Verbum

КРА́ТНЫ ІНТЭГРА́Л,

інтэграл ад функцыі, зададзенай у якой-н. вобласці на плоскасці, 3- ці n-мернай прасторы. Адрозніваюць двайныя, трайныя і n-кратныя інтэгралы. Мае шэраг уласцівасцей, аналагічных уласцівасцям простых інтэгралаў (гл. Інтэграл, Інтэгральнае злічэнне). Для вылічэння К.і. яго зводзяць да паўторнага інтэграла (паслядоўна вылічваюць інтэгралы ад кожнай пераменнай, пры гэтым астатнія пераменныя ўмоўна лічацца пастаяннымі); у спец. выпадках карыстаюцца Грына формуламі, Астраградскага формулай, Стокса формулай. Да К.і. зводзяцца задачы вылічэння аб’ёмаў цел, іх масы, моманту інерцыі і інш.

А.​А.​Гусак.

т. 8, с. 465

ВЫТВО́РНАЯ функцыі, ліміт адносін прырашчэння функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ да прырашчэння аргумента; адно з асн. паняццяў дыферэнцыяльнага злічэння. Характарызуе хуткасць змены функцыі пры змене яе аргумента. Абазначаецца $𝑓\text{(′}x\text{)}$, $y\text{′(}x\text{)}$, ${\displaystyle \frac{d𝑓\text{(}x\text{)}}{dx}}$ . Вытворная функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ у пункце x₀ роўная вуглавому каэфіцыенту $tg\alpha$ датычнай да лініі $y=𝑓\text{(}x\text{)}$ у яе пункце M_o з абсцысай x_o.

Паводле вызначэння ${\displaystyle 𝑓\text{′(}x\text{)}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{𝑓(x_0+\mathrm{\Delta }x)-𝑓\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}}$ , дзе x₀ — пункт, у некаторым наваколлі якога вызначана функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$; ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=x-x_0}$ — прырашчэнне аргумента; ${\displaystyle \mathrm{\Delta }y=𝑓(x_0+\mathrm{\Delta }x)-𝑓\left(x_0\right)}$ — адпаведнае прырашчэнне функцыі. Калі гэты ліміт канечны, то функцыя $𝑓\text{(}x\text{)}$ наз. дыферэнцавальнай у пункце x₀. Аперацыя знаходжання вытворнай наз. дыферэнцаваннем. Вытворнай ад y′ (першай вытворнай) ёсць другая вытворная (y″) і г.д. Для функцый некалькіх зменных вызначаюцца частковыя вытворныя — вытворныя па аднаму з аргументаў пры ўмове пастаянства ўсіх астатніх аргументаў.

Паняццем вытворнай карыстаюцца пры рашэнні многіх задач матэматыкі, фізікі, тэхнікі і інш. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.​А.​Гусак.

т. 4, с. 326

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, які вывучае вытворныя і дыферэнцыялы функцый, а таксама іх дастасаванні. Разам з інтэгральным злічэннем складае курс матэматычнага аналізу (ці аналізу бясконца малых).

Аформілася ў самастойную матэм. дысцыпліну пасля прац І.Ньютана і Г.Лейбніца, якія сфармулявалі асн. палажэнні Д.з. і паказалі ўзаемна адваротны характар аперацый дыферэнцавання і інтэгравання. Выклікала з’яўленне новых галін матэматыкі: тэорыі шэрагаў, дыферэнцыяльнай геаметрыі, дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйнага злічэння. Грунтуецца на паняццях: рэчаісны лік, функцыя, ліміт, бясконца малая, неперарыўнасць і інш., якія атрымалі сучасны змест у ходзе развіцця і абгрунтавання аналізу бясконца малых; цэнтральныя паняцці Д.з. — вытворная і дыферэнцыял — і распрацаваны ў Д.з. апарат, які звязаны з імі, даюць сродкі даследавання функцый (у т. л. некалькіх пераменных), лакальна падобных на лінейныя функцыі або паліномы. Асн. дастасаванні Д.з. звязаны з даследаваннем функцый з дапамогай вытворных: знаходзіць выпукласць і ўвагнутасць графіка функцыі, прамежкі нарастання і спадання функцый, іх найбольшае і найменшае значэнне (гл. Экстрэмум), пункты перагіну і асімптоты, а таксама розныя ліміты функцый (напр., віду 0/0, ∞/∞ ; гл. Нявызначаны выраз), якія не паддаюцца вылічэнню інш. метадамі. Метады Д.з. маюць шматлікія дастасаванні ў даследаваннях актуальных праблем матэматыкі, прыродазнаўчых і тэхн. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 300

