Verbum

КВАДРАТУ́РНАЯ ФО́РМУЛА,

формула набліжанага вылічэння вызначанага інтэграла. Падынтэгральная функцыя замяняецца адпаведным інтэрпаляцыйным паліномам (гл. Інтэрпаляцыйная формула) і тым самым вылічэнне інтэграла зводзіцца да вылічэння т. зв. квадратурнай сумы (гл. Набліжанае інтэграванне).

Найб. пашыраная К.ф. віду $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}p\text{(}x\text{)}𝑓\text{(}x\text{)}dx\cong \sum _{i=1}^n{\mathrm{C}}_i𝑓\text{(}{x}_i\text{)}$$ , у левай частцы якой інтэграл, што падлягае вылічэнню. Падынтэгральная функцыя запісана як здабытак дзвюх функцый. Функцыя p(x) лічыцца фіксаванай для дадзенай К.ф. і наз. вагавой функцыяй. Сума ў правай частцы наз. квадратурнай сумай, дзе x_i — вузлы, C_i — каэфіцыенты К.ф. (значэнні вузлоў і каэфіцыентаў бяруцца з табліц). На Беларусі даследаванні па тэорыі К.ф. распачаты ў 1956 у Ін-це матэматыкі Нац. АН.

т. 8, с. 205

ПІ, лік π,

лік, роўны адносінам даўжыні акружнасці да яе дыяметра; бясконцы дзесятковы дроб, роўны 3,1415926...; адзін з трансцэндэнтных лікаў. Абазначэнне агульнапрынятае з 1736 пасля працы Л.Эйлера.

Да ліку П. прыводзіць адшуканне лімітаў некат. арыфм. паслядоўнасцей і шэрагаў. Адна з формул вылічэння П. — формула раскладання функцыі arctg х у ступеневы шэраг. Набліжанае значэнне П. з дапамогай рацыянальных лікаў спрабавалі знайсці ў старажытнасці, напр. Архімед (3 ст. да н.э.) вызначыў, што 223/71 < π < 22/7. Значэнне π = 355/113 = 3,1415929... вылічыў кіт. матэматык Цзу Чун-чжы (5 ст.); у Еўропе гэтае ж значэнне знойдзена ў 16 ст. Пры выкарыстанні ЭВМ разлічана больш за тысячу дзесятковых знакаў ліку П.

т. 12, с. 346

ГРАФІ́ЧНЫЯ ВЫЛІЧЭ́ННІ,

метады атрымання лікавых рашэнняў задач з дапамогай графічных пабудаванняў. Заснаваны на выкарыстанні графікаў функцый і паўтарэнні (або замене) з пэўным набліжэннем адпаведных аналітычных аперацый (складання, аднімання, множання, дзялення, дыферэнцыравання, інтэгравання і інш.). Выкарыстоўваюцца для атрымання першых набліжэнняў, якія ўдакладняюцца інш. метадамі, а таксама ў інж. практыцы, калі не патрабуецца высокая дакладнасць.

