Verbum

ВЫ́ЗНАЧАНЫ ІНТЭГРА́Л,

канечны ліміт інтэгральнай сумы функцыі $𝑓\text{(}x\text{)}$ на адрэзку [a, b]; адно з асн. паняццяў матэм. аналізу. Абазначаецца ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx}$ .

Геаметрычна вызначаны інтэграл выражае плошчу «крывалінейнай трапецыі», абмежаванай адрэзкам [a, b] восі Ox, графікам функцыі 𝑓(x) і ардынатамі пунктаў графіка, якія маюць абсцысы a і b.

Паводле вызначэння вызначаны інтэграл ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx=\underset{\mathrm{\lambda }\to 0}{\overset{}{lim}}\sum _{k-1}^n𝑓\text{′(}{x}_k\text{′)}\mathrm{\Delta }{x}_k}$ , дзе ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{x}_k=x_k-x_{k-1}}$ — даўжыні элементарных адрэзкаў, якія атрымліваюцца ў выніку падзелу адрэзка [a, b] на n элементарных адрэзкаў пунктамі $a=x_0<x_1<x_2<\text{...}<x_n=b(k=\text{1,2,...,}n)$ ; λ — даўжыня найбольшага адрэзка $\mathrm{\Delta }{x}_k$; $x_k\text{′}$ — некаторы пункт адрэзка $\left[x_{k-1}\text{,}{x}_k\right]$. Асн. сродак вылічэння вызначанага інтэграла — формула Ньютана—Лейбніца ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}𝑓\text{(}x\text{)}dx=F\text{(}b\text{)}-F\text{(}a\text{)}}$ , дзе $F\text{(}x\text{)}$ — любая першаісная для $𝑓\text{(}x\text{)}$, г.зн. ${\displaystyle F\text{′(}b\text{)}=𝑓\text{(}x\text{)}}$ .

Вызначаны інтэграл мае разнастайныя дастасаванні ў матэматыцы, фізіцы, механіцы, біялогіі, тэхніцы. З яго дапамогай вылічаюць плошчы крывалінейных фігур, паверхняў, даўжыні дуг крывых ліній, аб’ёмы цел, каардынаты цэнтра цяжару, моманты інерцыі, шлях цела, работу і інш.

А.А.Гусак.

т. 4, с. 308

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, які вывучае вытворныя і дыферэнцыялы функцый, а таксама іх дастасаванні. Разам з інтэгральным злічэннем складае курс матэматычнага аналізу (ці аналізу бясконца малых).

Аформілася ў самастойную матэм. дысцыпліну пасля прац І.Ньютана і Г.Лейбніца, якія сфармулявалі асн. палажэнні Д.з. і паказалі ўзаемна адваротны характар аперацый дыферэнцавання і інтэгравання. Выклікала з’яўленне новых галін матэматыкі: тэорыі шэрагаў, дыферэнцыяльнай геаметрыі, дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйнага злічэння. Грунтуецца на паняццях: рэчаісны лік, функцыя, ліміт, бясконца малая, неперарыўнасць і інш., якія атрымалі сучасны змест у ходзе развіцця і абгрунтавання аналізу бясконца малых; цэнтральныя паняцці Д.з. — вытворная і дыферэнцыял — і распрацаваны ў Д.з. апарат, які звязаны з імі, даюць сродкі даследавання функцый (у т. л. некалькіх пераменных), лакальна падобных на лінейныя функцыі або паліномы. Асн. дастасаванні Д.з. звязаны з даследаваннем функцый з дапамогай вытворных: знаходзіць выпукласць і ўвагнутасць графіка функцыі, прамежкі нарастання і спадання функцый, іх найбольшае і найменшае значэнне (гл. Экстрэмум), пункты перагіну і асімптоты, а таксама розныя ліміты функцый (напр., віду 0/0, ∞/∞ ; гл. Нявызначаны выраз), якія не паддаюцца вылічэнню інш. метадамі. Метады Д.з. маюць шматлікія дастасаванні ў даследаваннях актуальных праблем матэматыкі, прыродазнаўчых і тэхн. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.А.Гусак.

