Verbum

МАТЭМАТЫ́ЧНАЕ ПРАГРАМАВА́НЕ,

раздзел прыкладной матэматыкі, прысвечаны тэорыі і метадам вызначэння максімумаў (ці мінімумаў) функцый многіх пераменных пры наяўнасці дадатковых абмежаванняў, зададзеных сістэмай роўнасцей і няроўнасцей. Сфарміравалася ў 1950-я г. ў сувязі з практычнымі задачамі выбару аптымальнага варыянта сярод многіх магчымых (гл. Аперацый даследаванне, Гульняў тэорыя).

Задачы М.п. з’яўляюцца матэм. мадэлямі розных задач эканомікі, тэхнікі, вытв-сці, ваен. справы, у якіх патрабуецца вызначыць аптымальны план (праграму) дзеянняў з улікам пэўных умоў і абмежаванняў. Асн. раздзелы М.п.: лінейнае праграмаванне, нелінейнае праграмаванне, а таксама выпуклае (мэтавая функцыя і мноства дазволеных планаў у ім выпуклыя; гл. Выпукласць і ўвагнутасць) і цэлалікавае (пераменныя — цэлыя лікі) праграмаванні; шэраг задач М.п. рашаецца на аснове метаду дынамічнага праграмавання. Разглядаюцца таксама стахастычныя задачы для мадэліравання практычных сітуацый ва ўмовах рызыкі і неакрэсленасці.

На Беларусі мадэлі і метады М.п. даследуюцца ў Ін-тах матэматыкі і тэхн. кібернетыкі Нац. АН, БДУ.

Літ.:

Карманов В.Г. Математическое программирование. 3 изд. М., 1986.

Ю.Н.Сацкоў.

т. 10, с. 212

НЯЎЛА́СНЫ ІНТЭГРА́Л,

абагульненне класічнага паняцця вызначанага інтэграла на выпадак неабмежаваных функцый і функцый, зададзеных на бясконцым прамежку інтэгравання. Задачы, якія зводзяцца да Н.і., у геам. форме разглядалі Э.Тарычэлі і П.Ферма (1644), дакладныя вызначэнні даў А.Кашы (1823). Н.і. мае дастасаванні ў многіх галінах матэм. аналізу, матэм. фізіцы, тэорыі імавернасцей і інш.

Н.і. атрымліваецца з вызначанага інтэграла з дапамогай лімітавага пераходу. Напр., калі функцыя 𝑓(x) інтэгравальная на любым канечным адрэзку [a, N] і існуе ${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{lim}}\underset{a}{\overset{N}{\int }}𝑓\text{(}x\text{)}dx}$ , то яго наз. Н.і. функцыі 𝑓(x) на інтэрвале [а, ∞) і абазначаюць ${\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}𝑓\text{(}x\text{)}dx}$ . У гэтым выпадку гавораць, што Н.і. збягаецца. Калі такі ліміт не існуе, то гавораць, што Н.і. разбягаецца У некаторых выпадках разбежнаму Н.і. можна прыпісаць пэўнае значэнне, напр., калі інтэграл разбягаецца, але існуе ${\displaystyle \underset{-N}{\overset{N}{\int }}𝑓\text{(}x\text{)}dx=A}$ , то A наз. гал. значэннем Н.і. і абазначаюць ${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}𝑓\text{(}x\text{)}dx}$ . Аналагічным спосабам разглядаюцца Н.і. ад неабмежаваных функцый.

т. 11, с. 421

АПЕРА́ЦЫЙ ДАСЛЕ́ДАВАННЕ,

метад распрацоўкі колькасна абгрунтаваных рэкамендацый па прыняцці аптымальных рашэнняў па арганізацыі і кіраванні дзеяннямі (аперацыямі). Навукова аформілася для рашэння тэхн., тэхніка-эканам. задач і задач кіравання ў канцы 1940-х г.

У кожнай задачы аперацый даследавання фармальна апісана мноства магчымых рашэнняў і вызначанай мэтавай функцыі, значэнні якой характарызуюць меру дасягнення мэты пры кожным магчымым рашэнні. Задачы аперацый даследавання бываюць статычныя і дынамічныя, дэтэрмінаваныя і стахастычныя. У статычных задачах мэтавая функцыя яўна не залежыць ад часу, у дынамічных — час мае істотнае значэнне, у дэтэрмінаваных — выбар канкрэтнага рашэння прыводзіць да пэўнага значэння мэтавай функцыі, у стахастычных — гал. ролю адыгрывае фактар выпадковасці. Пры рашэнні статычных дэтэрмінаваных задач карыстаюцца метадамі лінейнага і нелінейнага праграмавання, дынамічных дэтэрмінаваных — дынамічнага праграмавання, стахастычных — тэорыі імавернасцяў, матэм. статыстыкі, тэорыі масавага абслугоўвання, стат. тэорыі прыняцця рашэнняў. Задачы, у якіх сутыкаюцца інтарэсы двух і больш бакоў, рашаюцца метадамі тэорыі гульняў. Калі дакладнае рашэнне задачы немагчыма, карыстаюцца метадам стат. выпрабаванняў (гл. Монтэ-Карла метад). Для рашэння складаных задач распрацаваны пакеты праграм для ЭВМ. Гл. таксама Аптымізацыі задачы і метады.

