Verbum

НАРМА́ЛЬНЫЯ ВАГА́ННІ,

уласныя (свабодныя) гарманічныя ваганні лінейных дынамічных сістэм з пастаяннымі параметрамі, дзе адсутнічаюць страты энергіі ці яе прыток ад знешніх крыніц. Характарызуюцца пэўным значэннем частаты, з якой вагаюцца элементы сістэмы, і формай (размеркаваннем амплітуд і фаз па элементах сістэмы).

Дыскрэтныя сістэмы, якія складаюцца з Ν звязаных гарманічных асцылятараў (напр., мех. маятнікаў, вагальных контураў), маюць роўна Ν Н.в. Размеркаваныя сістэмы (напр., струна, мембрана, рэзанатар) маюць бясконцае злічонае мноства Н.в. Адвольны свабодны рух сістэмы можна выявіць як суперпазіцыю Н.в., а поўная энергія руху распадаецца на суму парцыяльных энергій асобных Н.в. Пры знешнім узбуджэнні сістэмы Н.в. ў значнай ступені вызначаюць яе рэзанансныя ўласцівасці (гл. Рэзананс).

т. 11, с. 162

ДЗЕ́ЯННЕ ў фізіцы,

фізічная велічыня, якая мае размернасць здабытку энергіі на час (або імпульсу на перамяшчэнне); адна з найважнейшых характарыстык дыскрэтных мех. сістэм.

У залежнасці ад выбранай фармулёўкі варыяцыйных прынцыпаў механікі выкарыстоўваюцца 2 вызначэнні Дз.: паводле Гамільтана і паводле Лагранжа , дзе $\mathrm{L}=\mathrm{T}-\mathrm{U}$ — функцыя Лагранжа, T і U — кінетычная і патэнцыяльная энергіі сістэмы адпаведна, $\mathrm{t}-{\mathrm{t}}_0$ — прамежак часу, праз які мех. сістэма пераходзіць з пачатковага ў адвольны, залежны ад часу стан сістэмы. Паняцце «Дз.» выкарыстоўваецца ў аналітычнай механіцы, а пры адпаведных абагульненнях у тэорыі пругкасці, электра- і тэрмадынаміцы, квантавай механіцы і тэорыі поля. Гл. таксама Найменшага дзеяння прынцып.

А.​І.​Болсун.

т. 6, с. 109

ПРАЕ́КЦЫЯ (ад лац. projectio літар. кіданне наперад),

відарыс прасторавай фігуры на плоскасці ці інш. паверхні.

Адрозніваюць цэнтральную, паралельную, прамавугольную П. Цэнтральная (канічная) П.: выбіраюць адвольны пункт S прасторы (цэнтр праектавання) і плоскасць α′ (плоскасць П.), якая не праходзіць праз пункт S; праз дадзены пункт A (правобраз) прасторы і цэнтр П. S праводзяць прамую SA да яе перасячэння ў пункце A′ з плоскасцю α′. Пункт A′ (вобраз) наз. цэнтральнай П. пункта A. П. фігуры наз. сукупнасць П. усіх яе пунктаў. Паралельнай (цыліндрычнай) П. пункта A на плоскасць α′ наз. пункт A′ перасячэння гэтай плоскасці і прамой p, якая праходзіць праз A паралельна зададзенай прамой a. У выпадку перпендыкулярнасці прамой n і плоскасці α′ П. наз. прамавугольнай (артаганальнай). Цэнтр. П. — аснова перспектывы. Цэнтр. і паралельная (у прыватнасці, артаганальная) П. знаходзяць дастасаванні ў нарысоўнай геаметрыі. Спец. віды праектавання на плоскасць, сферу, эліпсоід і інш. паверхні выкарыстоўваюцца ў астраноміі, геаграфіі, крышталяграфіі, тапаграфіі і інш.

А.​А.​Гусак.

т. 12, с. 541

ВО́ДНАЕ ПО́ЛА, ватэрпола,

камандная спартыўная гульня з мячом у басейне; адзін з водных відаў спорту. Гуляюць 2 каманды па 7 чал. на воднай пляцоўцы 30 × 20 м (глыб. не менш за 1,8 м). Пасярэдзіне больш кароткіх бакоў пляцоўкі ўстаноўлены вароты шыр. 3 м, выш. 0,9 м. Гульня доўжыцца 4 перыяды па 5 мін кожны (улічваецца чысты час). Мэта гульні: перадаючы мяч партнёрам, кожная з каманд імкнецца закінуць яго ў вароты саперніка. Стыль плавання адвольны, мяч можна весці і кідаць адной рукой (дзвюма рукамі гуляе толькі варатар). Парушэнне правіл караецца перадачай мяча праціўніку ці (за грубую гульню) выдаленнем парушальніка на 45 с або да прапушчанага гола.

