Verbum

АДЗІ́НКА 1) найменшы з натуральных лікаў n = 1. Пры множанні адвольнага ліку на 1 атрымліваецца той жа самы лік.

2) Элемент e мноства M наз. адзінкай, у адносінах да бінарнай алг. аперацыі *, калі для адвольнага элемента a мноства M выконваецца роўнасць a * e = a, або e * a = a (абедзве роўнасці незалежныя, г. зн., што ў агульным выпадку a * в ≠ в * a). Адрозніваюць левыя і правыя адзінкі: a * e_п = a і e_л * a = a. Калі на мностве M вызначана некалькі бінарных аперацый (напр., множанне і складанне лікаў), то e наз. адзінкай толькі ў адносінах да множання, у адносінах да складання — нулём.

т. 1, с. 108

ГРУ́ПА,

адно з асноўных паняццяў сучаснай матэматыкі, выкарыстоўваецца таксама ў фізіцы і інш. навуках пры вывучэнні ўласцівасцей сіметрыі. Узнікненне выклікана неабходнасцю выконваць пэўныя дзеянні (складанне, множанне) не толькі над лікамі, але і над вектарамі, мноствамі, матрыцамі, пераўтварэннямі і інш. матэм. аб’ектамі. Паняцце групы пачало фарміравацца ў канцы 18 — пач. 19 ст. незалежна ў алгебры ў выглядзе канечных груп падстановак пры рашэнні алг. ураўненняў у радыкалах (Ж.Лагранж, Н.Абель, Э.Галуа; апошні прапанаваў і тэрмін «група»), у геаметрыі пры з’яўленні неэўклідавых геаметрый і ў праектыўнай геаметрыі, а таксама ў тэорыі лікаў (Л.Эйлер, К.Гаўс) пры вывучэнні параўнанняў і класаў рэштаў.

Групай наз. непустая сукупнасць элементаў (мноства) G, на якой зададзена алг. аперацыя *, што задавальняе ўмовам: аперацыя асацыятыўная a*(b*c)=(a*b)*c для ўсіх a*b*c з G; для любога элемента а з G існуе нейтральны элемент n, для якога a*n=n*a=a; для любога элемента а з G існуе адваротны элемент x, для якога a*x=x*а=n. Напр., мноства ўсіх цэлых лікаў адносна аперацыі складання; сукупнасць падстановак мноства X, калі пад здабыткам 2 падстановак разумець вынік іх паслядоўнага выканання для любога x з X. Частка элементаў групы G, што сама ўтварае групу адносна групавой аперацыі ў G, наз. падгрупай (напр., мноства ўсіх цотных лікаў — падгрупа групы цэлых лікаў). Група наз. канечнай (бясконцай), калі мноства G мае канечную (бясконцую) колькасць элементаў. Гл. таксама Груп тэорыя.

Р.Т.Вальвачоў.

т. 5, с. 466

ГА́МІЛЬТАН

(Hamilton) Уільям Роўан (4.8.1805, Дублін — 2.9.1865),

ірландскі матэматык і механік. Чл. Ірландскай АН (1832) і яе прэзідэнт у 1837—45. Чл.-кар. Пецярбургскай АН (1837). Скончыў Дублінскі ун-т (1827), з 1827 праф. і дырэктар астр. абсерваторыі гэтага ун-та. Распрацаваў тэорыю гіперкамплексных лікаў, пабудаваў сістэму кватэрніёнаў, адначасова з Г.Грасманам прапанаваў тэорыю камплексных лікаў, якая стала адной з крыніц развіцця вектарнага злічэння. Распрацаваў тэорыю аптычных з’яў і ўстанавіў аналогію паміж класічнай механікай і геам. оптыкай, сфармуляваў адзін з варыяцыйных прынцыпаў механікі — найменшага дзеяння прынцып (прынцып Гамільтана), які незалежна ад яго выказаў М.В.Астраградскі.

Літ.:

Полак Л.С. Уильям Роуэн Гамильтон // Тр. Ин-та истории естествознания и техники АН СССР. 1956. Т. 15.