М.А.Лепяшынскі.

т. 1, с. 424

БО́ЛЬЦМАНА СТАТЫ́СТЫКА,

раздзел статыстычнай фізікі, які вывучае ўласцівасці сістэм неўзаемадзейных часціц (электронаў, атамаў, малекул), што рухаюцца паводле законаў класічнай механікі.

Распрацавана ў 2-й пал. 19 ст. Дж.К.Максвелам і Л.Больцманам. Ва ўмовах цеплавой раўнавагі стан ідэальнага газу апісваецца функцыяй размеркавання 𝑓 = C_exp(-E/kT), дзе C — нарміровачная канстанта, E — поўная мех. энергія (сума кінетычнай і патэнцыяльнай энергія часціцы), k — Больцмана пастаянная, T — абс. тэмпература. Функцыя 𝑓 наз. размеркаваннем Максвела—Больцмана, з якога вынікае закон раўнамернага размеркавання кінетычнай энергіі па ступенях свабоды малекул: на кожную ступень свабоды прыпадае ў сярэднім энергія 1/2 kT. Больцмана статыстыкай карыстаюцца ў тых выпадках, калі квантавыя эфекты ў руху часціц можна не ўлічваць. Крытэрый яе дастасавальнасці (2ΠmkT)​^3/2/nh>1, дзе m — маса часціцы, n — канцэнтрацыя часціц, h — Планка пастаянная. Гэты крытэрый практычна выконваецца для малекул звычайных газаў і электронаў праводнасці ў паўправадніках. Для мікрачасціц Больцмана статыстыка недакладная і заменьваецца статыстыкай Бозе—Эйнштэйна або Фермі—Дзірака (гл. Квантавая статыстыка).

Больцмана статыстыка шырока карыстаецца ў кінетычнай тэорыі газаў, фізіцы паўправаднікоў, фізіцы плазмы, тэорыі эл. і магн. з’яў у рэчыве і інш. галінах фізікі.

В.І.Кузьміч.

т. 3, с. 210

ДЫФЕРЭНЦАВА́ННЕ ў матэматыцы,

аперацыя адшукання вытворнай (або дыферэнцыяла) па пэўных правілах (гл. табл.) Бывае аналітычнае (гл. Дыферэнцыяльнае злічэнне), графічнае (гл. Графічныя вылічэнні) і лікавае (гл. Лікавыя метады). Фіз. сэнс Д. — знаходжанне скорасці змянення пераменнай велічыні (функцыі).

Літ.:

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1. 2 изд. Мн., 1983;

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994.

А.А.Гусак.

т. 6, с. 299

КРАЯВА́Я ЗАДА́ЧА ў матэматыцы, межавая задача, гранічная задача, задача спалучэння,

задача адшукання функцыі, якая задавальняе ў зададзеным абсягу некат. дыферэнцыяльнае ўраўненне (звычайнае або ў частковых вытворных), а на мяжы (краі) абсягу — некаторую ўмову (краявую, гранічную або ўмову спалучэння). Умова вынікае з фіз. прыроды працэсу, апісанага дадзеным дыферэнцыяльным ураўненнем.

Самая простая К.з. — вызначэнне на зададзеным адрэзку рашэння звычайнага лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўнення, якое задавальняе на краі адрэзка пэўныя ўмовы. Для ўраўнення ў частковых вытворных класічныя К.з. — К.з. для Лапласа ўраўнення — самага простага выпадку вял. групы ўраўненняў у частковых вытворных (ураўненняў эліптычнага тыпу). Адзін з асн. метадаў рашэння К.з. для ўраўненняў эліптычнага тыпу — прывядзенне іх да інтэгральнага ўраўнення тыпу Фрэдгальма. Значны раздзел сучаснай тэорыі К.з. — К.з. для аналітычных функцый, у якіх шукаецца аналітычная ў абсягу функцыя (ці сістэма функцый), што задавальняе на мяжы абсягу некат. краявую ўмову. К.з. маюць шматлікія дастасаванні ў механіцы, тэорыі пругкасці, электрадынаміцы і інш. Гл. таксама Ураўненні матэматычнай фізікі.