ДО́ЎБНЯ (Іван Пятровіч) (31.1.1853, г. Пінск — 2.2.1912),

расійскі матэматык. Д-р фіз.-матэм. н. (1896), праф. (1897). Скончыў Пецярбургскі горны ін-т (1875). Выкладаў матэматыку ў навуч. установах г. Арэнбург (1877—80) і г. Ніжні Ноўгарад (1880—96). З 1896 у Пецярбургскім горным ін-це (з 1910 рэктар). Навук. працы па алгебры, тэорыі абелевых інтэгралаў, эліптычных функцый, дыферэнцыяльных ураўненняў з частковымі вытворнымі, па методыцы выкладання матэматыкі.

Тв.:

Исследования по теории абелевых интегралов. СПб., 1896.

Літ.:

Крылов Н.М. И.​П.​Долбня. СПб., №2.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 187

КІТА́ЙСКІЯ ГУ́СІ,

парода свойскіх птушак. Выведзена ў Кітаі. Паходзіць ад дзікай гусі суханоса (Cignopsis cignoides), пашыранай у Маньчжурыі, Паўн. Кітаі, Сібіры. Парода пашырана ў многіх краінах, у т. л. на Беларусі.

Маса гусакоў да 5 кг, гусак да 4 кг. Галава доўгая і вял., дзюба сярэдніх памераў, на лбе пры яе аснове вял. гузак, шыя доўгая. Тулава яйцападобнае, хвост злёгку прыўзняты. Ногі сярэдняй даўжыні, аранжавага ці цёмнага колеру. Афарбоўка апярэння белая, шэрая або бурая. Вынослівыя, добра выкарыстоўваюць пашу. Мясныя якасці невысокія.

М.​Ц.​Гарачка.

т. 8, с. 311

ДЫДЫ́РКА (Уладзімір Кандратавіч) (22.9.1877, с. Дахноўка Чаркаскай вобл., Украіна — 15.3.1938),

бел. матэматык. Праф. (1931). Скончыў Кіеўскі (1900) і Маскоўскі (1902) ун-ты. З 1902 у Мінскай мужчынскай гімназіі, з 1918 у Мінскім ін-це нар. адукацыі, з 1920 у БПІ, з 1922 у БДУ. Удзельнік навук. семінараў пад кіраўніцтвам Д.​Гільберта (1928, Гётынген, Германія). Навук. працы па аналітычнай геаметрыі. Аўтар манаграфіі «Цыркулярныя крывыя трэцяга парадку» (1928—32). Неабгрунтавана рэпрэсіраваны ў 1937. Рэабілітаваны.

Літ.:

В.​К.​Дыдырко // Вест. БГУ. Сер. 1. 1978. № 3.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 275

ПАЛІ́НСКІ (Міхаіл Мадэставіч) (1785, Слонімскі р-н Гродзенскай вобл. — 1848),

бел. матэматык. Д-р філасофіі (1814), праф. (1819). Скончыў школу ў Жыровічах, Віленскі ун-т (1808). З 1808 у Мінскай, з 1813 у Віленскай гімназіях. У 1817—19 у замежнай камандзіроўцы (Германія, Францыя, Італія) з мэтай удасканалення ў галіне матэм. навук і вывучэння сістэмы адукацыі. У 1816—32 у Віленскім ун-це (з 1823 дэкан фіз.-матэм. ф-та). Выкладаў алгебру, вышэйшую геадэзію, аналіт. геаметрыю, аналіт. механіку.