Узнікла воднае пола ў Вялікабрытаніі ў 2-й пал. 19 ст. Да пач. 20 ст. стала развівацца і ў інш. краінах. У праграме Алімпійскіх гульняў з 1900. Праводзяцца чэмпіянаты Еўропы (з 1926), свету (з 1973). З 1926 дзейнічае К-т воднага пола пры Міжнар. аматарскай федэрацыі плавання (ФІНА). На Беларусі развіваецца з 2-й пал. 1940-х г. Чэмпіянаты краіны з 1949.

т. 4, с. 251

ПА́МЯЦЬ у вылічальнай тэхніцы,

функцыянальная частка вылічальнай машыны для запісу, захоўвання і счытвання інфармацыі. Ствараецца на базе розных запамінальных прыстасаванняў. Асн. элементы: носьбіт інфармацыі, блок кіравання (выконвае пошук месца на носьбіце, запісвае і счытвае інфармацыю) і канал сувязі П. з інш. блокамі ЭВМ. Асн. параметры: аб’ём і час доступу для запісу ці счытвання інфармацыі.

П. сучасных ЭВМ мае шматступеньчатую іерархічную структуру. што забяспечвае спалучэнне вял. ёмістасці і высокага хуткадзеяння. У іерархію П. ўваходзяць: знешняя П. вял. ёмістасці на аптычных дысках, магнітных дысках, барабанах, стужках і інш.; унутраная, ці аператыўная П. (мае адносна невял. аб’ём і вял. хуткадзеянне); звышаператыўная П. (кэш-П., П. неадкладнага доступу, мае час доступу, значна меншы за час доступу да аператыўнай П., і служыць буферам паміж працэсарам і аператыўнай П.); рэгістры — запамінальныя прыстасаванні аб’ёмам 1 слова ў розных блоках працэсара; пастаянная П. (доўгачасовая, аднабаковая) для захоўвання канстант, падпраграм і мікрапраграм; буферная П. як прамежкавае звяно паміж запамінальнымі прыстасаваннямі розных узроўняў ЭВМ. Пры праграмаванні складаных задач аперацыйная сістэма забяспечвае рэжым віртуальнай П., калі П. падзяляецца на асобныя старонкі і кожнаму карыстальніку аддаецца адвольны аб’ём П., незалежны ад рэальнага аб’ёму асн. П. ЭВМ і абмежаваны толькі разраднасцю адрасоў у камандах.

М.​П.​Савік.

т. 12, с. 38

СІМЕТРЫ́Я ў геаметрыі,

уласцівасць геаметрычнай фігуры пры вызначаных пераўтварэннях (зменах свайго становішча) сумяшчацца з самой сабой так, што не ўсе яе пункты займаюць першапачатковае месца ў прасторы.

Віды С. на плоскасці: С. адносна прамой (восі С.) пры люстраным адбітку (кожнаму пункту фігуры адпавядае іншы пункт гэтай фігуры на перпендыкуляры да дадзенай прамой на той жа адлегласці ад яе), напр., круг сіметрычны адносна кожнай прамой, якая праходзіць праз яго цэнтр; С. адносна пункта (цэнтра С.), калі фігура супадае сама з сабой пры яе вярчэнні на 180°, напр., паралелаграм сіметрычны адносна пункта перасячэння дыяганалей; С. парадку n адносна пункта (цэнтра С. парадку п), калі фігура супадае сама з сабой пры вярчэнні на 360°/n, n = 3, 4, 5, ..., напр., правільны n-вугольнік; С. бесканечнага парадку адносна пункта (цэнтра С. бесканечнага парадку), калі фігура супадае сама з сабой пры вярчэнні на адвольны вугал вакол цэнтра, напр., круг і ўся плоскасць. Паняцце С. абагульняецца на целы ў прасторы, а таксама на інш. матэм. паняцці (група, аператар і інш.) і адыгрывае значную ролю ў матэматыцы і яе дастасаваннях.

А.​А.​Гусак.

т. 14, с. 386

ЗВЫЧА́ЙНЫЯ ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні адносна функцыі адной пераменнай, якая ўваходзіць у гэта ўраўненне разам са сваімі вытворнымі да некаторага парадку ўключна. Найбольшы парадак вытворнай наз. парадкам ураўнення.