т. 6, с. 300

АСАБЛІ́ВЫ ПУНКТ у матэматыцы, 1) Асаблівы пункт крывой, зададзенай ураўненнем $\mathrm{F}\text{(x, y)}=0$, пункт M₀ (x₀, y₀), у якім роўныя нулю абедзве першыя частковыя вытворныя функцыі $\mathrm{F}\text{(x, y)}$ (напр., пачатак каардынат пункт 0). Асаблівы пункт бывае: двайны пры ўмове, што не ўсе другія частковыя вытворныя роўныя нулю; трайны, калі разам з першымі вытворнымі ператвараюцца ў нуль у пункце M₀ і ўсе другія вытворныя, але не ўсе трэція вытворныя роўныя нулю; і гэтак далей.

2) Асаблівы пункт дыферэнцыяльнага ўраўнення — пункт, у якім адначасова роўныя нулю лічнік і назоўнік правай часткі ўраўнення ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{P}\text{(x,y)}}{\mathrm{Q}\text{(x,y)}}}$ , дзе P і Q — неперарыўна дыферэнцавальныя функцыі (гл. Дыферэнцыяльныя ўраўненні). У залежнасці ад паводзін інтэгральных крывых у наваколлі Асаблівага пункта адрозніваюць: вузел, сядло, фокус, цэнтр і інш. 3) Асаблівы пункт. адназначнай аналітычнай функцыі — пункт, у якім парушаецца аналітычнасць функцыі (гл. Аналітычныя функцыі). Адрозніваюць асаблівы пункт ізаляваны (у наваколлі асаблівага пункта няма іншых асаблівых пунктаў), папраўны (ізаляваны асаблівы пункт з канечным лімітам ${\displaystyle \underset{\mathrm{z}\to \mathrm{a}}{\overset{}{lim}}\mathrm{f}\text{(}\mathrm{z}\text{)}=\mathrm{b}}$ ), полюс або неістотна асаблівы пункт (ізаляваны асаблівы пункт і ${\displaystyle \underset{\mathrm{z}\to \mathrm{a}}{\overset{}{lim}}\mathrm{f}\text{(}\mathrm{z}\text{)}=\mathrm{\infty }}$ , істотна асаблівы пункт (ліміт не існуе). Для мнагазначных аналітычных функцый паняцце асаблівага пункта больш складанае. Кожны асаблівы пункт з’яўляецца перашкодай пры аналітычным прадаўжэнні ўздоўж крывой, якая праходзіць праз яго.

В.І.Громак.

т. 2, с. 18

ЗНА́КІ МАТЭМАТЫ́ЧНЫЯ,

умоўныя абазначэнні (сімвалы), якімі карыстаюцца для запісу матэм. паняццяў, суадносін, выкладак і ніш. Напр., выраз «лік тры большы за лік два» з дапамогай З.м. запісваецца як 3 > 2.

Развіццё матэм. сімволікі цесна звязана з агульным развіццём паняццяў і метадаў матэматыкі. Першымі З.м. былі лічбы — знакі для абазначэння лікаў; мяркуюць, што яны папярэднічалі ўзнікненню пісьменнасці. З.м. для абазначэння адвольных велічынь з’явіліся 5—4 ст. да н.э. ў Грэцыі. Напр., плошчы, аб’ёмы, вуглы адлюстроўваліся адрэзкамі, а здабыткі велічынь — прамавугольнікамі, пабудаванымі на такіх адрэзках. У «Асновах» Эўкліда (3 ст. да н.э.) велічыні абазначаюцца дзвюма літарамі — пачатковай і канцавой літарамі адпаведнага адрэзка, а часам і адной. Пачаткі літарнага абазначэння і злічэння ўзніклі ў познаэліністычную эпоху (Дыяфант; верагодна 3 ст.) пры вызваленні алгебры ад геам. формы. Сучасная алг. сімволіка створана ў 14—17 ст.; яе развіццё і ўдасканаленне спрыяла ўзнікненню новых раздзелаў матэматыкі (гл. напр., Аперацыйнае злічэнне, Варыяцыйнае злічэнне, Тэнзарнае злічэнне) і матэм. логікі (Алгебра логікі).

