Verbum

ВЫТВО́РНАЯ функцыі, ліміт адносін прырашчэння функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ да прырашчэння аргумента; адно з асн. паняццяў дыферэнцыяльнага злічэння. Характарызуе хуткасць змены функцыі пры змене яе аргумента. Абазначаецца $𝑓\text{(′}x\text{)}$, $y\text{′(}x\text{)}$, ${\displaystyle \frac{d𝑓\text{(}x\text{)}}{dx}}$ . Вытворная функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ у пункце x₀ роўная вуглавому каэфіцыенту $tg\alpha$ датычнай да лініі $y=𝑓\text{(}x\text{)}$ у яе пункце M_o з абсцысай x_o.

Паводле вызначэння ${\displaystyle 𝑓\text{′(}x\text{)}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{𝑓(x_0+\mathrm{\Delta }x)-𝑓\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}}$ , дзе x₀ — пункт, у некаторым наваколлі якога вызначана функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$; ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=x-x_0}$ — прырашчэнне аргумента; ${\displaystyle \mathrm{\Delta }y=𝑓(x_0+\mathrm{\Delta }x)-𝑓\left(x_0\right)}$ — адпаведнае прырашчэнне функцыі. Калі гэты ліміт канечны, то функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$ наз. дыферэнцавальнай у пункце x₀. Аперацыя знаходжання вытворнай наз. дыферэнцаваннем. Вытворнай ад y′ (першай вытворнай) ёсць другая вытворная (y″) і г.д. Для функцый некалькіх зменных вызначаюцца частковыя вытворныя — вытворныя па аднаму з аргументаў пры ўмове пастаянства ўсіх астатніх аргументаў.

Паняццем вытворнай карыстаюцца пры рашэнні многіх задач матэматыкі, фізікі, тэхнікі і інш. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.​А.​Гусак.

т. 4, с. 326

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, які вывучае вытворныя і дыферэнцыялы функцый, а таксама іх дастасаванні. Разам з інтэгральным злічэннем складае курс матэматычнага аналізу (ці аналізу бясконца малых).

Аформілася ў самастойную матэм. дысцыпліну пасля прац І.Ньютана і Г.Лейбніца, якія сфармулявалі асн. палажэнні Д.з. і паказалі ўзаемна адваротны характар аперацый дыферэнцавання і інтэгравання. Выклікала з’яўленне новых галін матэматыкі: тэорыі шэрагаў, дыферэнцыяльнай геаметрыі, дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйнага злічэння. Грунтуецца на паняццях: рэчаісны лік, функцыя, ліміт, бясконца малая, неперарыўнасць і інш., якія атрымалі сучасны змест у ходзе развіцця і абгрунтавання аналізу бясконца малых; цэнтральныя паняцці Д.з. — вытворная і дыферэнцыял — і распрацаваны ў Д.з. апарат, які звязаны з імі, даюць сродкі даследавання функцый (у т. л. некалькіх пераменных), лакальна падобных на лінейныя функцыі або паліномы. Асн. дастасаванні Д.з. звязаны з даследаваннем функцый з дапамогай вытворных: знаходзіць выпукласць і ўвагнутасць графіка функцыі, прамежкі нарастання і спадання функцый, іх найбольшае і найменшае значэнне (гл. Экстрэмум), пункты перагіну і асімптоты, а таксама розныя ліміты функцый (напр., віду 0/0, ∞/∞ ; гл. Нявызначаны выраз), якія не паддаюцца вылічэнню інш. метадамі. Метады Д.з. маюць шматлікія дастасаванні ў даследаваннях актуальных праблем матэматыкі, прыродазнаўчых і тэхн. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 300

ДО́ЎБНЯ (Іван Пятровіч) (31.1.1853, г. Пінск — 2.2.1912),

расійскі матэматык. Д-р фіз.-матэм. н. (1896), праф. (1897). Скончыў Пецярбургскі горны ін-т (1875). Выкладаў матэматыку ў навуч. установах г. Арэнбург (1877—80) і г. Ніжні Ноўгарад (1880—96). З 1896 у Пецярбургскім горным ін-це (з 1910 рэктар). Навук. працы па алгебры, тэорыі абелевых інтэгралаў, эліптычных функцый, дыферэнцыяльных ураўненняў з частковымі вытворнымі, па методыцы выкладання матэматыкі.

