Verbum

ПРАЕКТЫ́ЎНАЕ ПЕРАЎТВАРЭ́ННЕ,

узаемна адназначнае адлюстраванне праектыўнай плоскасці ці праектыўнай прасторы на сябе, пры якім пункты, што ляжаць на адной прамой, пераходзяць у пункты, якія таксама ляжаць на адной прамой. Напр., П.п. на плоскасці — гамалогія ў матэматыцы, у прасторы — цэнтр. праектаванне (гл. Перспектыва ў геаметрыі).

У аднародных каардынатах выражаецца аднародным лінейным пераўтварэннем, дэтэрмінант матрыцы якога не роўны нулю. Асн. інварыянт П.п. — падвойны (ці складаны) стасунак, які для пунктаў M₁, M₂, M₃, M₄, узятых на адной прамой, абазначаецца (M₁M₂M₃M₄) і вызначаецца формулай $\text{(}{M}_1{M}_2{M}_3{M}_4\text{)}=\frac{M_1{M}_3}{M_3{M}_2}:\frac{M_1{M}_4}{M_4{M}_2}$ , дзе M₁M₃, M₃M₂, M₁M₄, M₄M₂ — даўжыні адпаведных адрэзкаў. Пры гэтым стасунак $\frac{M_1{M}_3}{M_3{M}_2}$ лічыцца дадатным, калі напрамкі адрэзкаў M₁M₃ і M₂M₂ супадаюць, і адмоўным у процілеглым выпадку.

т. 12, с. 540

ПРАЕ́КЦЫЯ (ад лац. projectio літар. кіданне наперад),

відарыс прасторавай фігуры на плоскасці ці інш. паверхні.

Адрозніваюць цэнтральную, паралельную, прамавугольную П. Цэнтральная (канічная) П.: выбіраюць адвольны пункт S прасторы (цэнтр праектавання) і плоскасць α′ (плоскасць П.), якая не праходзіць праз пункт S; праз дадзены пункт A (правобраз) прасторы і цэнтр П. S праводзяць прамую SA да яе перасячэння ў пункце A′ з плоскасцю α′. Пункт A′ (вобраз) наз. цэнтральнай П. пункта A. П. фігуры наз. сукупнасць П. усіх яе пунктаў. Паралельнай (цыліндрычнай) П. пункта A на плоскасць α′ наз. пункт A′ перасячэння гэтай плоскасці і прамой p, якая праходзіць праз A паралельна зададзенай прамой a. У выпадку перпендыкулярнасці прамой n і плоскасці α′ П. наз. прамавугольнай (артаганальнай). Цэнтр. П. — аснова перспектывы. Цэнтр. і паралельная (у прыватнасці, артаганальная) П. знаходзяць дастасаванні ў нарысоўнай геаметрыі. Спец. віды праектавання на плоскасць, сферу, эліпсоід і інш. паверхні выкарыстоўваюцца ў астраноміі, геаграфіі, крышталяграфіі, тапаграфіі і інш.

А.​А.​Гусак.

т. 12, с. 541

ПТАЛАМЕ́Й ((Ptolemaios) Клаўдзій) (каля 90 — каля 160),

старажытнагрэчаскі вучоны-энцыклапедыст з Александрыі. Праводзіў навук. даследаванні па астраноміі, матэматыцы, геаграфіі, картаграфіі, оптыцы і храналогіі. Распрацаваў геацэнтрычную сістэму свету. Даў сістэматычнае выкладанне тагачасных геагр. ведаў з асновамі тэорыі картаграфічных праекцый. Рашыў шэраг задач прамалінейнай і сферычнай трыганаметрыі, даказаў адну з тэарэм геаметрыі (гл. Пталамея тэарэма), сфармуляваў элементы тэорыі пераламлення святла і астр. рэфракцыі. У творы «Вялікая матэматычная пабудова астраноміі ў 13 кнігах» (арабізаваная назва «Альмагест») сістэматызаваў астр. веды і некат. матэм. звесткі, прывёў каталог 1022 зорак. У «Дапаможніку па геаграфіі» (8 кніг) змясціў агульную і 26 спец. карт з каардынатамі 8 тыс. геагр. пунктаў. Яго «Храналагічны канон цароў» і інш. творы — своеасаблівыя энцыклапедыі ант. свету па розных галінах ведаў.

Літ.:

Идельсон Н.И. Этюды по истории планетных теорий // Николай Коперник. М.; Л., 1947;

Паннекук А. История астрономии: Пер. с англ. М., 1966;

Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики: Пер. с нем. 2 изд. М., 1969.