Лікі пры графічных вылічэннях алг. выразаў адлюстроўваюцца ў выбраным маштабе накіраванымі адрэзкамі. Пры графічным складанні і адніманні лікаў адпаведныя адрэзкі адкладваюць на прамой у пэўным (аднімаемае — у процілеглым) напрамку адзін за адным так, каб пачатак наступнага адрэзка супадаў з канцом папярэдняга. Сума (рознасць) — адрэзак, пачатак якога супадае з пачаткам 1-га, а канец — з канцом апошняга. Множанне і дзяленне ажыццяўляюцца будаваннем прапарцыянальных адрэзкаў, што адсякаюць на старанах вугла паралельныя прамыя, і выкарыстаннем адпаведных дачыненняў. Для графічнага ўзвядзення ў цэлую дадатную (адмоўную) ступень паслядоўна паўтараюць множанне (дзяленне). Для графічнага рашэння ўраўнення $𝑓\text{(}x\text{)}$ = 0 будуюць графік функцыі у = $𝑓\text{(}x\text{)}$ і знаходзяць яго пункты перасячэння з воссю абсцыс [пры рашэнні ўраўненняў 𝑓₁(x) = 𝑓₂(x) знаходзяць абсцысы пунктаў перасячэння крывых y₁ = 𝑓₁(x) і y₂ = 𝑓₂(x)]. Графічнае вылічэнне вызначанага інтэграла заснавана на замене графіка падінтэгральнай функцыі ступеньчатай ломанай, плошча пад якой лікава роўная дадзенаму інтэгралу. Для графічнага дыферэнцыравання будуецца графік вытворнай па значэннях тангенса вугла нахілу датычнай у розных пунктах графіка дадзенай функцыі. Графічнае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення dy/dx = 𝑓(x,y) зводзіцца да будавання поля напрамкаў на плоскасці: у некаторых пунктах малююць напрамкі датычнай dy/dx да інтэгральнай крывой, што праходзіць праз іх. Шуканую крывую праводзяць так, каб датычныя да яе мелі зададзеныя напрамкі. Часта папярэдне будуюць сям’ю ліній 𝑓(x,y) = C (ізаклінаў) для розных значэнняў C. У кожным пункце такой лініі вытворная пастаянная і роўная C. Гл. таксама Лікавыя метады, Набліжанае вылічэнне, Набліжанае інтэграванне.

С.​У.​Абламейка.

т. 5, с. 415

ІНТЭГРА́ЛЬНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, які вывучае ўласцівасці, спосабы вылічэння і дастасаванні інтэгралаў. Асн. паняцці: нявызначаны інтэграл і вызначаны інтэграл. Разам з дыферэнцыяльным злічэннем складае курс матэм. аналізу (ці аналізу бясконца малых).

І.з. ўзнікла з задач на вызначэнне плошчаў і аб’ёмаў. Найб. блізка да сучаснага разумення інтэгравання падышоў Архімед (3 ст. да н.э.). Стваральнікі І.з. І.Ньютан і Г.Лейбніц незалежна адзін ад аднаго пабудавалі інтэгральнае і дыферэнцыяльнае злічэнні і ўстанавілі іх узаемную абарачальнасць. Далейшае развіццё І.з. звязана з працамі Л.​Эйлера, А.​Кашы, Б.​Рымана, А.​Лебега, Т.​І.​Стылцьеса, А.​М.​Калмагорава і інш. Вылічэнне інтэгралаў (гл. Інтэграванне) толькі ў рэдкіх выпадках выконваецца непасрэдна па формулах (напр., шляхам абарачэння формул дыферэнцавання) — некат. інтэгралы нават ад параўнальна простых функцый нельга выразіць праз элементарныя, напр., інтэграл імавернасці. І.з. служыць крыніцай узнікнення новых (трансцэндэнтных) функцый (інтэгральнага сінуса, інтэгральнага лагарыфма і інш.). Для такіх функцый створаны табліцы значэнняў. Гл. таксама Графічныя вылічэнні, Набліжанае інтэграванне, Лікавыя метады.

А.​А.​Гусак.

т. 7, с. 280

ПУАСО́НА РАЗМЕРКАВА́ННЕ,

размеркаванне імавернасці выпадковай велічыні з цэлалікавымі неадмоўнымі значэннямі. Функцыя П.р. такіх велічынь задаецца формулай $p_{\mathrm{k}}\text{(}\mathrm{\lambda }\text{)}=\frac{{\mathrm{\lambda }}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\lambda }}$ , дзе λ > 0 — параметр, які супадае з матэматычным чаканнем і дысперсіяй выпадковай велічыні, k = 0, 1, 2, ... — нумар выпрабавання. Атрымана С.Д.Пуасонам (1837) пры вывядзенні набліжанай формулы бінаміяльнага размеркавання пры вялікім ліку выпрабаванняў.

У тэарэтыка-імавернасных мадэлях П.р. выкарыстоўваецца як набліжанае і як дакладнае размеркаванне. Напр., калі пры n незалежных выпрабаваннях падзеі A₁, ..., A_n назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю p, то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-н. k падзей набліжана выражаецца функцыяй p_k(np) (гл. Пуасона тэарэма). У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс радыеактыўнага распаду і інш. фіз. з’явы. Як дакладнае П.р. выкарыстоўваецца ў тэорыі выпадковых працэсаў, напр., пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць незалежныя выпадковыя велічыні, якія падпарадкоўваюцца П.р.