Тв.:

Исследования по теории абелевых интегралов. СПб., 1896.

Літ.:

Крылов Н.М. И.​П.​Долбня. СПб., №2.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 187

ДЫДЫ́РКА (Уладзімір Кандратавіч) (22.9.1877, с. Дахноўка Чаркаскай вобл., Украіна — 15.3.1938),

бел. матэматык. Праф. (1931). Скончыў Кіеўскі (1900) і Маскоўскі (1902) ун-ты. З 1902 у Мінскай мужчынскай гімназіі, з 1918 у Мінскім ін-це нар. адукацыі, з 1920 у БПІ, з 1922 у БДУ. Удзельнік навук. семінараў пад кіраўніцтвам Д.​Гільберта (1928, Гётынген, Германія). Навук. працы па аналітычнай геаметрыі. Аўтар манаграфіі «Цыркулярныя крывыя трэцяга парадку» (1928—32). Неабгрунтавана рэпрэсіраваны ў 1937. Рэабілітаваны.

Літ.:

В.​К.​Дыдырко // Вест. БГУ. Сер. 1. 1978. № 3.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 275

ВЕ́КТАРНАЯ ПРАСТО́РА ў матэматыцы,

абагульненне сукупнасці вектараў трохмернай прасторы на выпадак адвольнага ліку вымярэння. Напр., n-мерная эўклідава прастора. Для элементаў вектарнай прасторы (вектараў) вызначаны аперацыі складання і множання на лік (рэчаісны ці камплексны); пры гэтым для канкрэтнай вектарнай прасторы можна дадаткова вызначыць інш. аперацыі і структуры (напр., скалярны здабытак).

Вектарная прастора наз. n-мернай (мае вымернасць n), калі ў ёй існуюць n лінейна незалежных вектараў (базіс), а любыя n+1 вектараў лінейна залежныя (для лінейнай залежнасці 2 вектараў неабходна і дастаткова іх калінеярнасці, 3 вектараў — кампланарнасці і г.д.). У бесканечнамернай вектарнай прасторы (напр., гільбертавай прасторы) любая канечная частка яе з’яўляецца лінейна незалежнай.

А.​А.​Гусак.

т. 4, с. 64

БРА́ЙЦАЎ (Іван Раманавіч) (27.1.1870, в. Забялышын Хоцімскага р-на Магілёўскай вобл. — 4.1.1947),

рускі і бел. матэматык. Праф. (1924). Д-р фіз.-матэм. н. (1935). Брат Я.Брайцава. Скончыў Маскоўскі ун-т (1896), працаваў у ім. З 1900 у Варшаўскім, з 1916 у Ніжагародскім політэхн. ін-тах, з 1918 у Ніжагародскім ун-це. Адзін з арганізатараў БДУ, складальнік праекта вучэбнага плана для фіз.-матэм. ф-та (1921). Навук. працы па тэорыі аналітычных функцый і функцыянальных ураўненняў.

Тв.:

Изыскание особых точек функции, определяемой рядом Тейлора. М., 1907;

Аб адным спосабе прадстаўлення функцыі, дэфініраванай радам Дырыхле // Зб. прац Фізікаматэм. ін-та БАН. Мн., 1935. Т. 2.

А.​А.​Гусак.

т. 3, с. 238

ЗБЕ́ЖНАСЦЬ,

уласцівасць матэм. аб’ектаў (напр., паслядоўнасці, рада, інтэграла) імкнуцца да канечнага ліміту, адно з асн. паняццяў матэм. аналізу. Выяўляецца, калі пры вывучэнні якога-н. аб’екта будуецца паслядоўнасць больш простых аб’ектаў, якая набліжаецца да зададзенага аб’екта. Напр., для вылічэння даўжыні акружнасці выкарыстоўваецца паслядоўнасць даўжынь перыметраў многавугольнікаў, упісаных у акружнасць. Паняцце З. дастасавальнае як да лікавых, так і да паслядоўнасцей інш. аб’ектаў, напр., паслядоўнасці функцый, пунктаў, абласцей, бесканечных матрыц, бесканечных вызначнікаў. Акрамя класічнага паняцця З. выкарыстоўваюцца яго розныя абагульненні. Напр., калі паслядоўнасць частковых сум рада неабмежавана ўзрастае (у класічным сэнсе рад разбягаецца), але паслядоўнасць сярэдніх арыфм. гэтых сум мае ліміт, то гавораць, што рад збягаецца ў сэнсе сярэдняга арыфметычнага.

