікаў важнае пры вывучэнні іх падзельнасці: любы састаўны лік можна пераўтварыць у здабытак простых лікаў, напр., 396 = 2∙2∙3∙3∙11. Мнагасклад ад адной пераменнай над зададзеным полем P не заўсёды можна паказаць у выглядзе здабытку мнагаскладаў больш нізкай ступені над тым жа полем (непрыводны мнагасклад). Кожны іншы мнагасклад ад адной пераменнай адназначна раскладаецца на здабытак непрыводных мнагаскладаў з дакладнасцю да парадку іх нумарацыі, а таксама да пастаянных множнікаў. Напр.; калі мнагасклад P(x) ступені n P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nx_n, мае карані x₁, x₂, ..., x_n, то справядліва Р. на м. P(x) = a_n(x − x₁) (x − x₂) ... (x − x_n).

т. 13, с. 352

КАШЫ́ НЯРО́ЎНАСЦЬ,

няроўнасць для канечных сум сапраўдных ці комплексных лікаў, якая мае выгляд: (a₁b₁+...+a_nb_n)​²≤(a₁​²+a₂​²+...+a_n​²)(b₁​²+b₂​²+...+b_n​²). Даказана А.​Кашы ў 1821. Інтэгральны аналаг К.н. ўстаноўлены В.​Я.​Бунякоўскім (гл. Бунякоўскага няроўнасць).

т. 8, с. 202

ПАЗІЦЫ́ЙНАЯ СІСТЭ́МА ЛІЧЭ́ННЯ,

сістэма лічэння, заснаваная на прынцыпе пазіцыйнага (памесцавага) значэння лічбаў (адна і тая ж лічба мае розныя значэнні ў залежнасці ад яе месцазнаходжання ў запісе лікаў). Найб. пашыраны двайковая сістэма лічэння, дзесятковая сістэма лічэння, а таксама шасцідзесятковая (пры запісе часу і вуглоў).

т. 11, с. 518

ВІНАГРА́ДАЎ (Іван Мацвеевіч) (14.9.1891, с. Мілалюб Пскоўскай вобл., Расія — 20.3.1983),

савецкі матэматык.

Акад. АН СССР (1929). Чл. шматлікіх замежных АН. Двойчы Герой Сац. Працы (1945, 1971). Скончыў Пецярбургскі ун-т (1914). З 1918 у Пермскім ун-це, ленінградскіх політэхн. ін-це і ун-це. З 1932 дырэктар Матэм. ін-та АН СССР. Навук. працы па аналіт. тэорыі лікаў. Прапанаваў адзін з самых эфектыўных і агульных метадаў аналіт. тэорыі лікаў — метад трыганаметрычных сум, які дазволіў атрымаць фундаментальныя вынікі па праблемах Варынга, Гільберта—Камке, Гольдбаха, ацэнцы сум Вейля і інш. Ленінская прэмія 1972. Дзярж. прэмія СССР 1941, 1983. Залаты медаль імя М.​В.​Ламаносава АН СССР (1971).

Тв.:

Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2 изд. М., 1980;

Основы теории чисел. 9 изд. М., 1981.

Літ.:

Н.​М.​Виноградов. М., 1978.

т. 4, с. 181

ДЗЯЛЕ́ННЕ,

арыфметычнае дзеянне, адваротнае множанню. Падзяліць лік a (дзеліва) на b (дзельнік адрозны ад нуля) — значыць знайсці такі лік x (дзель), што здабытак bx = a (або xb = a). Для абазначэння Дз. выкарыстоўваюць знакі двукроп’я (a:b), гарыз. ($\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$) або нахільнай (a/b) рысы.

Для рацыянальных лікаў (цэлых, дробных і нуля) Дз. адназначнае і заўсёды магчымае (акрамя Дз. на нуль, што немагчыма). У межах цэлых лікаў — адназначнае, але не заўсёды магчымае, напр., 6 дзеліцца на 2 і 3, але не дзеліцца на 5. Абагульненнем звычайнага Дз. з’яўляецца Дз. з астачай. Падзяліць цэлыя неадмоўныя лікі a на b — знайсці такія цэлыя неадмоўныя лікі x і y, якія задавальнялі б патрабаванні a = bx + y, y < b, дзе x — няпоўная дзель (пры y ≠ 0) ці дзель (пры y = 0); y — астача. Гл. таксама Падзельнасць.

т. 6, с. 138

ПІФАГО́Р (Pythagoras) Самаскі

(каля 580, в-аў Самас, Грэцыя — 500 да н.э.),

старажытна-грэчаскі матэматык і філосаф-ідэаліст, заснавальнік піфагарэізму. У галіне матэматыкі яму прыпісваюць увядзенне доказу ў геаметрыю, пабудову планіметрыі прамалінейных фігур, стварэнне вучэння пра падобнасць, доказ Піфагора тэарэмы, адкрыццё ірацыянальных лікаў, пабудову некат. правільных многавугольнікаў і мнагаграннікаў і інш. Ёсць звесткі пра П. як астранома. Ён лічыў Зямлю шарам, які знаходзіцца ў цэнтры Сусвету; ведаў пра ўласны рух Сонца, Месяца і планет. Заснаваў у г. Кратоне (Паўд. Італія) піфагарэйскі саюз, які быў адначасова філас. школай, паліт. партыяй і рэліг. брацтвам. Лічыў, што лік ёсць сутнасць усіх рэчаў, а Сусвет з’яўляецца гарманічнай сістэмай лікаў і іх адносін. Адстойваў уяўленне аб бессмяротнасці душ і іх перасяленні. Быў ідэолагам рабаўладальніцкай арыстакратыі.

Літ.:

Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. Мн., 1974.

т. 12, с. 392