А.​І.​Болсун.

т. 13, с. 109

АЛГЕБРАІ́ЧНАЯ ГЕАМЕ́ТРЫЯ,

раздзел матэматыкі, які вывучае геаметрычныя аб’екты, звязаныя алг. ўраўненнямі, — алг. мнагастайнасці. Узнікла ў 17 ст. з увядзеннем у геаметрыю паняцця каардынат. У сярэдзіне 19 ст. алгебраічная геаметрыя выдзелілася з матэм. аналізу як тэорыя алг. крывых. У канцы 19 ст. італьян. вучоныя К.​Сегрэ, Л.​Крэмона і інш. стварылі тэорыю алг. паверхняў. У 1930-я г. матэматыкі галандскі Б.​Л.​Ван-дэр-Вардэн, ням. Г.​Гасе і франц. А.​Вейль стварылі асновы алгебраічнай геаметрыі над адвольным полем К. Падабенства тэорыі алг. крывых і тэорыі алг. лікаў стымулявала пошукі агульнай алг. асновы (амер. вучоны О.​Зарыскі, франц. матэматыкі К.​Шэвале і Ж.​Сер). Асновай стала тэорыя схем (франц. матэматык А.​Гратэндзік), дзе, напр., на геам. мове разглядаліся сістэмы алг. ураўненняў над адвольным камутатыўным кольцам, апісваліся ўласцівасці праектыўных мнагастайнасцяў. Алгебраічная геаметрыя звязана з тэорыяй функцый камплексных пераменных, лікаў тэорыяй, ураўненнямі матэматычнай фізікі і інш.

Літ.:

Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. 2 изд. Т. 1—2. М., 1988;

Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ. Т. 1—2. М., 1982.

В.​А.​Ліпніцкі.

т. 1, с. 234

ГАЎС ((Gauß) Карл Фрыдрых) (30.4.1777, г. Браўншвайг, Германія — 23.11.1855),

нямецкі матэматык, астраном і фізік. Чл. Лонданскага каралеўскага т-ва (1804), акад. Парыжскай (1820) і Пецярбургскай (1824) АН. Вучыўся ў Гётынгенгскім ун-це (1795—98), з 1807 праф. і дырэктар астр. абсерваторыі гэтага ун-та. Навук. працы па матэматыцы, астраноміі, фізіцы і геадэзіі. Даказаў асн. тэарэму алгебры пра існаванне хоць бы аднаго кораня ва ўсякім алгебраічным ураўненні, прапанаваў метад вылічэння эліптычнай арбіты нябеснага цела Сонечнай сістэмы па трох назіраннях. У 1832 стварыў абс. сістэму адзінак (міліметр, міліграм, секунда), разам з В.​Веберам пабудаваў першы ў Германіі эл.-магн. тэлеграф (1833). Вывучаў зямны магнетызм, распрацаваў тэорыю патэнцыялу і сфармуляваў асн. тэарэму электрастатыкі (гл. Гаўса тэарэма). Заклаў матэм. асновы вышэйшай геадэзіі, прапанаваў найменшых квадратаў метад. Распрацаваў тэорыю пабудовы відарысаў у складаных аптычных сістэмах (1840), выказаў думку пра канечнасць скорасці распаўсюджвання эл.-магн. узаемадзеянняў, прыйшоў да высновы аб магчымасці існавання нееўклідавай геаметрыі.

Тв.:

Рус. пер. — Избр. тр. по земному магнетизму. Л., 1952.

Літ.:

Карл Фридрих Гаус. М., 1956.

т. 5, с. 92

ЛАБАЧЭ́ЎСКАГА ГЕАМЕ́ТРЫЯ,

геаметрычная тэорыя, сістэма аксіём якой адрозніваецца ад сістэмы аксіём эўклідавай геаметрыі толькі аксіёмай (пастулатам) аб паралельнасці. Паводле гэтай аксіёмы, праз пункт, што не ляжыць на зададзенай прамой, праходзяць не менш як 2 прамыя, якія не перасякаюць зададзеную. Л.г. выкарыстоўваецца ў тэорыі функцый, матэм. аналізе, тэорыі лікаў і тэорыі адноснасці.