На Беларусі сістэматычныя даследаванні па тэорыі К.з. праводзяцца з 1950-х г. у Ін-це матэматыкі Нац. АН, БДУ і інш.

Літ.:

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 4 изд. М., 1972;

Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3 изд. М., 1977.

Ф.Дз.Гахаў, Э.І.Звяровіч.

т. 8, с. 471

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, які вывучае вытворныя і дыферэнцыялы функцый, а таксама іх дастасаванні. Разам з інтэгральным злічэннем складае курс матэматычнага аналізу (ці аналізу бясконца малых).

Аформілася ў самастойную матэм. дысцыпліну пасля прац І.Ньютана і Г.Лейбніца, якія сфармулявалі асн. палажэнні Д.з. і паказалі ўзаемна адваротны характар аперацый дыферэнцавання і інтэгравання. Выклікала з’яўленне новых галін матэматыкі: тэорыі шэрагаў, дыферэнцыяльнай геаметрыі, дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйнага злічэння. Грунтуецца на паняццях: рэчаісны лік, функцыя, ліміт, бясконца малая, неперарыўнасць і інш., якія атрымалі сучасны змест у ходзе развіцця і абгрунтавання аналізу бясконца малых; цэнтральныя паняцці Д.з. — вытворная і дыферэнцыял — і распрацаваны ў Д.з. апарат, які звязаны з імі, даюць сродкі даследавання функцый (у т. л. некалькіх пераменных), лакальна падобных на лінейныя функцыі або паліномы. Асн. дастасаванні Д.з. звязаны з даследаваннем функцый з дапамогай вытворных: знаходзіць выпукласць і ўвагнутасць графіка функцыі, прамежкі нарастання і спадання функцый, іх найбольшае і найменшае значэнне (гл. Экстрэмум), пункты перагіну і асімптоты, а таксама розныя ліміты функцый (напр., віду 0/0, ∞/∞ ; гл. Нявызначаны выраз), якія не паддаюцца вылічэнню інш. метадамі. Метады Д.з. маюць шматлікія дастасаванні ў даследаваннях актуальных праблем матэматыкі, прыродазнаўчых і тэхн. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.А.Гусак.

т. 6, с. 300

КІНЕТЫ́ЧНАЯ ТЭО́РЫЯ ГА́ЗАЎ,

раз дзел тэарэтычнай фізікі, які вывучае ўласцівасці рэчыва ў газападобным стане. Аб’екты вывучэння — газы, газавыя сумесі, плазма. Асн. метады — статыстычныя на аснове малекулярнай будовы рэчыва і законаў узаемадзеяння паміж часціцамі.

Асновы К.т.г. распрацавалі Л.Больцман і Дж.К.Максвел; далей развіта ў працах М.Борна, М.М.Багалюбава, Л.Д.Ландау і інш. Вывучае дастаткова разрэджаныя сістэмы, для якіх час свабоднага прабегу часціц (ці квазічасціц) значна перавышае час іх сутыкнення, што дае магчымасць апісваць такія сістэмы на аснове адначасцінкавай функцыі размеркавання 𝑓($\overrightarrow{r}$, $\overrightarrow{v}$, t), якая з’яўляецца шчыльнасцю імавернасці таго, што часціца ў момант часу t у пункце $\overrightarrow{r}$ мае скорасць $\overrightarrow{v}$. Функцыя 𝑓 для канкрэтнай сістэмы пры зададзеных умовах з’яўляецца рашэннем асн. ўраўнення К.т.г. — кінетычнага ўраўнення Больцмана: ${\displaystyle \frac{\partial 𝑓}{\partial t}+\overrightarrow{v}\frac{\partial 𝑓}{\partial \overrightarrow{r}}+\frac{\overrightarrow{F}}{m}\frac{\partial 𝑓}{\partial \overrightarrow{v}}=I\text{(}𝑓\text{)}}$ , дзе $\overrightarrow{F}$ — знешняя сіла, што ўздзейнічае на часціцу масай m, I(𝑓) — інтэграл сутыкненняў (вызначае змену 𝑓 з-за сутыкненняў часціц). У выпадку сумесі газаў разглядаецца сістэма такіх ураўненняў для кожнага кампанента сумесі. Па знойдзенай функцыі 𝑓 вылічаюць сярэднія велічыні, якія характарызуюць стан газу і працэсы ў ім, і на іх аснове вывучаюць эвалюцыю нераўнаважных сістэм, унутранае трэнне, дыфузію, цеплаправоднасць і інш.