А.​А.​Гусак.

т. 13, с. 114

АНАЛО́ГІЯ БЫЦЦЯ́,

адно з асноўных паняццяў каталіцкай філасофіі — тамізму, паводле якога Бог і ўсё ім створанае знаходзяцца ў суадносінах з агульным для іх быццём. Фама Аквінскі ўзвёў аналогію быцця ў фундаментальны прынцып гэтай дактрыны і распрацаваў яго філас. змест. У 20 ст. ўклад у распрацоўку аналогіі быцця, вызначэнне сфер і магчымасцяў выкарыстання зрабілі Э.​Пшывара, Ф. Ван Стэенберген, Б.​Лакебрынк, К.​Ранер. Сутнасць аналогіі быцця ў тым, што паміж Богам і яго тварэннямі існуюць першапачатковыя адносіны падабенства ў адрозненнях і адрозненні ў падабенстве. Таму адносіны аналогіі могуць пераважаць толькі там, дзе няма ні поўнага падабенства, ні поўнага адрознення, а спалучаюцца адно з адным. Першасным, вызначальным прызнаецца падабенства, першакрыніца якога — стварэнне Богам сусвету і ўсяго, што ў ім існуе. Гэта дае магчымасць філас.-тэалагічнымі сродкамі абгрунтоўваць быццё Бога як першакрыніцу створанага сусвету розных падабенстваў, сярод якіх самае набліжанае да творчай магутнасці стваральніка — творчая дзейнасць чалавека. Але яе нельга атаясамліваць з творчым актам стварэння, бо яна толькі набліжаецца да яго паводле падабенства (аналогіі).

Я.​М.​Бабосаў.

т. 1, с. 336

НЕЛІНЕ́ЙНАЕ ПРАГРАМАВА́ННЕ,

раздзел матэматычнага праграмавання, дзе разглядаюцца тэорыя і метады рашэння задач аптымізацыі нелінейных функцый на мноствах, зададзеных нелінейнымі абмежаваннямі (роўнасцямі і няроўнасцямі).

У залежнасці ад уласцівасцей зададзеных функцый і абмежаванняў адрозніваюць выпуклае, квадратычнае, дробава-лінейнае, геам. і інш. віды Н.п., дзе рашаюць шырокі клас прыкладных задач, якія ўзнікаюць пры праектаванні тэхн. аб’ектаў, удасканаленні тэхнал. працэсаў, кіраванні складанымі сістэмамі, мадэліраванні эканам. працэсаў і інш., што патрабуюць уліку нелінейных эфектаў. Такія задачы маюць значную колькасць пераменных і абмежаванняў, з’яўляюцца шматэкстрэмальнымі (для іх рашэння патрабуюцца высокапрадукцыйныя ЭВМ). Метады Н.п. (градыентныя, другіх вытворных, лінейнай апраксімацыі, штрафных функцый і інш.) дазваляюць атрымаць набліжанае рашэнне, якое задавальняе ўмовы аптымальнасці з пэўнай хібнасцю. Найб. пашыраны метад штрафных функцый, які зводзіць задачу з абмежаваннямі да задачы без абмежаванняў фарміраваннем штрафной функцыі, якая атрымліваецца адніманнем «штрафаў» за парушэнне абмежаванняў з мэтавай функцыі дадзенай задачы.

На Беларусі матэм. пытанні Н.п. даследуюцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН і БДУ.

Літ.:

Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование: Теория и алгоритмы: Пер. с англ. М., 1982;

Введение в нелинейное программирование: Пер. с нем. М., 1985;

Конструктивные методы оптимизации. Ч. 5. Мн., 1998.

С.​У.​Абламейка.