Літ.:

Беспамятных Н.Д. Математическое образование в Белоруссии: Ист. очерк. Мн., 1975.

А.​А.​Гусак.

т. 12, с. 7

ПАСЛЯДО́ЎНЫХ НАБЛІЖЭ́ННЯЎ МЕ́ТАД,

метад рашэння матэм. задач з дапамогай паслядоўнасцей набліжэнняў, якія збягаюцца да іх дакладнага рашэння. Кожнае набліжанае рашэнне знаходзіцца паводле рэкурэнтных формул.

Зыходнае ўраўненне, напр., віду F(x) = 0, пераўтвараецца ў раўнасільнае ўраўненне віду x = 𝑓(x) і будуецца паслядоўнасць a₀, a₁ = 𝑓(a₀), a₂ = 𝑓(a₂), a₃ = 𝑓(a₂), дзе a₀ — пачатковае набліжэнне. Пры пэўных умовах пабудаваная паслядоўнасць збягаецца да дакладнага рашэння. Выкарыстоўваецца для вылічэння каранёў алг. і трансцэндэнтных ураўненняў, доказу існавання дакладных і пабудовы набліжаных рашэнняў дыферэнцыяльных, інтэгральных, інтэгра-дыферэнцыяльных і функцыянальных ураўненняў, для вызначэння якасных характарыстык рашэнняў і інш.

А.​А.​Гусак.

т. 12, с. 166

БРА́ЙЦАЎ (Іван Раманавіч) (27.1.1870, в. Забялышын Хоцімскага р-на Магілёўскай вобл. — 4.1.1947),

рускі і бел. матэматык. Праф. (1924). Д-р фіз.-матэм. н. (1935). Брат Я.Брайцава. Скончыў Маскоўскі ун-т (1896), працаваў у ім. З 1900 у Варшаўскім, з 1916 у Ніжагародскім політэхн. ін-тах, з 1918 у Ніжагародскім ун-це. Адзін з арганізатараў БДУ, складальнік праекта вучэбнага плана для фіз.-матэм. ф-та (1921). Навук. працы па тэорыі аналітычных функцый і функцыянальных ураўненняў.

Тв.:

Изыскание особых точек функции, определяемой рядом Тейлора. М., 1907;

Аб адным спосабе прадстаўлення функцыі, дэфініраванай радам Дырыхле // Зб. прац Фізікаматэм. ін-та БАН. Мн., 1935. Т. 2.

А.​А.​Гусак.

т. 3, с. 238

ВЕ́КТАРНАЯ ПРАСТО́РА ў матэматыцы,

абагульненне сукупнасці вектараў трохмернай прасторы на выпадак адвольнага ліку вымярэння. Напр., n-мерная эўклідава прастора. Для элементаў вектарнай прасторы (вектараў) вызначаны аперацыі складання і множання на лік (рэчаісны ці камплексны); пры гэтым для канкрэтнай вектарнай прасторы можна дадаткова вызначыць інш. аперацыі і структуры (напр., скалярны здабытак).

Вектарная прастора наз. n-мернай (мае вымернасць n), калі ў ёй існуюць n лінейна незалежных вектараў (базіс), а любыя n+1 вектараў лінейна залежныя (для лінейнай залежнасці 2 вектараў неабходна і дастаткова іх калінеярнасці, 3 вектараў — кампланарнасці і г.д.). У бесканечнамернай вектарнай прасторы (напр., гільбертавай прасторы) любая канечная частка яе з’яўляецца лінейна незалежнай.

А.​А.​Гусак.

т. 4, с. 64