А.​А.​Гусак.

т. 7, с. 28

ЛАГАРЫФМІ́ЧНАЯ ФУ́НКЦЫЯ,

функцыя, адваротная паказальнай функцыі; адна з асн. элементарных функцый. Вызначаецца формулай y = lnx Значэнне y Л.ф., адпаведнае значэнню аргумента x, наз. натуральным лагарыфмам ліку x. Графік Л.ф. наз. лагарыфнікай.

У матэм. аналізе разглядаюцца Л.ф. віду y = log_ax, звязаныя з y = lnx (асноўнай) суадносінамі log_ax = lnx/lna пры a > 0, a ≠ 1. Іх асн. ўласцівасці вынікаюць з уласцівасцей паказальнай функцыі і лагарыфма Л.ф. ў вобласці сапраўдных лікаў вызначана толькі для дадатных х, у вобласці камплексных лікаў — для любых сапраўдных і камплексных лікаў. Графік Л.ф. log_ax сіметрычны графіку паказальнай функцыі y = a​^x адносна восі Ox, праходзіць праз пункт (1, 0) і асімптатычна набліжаецца да восі Oy.

А.​А.​Гусак.

т. 9, с. 87

ЛАПЛА́СА ПЕРАЎТВАРЭ́ННЕ,

лінейнае функцыянальнае пераўтварэнне, якое пераводзіць функцыю f(t) сапраўднай пераменнай t (арыгінал) у функцыю F(s) камплекснай пераменнай (вобраз). Цесна звязана з Фур’ё пераўтварэннем. Выкарыстоўваецца для інтэгравання дыферэнцыяльных ураўненняў у задачах электратэхнікі, гідрадынамікі, механікі, тэорыі цеплаправоднасці.

Дазваляе зводзіць рашэнне, напр., звычайнага лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўнення з пастаяннымі каэфіцыентамі да рашэння алг. ўраўнення 1-й ступені. Аднабаковае Л.п. матэматычна выражаецца праз інтэграл Лапласа ${\displaystyle \mathrm{F(s)}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{f(t)e}}^{\mathrm{-st}}\mathrm{dt}}$ (інтэгралы такога віду разглядаліся П.С.Лапласам у працах па тэорыі імавернасцей у 1812, адсюль назва) Пры пэўных абмежаваннях на функцыю F(s) функцыя f(t) узнаўляецца адназначна па формулах абарачэння. Л.п. разам з яго абарачэннем складае аснову аперацыйнага злічэння.

А.​А.​Гусак.

т. 9, с. 134

ЛАПЛА́СА ЎРАЎНЕ́ННЕ,

дыферэнцыяльнае ўраўненне з частковымі вытворнымі Δu(x, y, z) = 0, дзе Δ — Лапласа аператар, u(x, y, z) — шуканая функцыя. Уведзена П.Лапласам (1782) у працах па нябеснай механіцы і тэорыі гравітацыйнага патэнцыялу.

Да Л.ў. зводзіцца шэраг задач фізікі і тэхнікі, напр., яго задавальняе т-ра пры стацыянарных працэсах, патэнцыял эл.-статычнага поля па-за межамі зарадаў, гравітацыйны патэнцыял па-за межамі прыцягальных мас. У прамавугольных дэкартавых каардынатах яно мае выгляд ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0}$ , дзе x, y, z — незалежныя пераменныя Рашэнні Л.ў., якія маюць неперарыўныя частковыя вытворныя да 2-га парадку ўключна, наз. гарманічнымі функцыямі.

А.​А.​Гусак.

т. 9, с. 134