т. 5, с. 15

АСАЦЫЯТЫ́ЎНАСЦЬ

(ад лац. associare далучаць),

спалучальнасць, спалучальны закон (матэм.), уласцівасць складання і множання лікаў, якая выражана тоеснасцю (a + b) + c = a + (b + c) і (a b) c = a (bc) адпаведна (спачатку выконваецца аперацыя, узятая ў дужкі). Уласцівасць асацыятыўнасці мае множанне матрыц, падстановак, пераўтварэнняў. Аперацыі дзялення і аднімання не асацыятыўныя.

т. 2, с. 21

ВІНАГРА́ДАЎ Іван Мацвеевіч

(14.9.1891, с. Мілалюб Пскоўскай вобл., Расія — 20.3.1983),

савецкі матэматык.

Акад. АН СССР (1929). Чл. шматлікіх замежных АН. Двойчы Герой Сац. Працы (1945, 1971). Скончыў Пецярбургскі ун-т (1914). З 1918 у Пермскім ун-це, ленінградскіх політэхн. ін-це і ун-це. З 1932 дырэктар Матэм. ін-та АН СССР. Навук. працы па аналіт. тэорыі лікаў. Прапанаваў адзін з самых эфектыўных і агульных метадаў аналіт. тэорыі лікаў — метад трыганаметрычных сум, які дазволіў атрымаць фундаментальныя вынікі па праблемах Варынга, Гільберта—Камке, Гольдбаха, ацэнцы сум Вейля і інш. Ленінская прэмія 1972. Дзярж. прэмія СССР 1941, 1983. Залаты медаль імя М.В.Ламаносава АН СССР (1971).

Тв.:

Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2 изд. М., 1980;

Основы теории чисел. 9 изд. М., 1981.

Літ.:

Н.М.Виноградов. М., 1978.

т. 4, с. 181

АРЫЯБХА́ТА

(476, Кусумапур, паблізу сучаснага горада Пата, Індыя — каля 550),

індыйскі астраном і матэматык. У творы «Арыябхатыям» выклаў некаторыя матэматычныя звесткі, неабходныя для астранамічных вылічэнняў: здабыванне квадратнага і кубічнага каранёў, найпрасцейшыя задачы на складанне і рашэнне ўраўненняў, правілы падсумавання радоў, табліцу сінусаў, прыбліжанае значэнне ліку π = 3,1416 і інш. Увёў запіс лікаў пры дапамозе літар санскрыту.

Літ.:

Володарский А.И. Ариабхата. М., 1977.

т. 2, с. 9

АРЫФМЕТЫ́ЧНАЯ ПРАГРЭ́СІЯ,

паслядоўнасць лікаў (a₁, a₂, ..., a_n, ...), кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d (рознасць арыфметычнай прагрэсіі). Напрыклад, 2, 5, 8, 11, ..., d = 3. Калі d>0 (d<0), то арыфметычная прагрэсія нарастальная (спадальная). Любы член арыфметычнай прагрэсіі вылічваецца па формуле $a_{\mathrm{n}}=a_1+d_{\mathrm{(n-1)}}$ ; сума S_n першых n членаў — $S_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}\text{(}{a}_1+a_{\mathrm{n}}\text{)}/2$ .

т. 2, с. 9

А́ЛГЕБРЫ АСНО́ЎНАЯ ТЭАРЭ́МА,

класічная тэарэма існавання, якая сцвярджае, што кожны мнагасклад з камплекснымі каэфіцыентамі мае камплексны корань. Упершыню выказаў ням. матэматык П.Ротэ (1608), першым дакладна даказаў К.Гаўс (1799). Усе доказы абапіраюцца на тапалагічныя ўласцівасці мностваў камплексных і рэчаісных лікаў. З алгебры асноўнай тэарэмы вынікае: колькасць каранёў мнагаскладу супадае са ступенню мнагаскладу; кожны паліном з рэчаіснымі каэфіцыентамі раскладаецца ў здабытак лінейных і квадратычных множнікаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі.

В.А.Ліпніцкі.