Л.г. распрацавана М.І.Лабачэўскім у 1826 (апублікавана ў 1829—30). У 1832 аналагічныя вынікі незалежна атрымаў Я.Больяй. Перадумовай узнікнення Л.г. былі шматвяковыя спробы доказу аксіёмы пра паралельныя прамыя (пяты пастулат Эўкліда) на аснове астатніх аксіём. Лабачэўскі першы прыйшоў да высновы пра недаказальнасць пастулата і пра магчымасць існавання геам. сістэм з інш. аксіёмамі паралельнасці, пабудаваў своеасаблівую лагічна бездакорную геам. сістэму. Л.г. мае некаторыя асаблівасці (напр., 2 трохвугольнікі з роўнымі вугламі роўныя; сума вуглоў трохвугольніка меншая за 2 прамыя вуглы), якія не супярэчаць рэчаіснасці. Стварэнне Л.г. заклала асновы развіцця неэўклідавых геаметрый. значна пашырыла ўяўленні аб прыродзе прасторы і спрыяла ўзнікненню новых кірункаў у матэматыцы.

Літ.:

Смородинский Я.А., Сурков Е.Л. Геометрия Лобачевского и теория относительности. М., 1971;

Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение. М.,1976.

В.​І.​Вядзернікаў.

т. 9, с. 81

ПО́ЛАЦКАЯ НАСТА́ЎНІЦКАЯ СЕМІНА́РЫЯ імя Я.​П.​Кульнева, сярэдняя спец. навуч. ўстанова ў Полацку ў 1872—1918. Рыхтавала настаўнікаў пераважна для Віленскай навучальнай акругі. Мела 3 асн. класы (з 1907—4) і гадавое падрыхтоўчае аддзяленне. Прымаліся асобы ўсіх саслоўяў з 16-гадовага ўзросту, якія скончылі пач. нар. вучылішча. У 1912 семінарыі прысвоена імя Я.П.Кульнева. Выкладаліся: Закон Божы, педагогіка, рус. і царк.-слав. мовы, арыфметыка, асновы геаметрыі, каморніцтва, гісторыя, геаграфія, спевы, рамяство і інш. Пры семінарыі дзейнічалі: узорнае пач. вучылішча (50—70 вучняў штогод), дзе семінарысты праходзілі пед. практыку; курсы для настаўнікаў пач. нар. вучылішчаў; б-ка (8 тыс. тамоў); метэаралагічная станцыя (з 1900); музей наглядных дапаможнікаў (з 1910). У 1907 часова зачынена. У 1-ю сусв. вайну знаходзілася ў эвакуацыі ў г. Вязнікі Уладзімірскай губ. За 1872—1900 П.н.с. скончылі 521, у 1911—142 выхаванцы. На базе семінарыі створаны пед. тэхнікум (гл. Полацкі педагагічны каледж). У П.н.с. выкладалі Ю.Ф.Крачкоўскі, гісторык Я.​Смірноў, протаіерэй М.​Дуброўскі (даследчык жыцця Ефрасінні Полацкай), вучыўся бел. паэт Я.Журба.

Літ.:

Смирнов Е.И. Полоцкая учительская семинария за 30 лет ее существования. Витебск, 1902;

Арлоў У.А. Таямніцы полацкай гісторыі. Мн., 1994.

А.​Ф.​Самусік.

т. 12, с. 459

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, які вывучае вытворныя і дыферэнцыялы функцый, а таксама іх дастасаванні. Разам з інтэгральным злічэннем складае курс матэматычнага аналізу (ці аналізу бясконца малых).

Аформілася ў самастойную матэм. дысцыпліну пасля прац І.Ньютана і Г.Лейбніца, якія сфармулявалі асн. палажэнні Д.з. і паказалі ўзаемна адваротны характар аперацый дыферэнцавання і інтэгравання. Выклікала з’яўленне новых галін матэматыкі: тэорыі шэрагаў, дыферэнцыяльнай геаметрыі, дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйнага злічэння. Грунтуецца на паняццях: рэчаісны лік, функцыя, ліміт, бясконца малая, неперарыўнасць і інш., якія атрымалі сучасны змест у ходзе развіцця і абгрунтавання аналізу бясконца малых; цэнтральныя паняцці Д.з. — вытворная і дыферэнцыял — і распрацаваны ў Д.з. апарат, які звязаны з імі, даюць сродкі даследавання функцый (у т. л. некалькіх пераменных), лакальна падобных на лінейныя функцыі або паліномы. Асн. дастасаванні Д.з. звязаны з даследаваннем функцый з дапамогай вытворных: знаходзіць выпукласць і ўвагнутасць графіка функцыі, прамежкі нарастання і спадання функцый, іх найбольшае і найменшае значэнне (гл. Экстрэмум), пункты перагіну і асімптоты, а таксама розныя ліміты функцый (напр., віду 0/0, ∞/∞ ; гл. Нявызначаны выраз), якія не паддаюцца вылічэнню інш. метадамі. Метады Д.з. маюць шматлікія дастасаванні ў даследаваннях актуальных праблем матэматыкі, прыродазнаўчых і тэхн. навук.