Літ.:

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М., 1979.

Г.С.Раманаў.

т. 8, с. 270

КРЫ́ТЫКА САЦЫЯ́ЛЬНАЯ, крытыцызм,

кірунак у філасофіі і сацыялогіі, прадстаўнікі якога гал. задачай лічаць крытычны аналіз грамадскіх адносін. Некаторыя ідэі К.с. разглядаліся ў рамках эмпірыякрытыцызму (Э.Мах, Р.Авенарыус), крытычнага рэалізму (М.Мандэльбаўм, А.Венцль, К.Котэн), франкфурцкай школы (Т.Адорна, М.Хоркхаймер, Г.Маркузе, Дж.Уоткінс, І.Лакатас, Дж.Агасі, Г.Альберт) і блізкай да яго канцэпцыі П.Феерабенда. Паступова сфарміраваўся адносна самаст. кірунак крытыцызму (Ч.Мілс, Д.Рысмэн, Э.Фром, А.Гоўлднер і інш.).

Як філас. кірунак К.с. ўзнікла ў сярэдзіне 20 ст. ў ходзе крытыкі неапазітывізму і сфарміравалася ў выніку дыскусій з прадстаўнікамі гіст. кірунку ў філасофіі навукі (М.Полані, Т.Кун, С.Тулмін). Гал. тэарэт. функцыя яе — мэтанакіраваная крытыка асн. тэорый грамадства, перш за ўсё «акадэмічнай» сацыялогіі і сац. інжынерыі, а таксама спроб стварэння сац. навукі («рэфлексіўнай сацыялогіі», «сацыялогіі сацыялогіі» і інш.), у якой сацыёлагу адводзіцца паліт. і сацыяльна актыўная роля, роля суб’екта, які мэтанакіравана ўплывае на развіццё грамадскіх працэсаў. К.с. асаблівае значэнне надае праблемам асобы, адмоўнаму ўплыву на фарміраванне і развіццё розных сац. працэсаў і з’яў (адчужэнне вытворцы ад сродкаў вытв-сці, дэгуманізацыя працы, наркаманія і прастытуцыя, беднасць, сац. няроўнасць, бюракратызацыя сац. ін-таў і г.д.), якія прыводзяць да негатыўных наступстваў. У галіне метадалогіі крытыцызм упэўнены, што не існуе метадаў, якія забяспечваюць строга лагічны прырост навук. ведаў і што неабходна з дапамогай фармальна-лагічных спосабаў выключаць з ужытку ненавук. тэорыі.

І.В.Катляроў.

т. 8, с. 521

АПЕРО́Н (ад лац. operare працаваць, дзейнічаць),

участак генетычнага матэрыялу з аднаго, двух і больш счэпленых структурных генаў, якія кадзіруюць бялкі (ферменты), што ажыццяўляюць паслядоўныя этапы біясінтэзу якога-н. метабаліту. У аперон эўкарыёт уваходзіць, як правіла, адзін структурны ген. Рэгулятарныя элементы аперона складаюць таксама праматар (участак малекулы ДНК, з якім спецыфічна звязваецца фермент РНК-палімераза, што ажыццяўляе транскрыпцыю аперона) і аператар (участак ДНК, які нясе функцыю «ўключэння» або «выключэння» структурных генаў і рэгулюе функцыянальную актыўнасць аперона). Канцэпцыя аперона распрацавана франц. вучонымі Ф.Жакобам і Ж.Мано (1961) для тлумачэння механізму рэгуляцыі сінтэзу бялку ў бактэрыяльных клетках.

Рэгулятарная функцыя аперона адбываецца на стадыі транскрыпцыі і забяспечвае каардынацыю сінт. працэсаў і адпаведныя рэакцыі клеткі на ўплыў навакольнага асяроддзя. Кантралюе дзейнасць аперона ген-рэгулятар, які можа знаходзіцца ў розных участках храмасомы. Яго прадукт — бялок-рэгулятар — пастаянна сінтэзуецца ў клетцы ў невял. колькасці і здольны ўзаемадзейнічаць з двума рознымі субстратамі, з аператарам і эфектарам (нізкамалекулярным рэчывам). У рэпрэсібельных сістэмах комплекс бялку-рэгулятара з эфектарам набывае роднасць з аператарам і далучаецца да яго, у выніку адбываецца выключэнне генаў, якія кіруюцца гэтым аператарам. У індуцыбельных сістэмах эфектар, які далучаецца да бялку-рэгулятара, вызваляе аператар ад гэтага бялку. Такім чынам, запускаюцца ў работу гены, падпарадкаваныя дадзенаму аператару.

т. 1, с. 425