т. 1, с. 235

ГАЮІ́,

Аюі (Haüy) Рэнэ Жуст (28.2.1743, г. Сен-Жу-ан-Шасэ, Францыя — 1.6 або 3.6.1822), французскі крышталёграф і мінералог. Чл. Парыжскай АН (1783). Ганаровы чл. Пецярбургскай АН (1806). У 1794—1802 праф. Горнай школы (Парыж). Зрабіў вял. ўклад у развіццё крышталяграфіі; адкрыў закон цэлых лікаў (рацыянальнасці параметраў), названы яго імем, распрацаваў тэорыю памяншэння колькасці малекул у слаях, якія паслядоўна фарміруюць крышталь. Яго імем названы мінерал гаюін.

т. 5, с. 97

АРЫФМЕ́ТЫКА

(ад грэчаскага arithmos лік),

навука, галоўны аб’ект якой цэлыя, рацыянальныя лікі і дзеянні над імі. Узнікла ў старажытныя часы з практычных патрэб чалавека лічыць і вымяраць. Для падліку вялікай колькасці аб’ектаў створаны сістэмы лічэння. Найбольш зручная дзесятковая сістэма лічэння; існуюць таксама сістэмы лічэння з асновамі 5, 12, 20, 40, 60 і нават 11 (Новая Зеландыя). З пашырэннем вылічальнай тэхнікі выкарыстоўваецца двайковая сістэма лічэння.

Да пачатку нашай эры былі атрыманы дастаткова глыбокія вынікі: даказана бесканечнасць мноства простых лікаў, несувымернасць стараны квадрата і яго дыяганалі (па сутнасці доказ ірацыянальнасці ліку √2), створаны алгарытм выяўлення агульнай меры двух адрэзкаў і найбольшага агульнага дзельніка, Піфагорам знойдзены агульны выгляд цэлалікавых катэтаў і гіпатэнузы прамавугольных трохвугольнікаў, значны ўплыў на развіццё арыфметыкі зрабіў Архімед. Фундаментальнае значэнне арыфметыкі як навукі стала зразумелым у канцы 17 стагоддзя ў сувязі з далучэннем да яе паняцця ірацыянальнага ліку. Развіццё апарату сувязяў паміж гэтымі лікамі і іх рацыянальнымі набліжэннямі (у прыватнасці, дзесятковымі), а таксама вынаходства і дастасаванне лагарыфмаў (шатландскі матэматык Дж.Непер) значна пашырылі тэматыку даследаванняў. Шматлікія пытанні знайшлі вырашэнне ў лікаў тэорыі. Спроба Г.Грасмана аксіяматычнай пабудовы арыфметыкі (сярэдзіна 19 стагоддзя) завершана італьянскім матэматыкам Дж.Пеана ў выглядзе 5 аксіём: 1) адзінка ёсць натуральны лік; 2) наступны за натуральным лікам ёсць таксама натуральны лік; 3) у адзінкі няма папярэдняга натуральнага ліку; 4) калі натуральны лік a стаіць за натуральным лікам b і за натуральным лікам c, то b і c тоесныя; 5) калі якое-небудзь сцвярджэнне даказана для адзінкі і калі з дапушчэння, што яно праўдзівае для натуральнага ліку n, вынікае, што яно выконваецца і для наступнага за n натуральнага ліку, то гэта сцвярджэнне справядліва для адвольнага натуральнага ліку (аксіёма поўнай матэматычнай індукцыі). Па-за прапанаванай сістэмай аксіём застаюцца многія пытанні, у якіх вывучаецца ўся бесканечная сукупнасць натуральных лікаў, што патрабуе даследавання несупярэчлівасці адпаведнай сістэмы аксіём і больш дэталёвага аналізу сэнсу сцвярджэнняў, якія вынікаюць з яе. Як навука арыфметыка часам атаясамліваецца з тэорыяй лікаў.

Літ.:

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1—3. М., 1970—72. Депман И.Я. История арифметики. 2 изд. М., 1965.

В.І.Бернік.

т. 2, с. 9