Калі З.д.ў. запісана ў форме ${\displaystyle x^{\text{(}n\text{)}}=𝑓}$ ($t$, $x$, $x$′, ..., $x^{\text{(}n-1\text{)}}$) , то кажуць, што гэта ўраўненне n-га парадку ў нармальнай форме. Згодна з тэарэмай існавання і адзінасці ў такога ўраўнення існуе і прычым толькі адно рашэнне з пачатковымі ўмовамі ${\displaystyle x\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_1^0}$ , ${\displaystyle \mathrm{x\prime }\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_2^0}$ ..., ${\displaystyle x^{\text{(}n-1\text{)}}\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_n^0}$ , дзе $t_0$, $x{}_1^0$, $x{}_2^0$, ..., $x{}_{\mathrm{n}}^0$ — адвольны пункт вобласці ${\displaystyle \mathrm{D}\subset {\mathrm{R}}^{1+n}}$ у якой $𝑓$($t$, $x$, ..., $x_n$) — функцыя, неперарыўная разам са сваімі вытворнымі ${𝑓\text{′}}_{x_1}$, ${𝑓\text{′}}_{x_2}$, ..., ${𝑓\text{′}}_{x_n}$. Гэта азначае, што пачатковыя ўмовы цалкам вызначаюць усё мінулае і будучае той рэальнай сістэмы, якая апісваецца гэтым ураўненнем. Пры дапамозе З.д.ў. або іх сістэм мадэлююць дэтэрмінаваныя рэальныя сістэмы (працэсы). Пры гэтым стан сістэмы ў кожны момант часу $t$ павінен апісвацца канечным мноствам параметраў $x_1$, ..., $x_n$. Тады, каб запісаць такаю мадэль, дастаткова ў мностве станаў сістэмы, якую мадэлююць, задаць скорасці пераходу ад аднаго стану сістэмы да яе наступнага стану.

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 7 изд. М., 1984.

У.​Л.​Міроненка.

т. 7, с. 41

ДЭТЭРМІНА́НТ, вызначнік, алгебраічны выраз, складзены паводле пэўнага правіла з n​² лікаў, дзе n — парадак дэтэрмінанта. Д. квадратнай матрыцы $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{...}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{...}& \text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{...}& a_{nn}\end{array}\right|$ з n​² элементы a_ik (i — нумар радка, k — нумар калонкі, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n) наз. алг. сума $\sum \pm \begin{array}{cccc}{a}_{1j_1}& a_{2j_2}& \text{...}& a_{n{j}_n}\end{array}$ усіх здабыткаў элементаў гэтай матрыцы, узятых па аднаму з кожнага радка і з кожнай калонкі. Складаемаму a_1j1, a_2j2 ... a_njn прыпісваецца знак «+», калі перастаноўка j₁, j₂, ..., j_n лікаў 1, 2, ... n мае цотную колькасць інверсій, і знак «−», калі колькасць інверсій у ёй няцотная. Напр., Д. 2-га парадку $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ $=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ .

Лічаць, што: радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, калі кожны элемент гэтага радка (калонкі) памнажаецца на α; складваюцца 2 радкі (калонкі) Д., калі складваюцца адпаведныя элементы гэтых радкоў (калонак), якія стаяць у адной калонцы (радку); да i-га радка (калонкі) Д. дадаецца яго k-ы радок (калонка), калі i-ы радок (калонка) замяняецца сумай i-га і k-га радкоў (калонак); робіцца лінейная камбінацыя радкоў (калонак) Д., калі кожны i-ы радок (калонка) множыцца на адвольны лік a_i і складваюцца атрыманыя радкі (калонкі). Д. мае шэраг уласцівасцей, якія аблягчаюць яго вылічэнне: калі элементы a_kj k-га радка Д. d ёсць сумы двух складаемых a_kj = b_j + c_j, то Д. d роўны суме двух Д. d = d₁ + d₂, якія адрозніваюцца ад d толькі k-м радком: b₁, b₂ ..., b_n — k-ы радок Д. d₁, c₁, c₂..., c_n k-ы радок Д. d₂ калі які-н. радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, то і Д. памнажаецца на α; Д. не зменіцца, калі да якога-н. яго радка (калонкі) дадаецца адвольная лінейная камбінацыя інш. радкоў (калонак); для таго, каб Д. быў роўны нулю, неабходна і дастаткова, каб які-н. яго радок (калонка) быў лінейнай камбінацыяй іншых радкоў (калонак). Тэорыя Д. створана ў асноўным у 2-й пал. 18 ст. і 1-й пал. 19 ст. ў працах матэматыкаў: швейц. Г.​Крамера, франц. А.​Вандэрмонда, П.​С.​Лапласа, А.​Кашы, ням. К.​Гаўса і К.​Якобі. Франц. матэматык Ж.​Дзьеданэ ўвёў паняцце Д. матрыцы над целам (мае важнае значэнне для сучаснай алгебры). Шматлікія дастасаванні Д. да розных пытанняў матэматыкі і фізікі, напр. пры рашэнні лінейных ураўненняў.

Літ.:

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 10 изд. М., 1971;

Артин Э. Геометрическая алгебра: Пер. с англ. М., 1969;

Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 1. Мн., 1984.

Р.​І.​Тышкевіч.

т. 6, с. 362

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы m радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Ізобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.​С.​Багданаў, М.​А.​Ізобаў.

т. 6, с. 301