т. 11, с. 280

ЛЕФ, Левы фронт мастацтваў,

літаратурна-мастацкае аб’яднанне ў Маскве ў 1922—29. Уваходзілі паэты У.​Маякоўскі (кіраўнік), М.​Асееў, В.​Каменскі, С.​Кірсанаў, П.​Нязнамаў, Б.​Пастарнак (да 1927) і інш., мастакі А.​Родчанка, В.​Сцяпанава і інш., крытыкі і тэарэтыкі мастацтва Б.​Арватаў, В.​Брык, В.​Шклоўскі і інш. Блізкімі да ЛЕФа былі дзеячы кіно С.​Эйзенштэйн, Дз.​Вертаў, Э.​Шуб і інш. Арыентаваўся на сац.-дзейснае, «жыццебудаўнічае» мастацтва, максімальна набліжанае да рацыянальна арганізаванай духоўнай «вытворчасці» і урбаністычнай культуры. Працягваў асобныя авангардысцкія тэндэнцыі футурызму. Абсалютызаваў вытв.-пераўтваральныя (утылітарныя) і арганізац.-ідэалаг. функцыі мастацтва, недаацэньваў або зусім ігнараваў яго пазнаваўчыя і духоўна-эстэт. аспекты.

Арыентаваўся на аднабакова зразумелы «сацыяльны заказ», абсалютызаваў дакументалізм (т. зв. л-ра факта), вытв. і прапагандысцкі утылітарызм, не прымаў маст. выдумку, недаацэньваў або цалкам адмаўляў традыц. віды і жанры. Выдаваў час. «ЛЕФ» (1923—25, рэд. Маякоўскі) і «Новый ЛЕФ» (1927—28, рэд. Маякоўскі, са жн. 1928 С.​Траццякоў). У 1928 Маякоўскі выйшаў з аб’яднання; у 1929 па яго ініцыятыве ЛЕФ пераўтвораны ў РЭФ (Рэв. фронт мастацтваў).

На Беларусі ў пач. 1920-х г. ідэі, блізкія да лефаўскіх, абгрунтоўвалі «Сцвярджальнікі новага мастацтва», асобныя публіцысты Пралеткульта. Пазней некаторыя ідэі ЛЕФа ў прынцыпова інш. пераасэнсаванні ўвайшлі ў праграму «Маладняка» (штучная апазіцыя «маладнякізму» творчасці старэйшых пісьменнікаў, канцэпцыя «вітаізму» — л-ры, накіраванай на «ажыўленне» рабоча-сялянскай Беларусі і макс. набліжэнне л-ры да жыцця) і «Узвышша», асабліва ў поглядзе на л-ру як на «жыццебудаўніцтва» і «аквітызм» (ад лац. aqua vita вада жыцця), што сімвалізавала пранікненне творча-маст. пачатку ў нар. быццё. У літ. практыцы большасць маладнякоўцаў і «Узвышша» выступалі супраць футурызму і ЛЕФа, арыентаваліся на фальклор і традыц. муз.-песенную паэзію, а не на урбаністычныя матывы і дакументалізм. Разнавіднасцю ЛЕФа на бел. літ. ніве стала «Беларуская літаратурна-мастацкая камуна». Большасць маладых паэтаў гэтага аб’яднання [П.​Броўка, Я.​Відук (Я.​Скрыган), Я.​Сукала, А.​Вясёлы, Ю.​Лявонны, У.​Прыбыткоўскі, І.​Чырвань і інш.] абмежаваліся вонкавым спалучэннем паэтыкі Маякоўскага з традыц. матывамі бел. паэзіі. Яго кіраўнікі (П.​Шукайла, М.​Бухаркін) з вульгарна-сацыялагічных пазіцый ацэньвалі творчасць С.​Ясеніна, Маякоўскага, У.​Жылкі, А.​Вольнага, У.​Дубоўкі, Я.​Пушчы.

Літ.:

Конан У.М. Развіццё эстэтычнай думкі ў Беларусі (1917—1934 гг.). Мн., 1968;

Мушынскі М.І. Беларуская крытыка і літаратуразнаўства, 20—30-я гг Мн., 1975;

Перцов В. Маяковский: Жизнь и творчество. Т. 2. 3 изд. М., 1976.

У.​М.​Конан.

т. 9, с. 225