Літ.:

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994;

Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1—2. 2 изд. Мн., 1983—84.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 300

ПЛАТО́НАЎ (Уладзімір Пятровіч) (н. 1.12.1939, в. Стайкі Аршанскага р-на Віцебскай вобл.),

бел. матэматык. Акад. Нац. АН Беларусі (1972, чл.-кар. 1969). Акад. Рас. АН (1987). Замежны чл. Індыйскай АН (1993). Д-р фіз.-матэм. н. (1967), праф. (1968). Засл. дз. нав. Беларусі (1982). Скончыў БДУ (1961), дзе і працаваў. У 1971—92 у Ін-це матэматыкі АН Беларусі (з 1977 дырэктар). Адначасова ў 1987—92 прэзідэнт АН Беларусі, у 1988—91 старшыня Камітэта па Дзярж. прэміях Беларусі, у 1987—92 гал. рэдактар часопіса «Даклады АН БССР». З 1991 у Ін-це перспектыўных даследаванняў (Прынстан, ЗША). З 1992 у ЗША, Канадзе. Навук. працы па алгебры, алг. геаметрыі, лінейных групах, тапалагічнай алгебры. Распрацаваў агульны метад даследавання лінейных груп, прыведзеную К-тэорыю. Вырашыў праблемы Кнезера—Тытса, Танака—Арціна, праблему рацыянальнасці для групавых алг. мнагастайнасцей над лакальнымі і глабальнымі палямі. Ленінская прэмія 1978. Прэмія Ленінскага камсамола 1968.

Тв.:

Проблема сильной аппроксимации и гипотеза Кнезера—Титса для алгебраических групп // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1969. Т. 33, № 6;

Проблема Таннака—Артина и приведенная К-теория // Там жа. 1976. Т. 40, № 2;

Алгебраические группы и теория чисел. М., 1991 (разам з А.​С.​Рапінчуком).

Літ.:

В.​П.​Платонов // Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, вып. 3.

т. 12, с. 415

ПУАНКАРЭ́ ((Poincaré) Жуль Анры) (29.4.1854, г. Нансі, Францыя 17.7.1912),

французскі матэматык, фізік і астраном. Чл. Парыжскай АН (1887), Французскай акадэміі (1909). Скончыў Політэхн. (1875) і Горную (1879) школы. З 1881 у Парыжскім ун-це (з 1886 праф.), адначасова з 1893 чл. Бюро даўгот. Навук. працы па тэорыі лікаў, алгебры, тапалогіі, тэорыях функцый, дыферэнцыяльных ураўненняў і імавернасцей, матэм. і тэарэт. фізіцы, нябеснай механіцы і касмагоніі, метадалогіі навук. пазнання. Пабудаваў якасную тэорыю дыферэнцыяльных ураўненняў, распрацаваў тэорыю інтэгральных інварыянтаў і інш. Адкрыў аўтаморфныя функцыі ад адной камплекснай пераменнай (1883) і распрацаваў іх тэорыю. Увёў асн. паняцці камбінаторнай тапалогіі, даў уласную інтэрпрэтацыю геаметрыі Лабачэўскага (1882). Вызначыў фігуры важкіх вадкасцей пры іх вярчэнні ва ўласным гравітацыйным полі, даказаў існаванне фігур раўнавагі, адрозных ад эліпсоіда-, кольца- і грушападобных і даследаваў іх устойлівасць. Незалежна ад А.Эйнштэйна развіў матэм. асновы спец. тэорыі адноснасці, увёў тэрмін «Лорэнца пераўтварэнні». Даследаваў праблемы цеплаправоднасці, электрамагнетызму, оптыкі, тэорыі пругкасці, тэорыі патэнцыялу. Залаты медаль Каралеўскага астр. т-ва (1900). Імем П. названы кратэр на адваротным баку Месяца.

Тв.:

Рус. пер. — О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.; Л., 1947;

Лекции по небесной механике. М., 1965;

Избр. труды. Т. 1—3. М., 1971—74;

О науке. 2 изд. М., 1990.

Літ.:

Тяпкин А.А., Шибанов А.С. Пуанкаре. 2 изд. М., 1982.

М.​М.​Касцюковіч.

т. 13, с. 113