А.А.Гусак.

т. 7, с. 99

НАВУКО́ВА-ТЭХНІ́ЧНЫ ПРАГРЭ́С (НТП),

працэс бесперапыннага ўзаемазвязанага, паступальнага развіцця навукі і тэхнікі, які праяўляецца ў пастаянным уздзеянні навук. ідэй (адкрыццяў і ведаў) на ўзровень удасканалення сродкаў і прадметаў працы, тэхналогіі і арг-цыі вытв-сці. Ажыццяўляецца ў форме паступовага эвалюцыйнага ўдасканалення матэрыяльнай вытв-сці і яго навук.-тэхн. асноў або ў форме карэннага якаснага пераўтварэння вытв. сіл на базе выкарыстання прынцыпова новых навук. і тэхн. дасягненняў, што забяспечваюць пераход да больш прагрэс. этапу развіцця грамадскай вытв-сці; мае рэв. характар развіцця і прымае форму навукова-тэхнічнай рэвалюцыі. У рэальных працэсах развіцця грамадства эвалюцыя і рэвалюцыя — неабходныя ўзаемазвязаныя формы (роўныя кампаненты) НТП. Эвалюцыя падрыхтоўвае рэвалюцыю і стварае для яе неабходныя ўмовы, а рэвалюцыя адкрывае якасна новыя магчымасці эвалюцыі, садзейнічае яе далейшаму развіццю.

Навука і вытв-сць пачалі збліжацца ў 16—18 ст., калі развіццё гандлю, мараплавання, мануфактурнай вытв-сці і інш. патрабавалі тэарэт. і эксперым. вырашэння практычных задач; 2-1 яе этап звязаны з машыннай вытв-сцю ў канцы 18 ст., калі навука і тэхніка ўзаемна стымулявалі паскораныя тэмпы развіцця. Бурнае развіццё навукі з канца 19 ст. і ў 20 ст. прывяло да значных адкрыццяў, што стала пачаткам новага кірунку НТП. Хуткае развіццё і практычнае выкарыстанне эл. энергіі, стварэнне рухавіка ўнутр. згарання, рост хім. і нафтахім. прам-сці, укараненне новых тэхналогій, выкарыстанне энергіі атамнага ядра, атрыманне штучных алмазаў, вынаходства і развіццё ЭВМ, асваенне космасу і інш.

Асн. кірункі НТП: комплексная аўтаматызацыя і камп’ютэрызацыя вытв-сці; пошук новых крыніц энергіі, стварэнне новых сродкаў транспарту і сувязі, асваенне новых тэхналогій, у т. л. біятэхналогій. Многія кірункі НТП цесна ўзаемазвязаны, іх размежаванне ўмоўнае. Затраты на НТП пастаянна павялічваюцца і ў эканамічна развітых краінах складаюць значную долю валавога ўнутр. прадукту. Усё большае значэнне набывае павышэнне эфектыўнасці выкарыстання навукова-тэхнічнага патэнцыялу.

На Беларусі НТП развіваўся ў непасрэднай сувязі з развіццём мануфактурнай і машыннай вытв-сці, прамысл. пераваротам 19 — пач. 20 ст.; яго тэмпы паскорыліся ў ходзе індустрыялізацыі ў 1930-я г. і асабліва ў 2-й пал. 20 ст., калі ўзніклі новыя галіны вытв-сці: аўтамабіле-, трактара-, прыладабудаванне, электра-, радыётэхнічная, электронная, хім., нафтаперапрацоўчая і інш. прам-сць. Паводле Закона Рэспублікі Беларусь «Аб асновах дзяржаўнай навукова-тэхнічнай палітыкі» ў бюджэце краіны ўстанаўліваецца ліміт агульных расходаў на навук.-тэхн. дзейнасць і нарматыў фінансавання фундаментальных і пошукавых даследаванняў.

У.Р.Залатагораў.

т. 11, с. 109