Verbum

ГРУ́ПА,

адно з асноўных паняццяў сучаснай матэматыкі, выкарыстоўваецца таксама ў фізіцы і інш. навуках пры вывучэнні ўласцівасцей сіметрыі. Узнікненне выклікана неабходнасцю выконваць пэўныя дзеянні (складанне, множанне) не толькі над лікамі, але і над вектарамі, мноствамі, матрыцамі, пераўтварэннямі і інш. матэм. аб’ектамі. Паняцце групы пачало фарміравацца ў канцы 18 — пач. 19 ст. незалежна ў алгебры ў выглядзе канечных груп падстановак пры рашэнні алг. ураўненняў у радыкалах (Ж.Лагранж, Н.Абель, Э.Галуа; апошні прапанаваў і тэрмін «група»), у геаметрыі пры з’яўленні неэўклідавых геаметрый і ў праектыўнай геаметрыі, а таксама ў тэорыі лікаў (Л.Эйлер, К.Гаўс) пры вывучэнні параўнанняў і класаў рэштаў.

Групай наз. непустая сукупнасць элементаў (мноства) G, на якой зададзена алг. аперацыя *, што задавальняе ўмовам: аперацыя асацыятыўная a*(b*c)=(a*b)*c для ўсіх a*b*c з G; для любога элемента a з G існуе нейтральны элемент n, для якога a*n=n*a=a; для любога элемента a з G існуе адваротны элемент x, для якога a*x=x*a=n. Напр., мноства ўсіх цэлых лікаў адносна аперацыі складання; сукупнасць падстановак мноства X, калі пад здабыткам 2 падстановак разумець вынік іх паслядоўнага выканання для любога x з X. Частка элементаў групы G, што сама ўтварае групу адносна групавой аперацыі ў G, наз. падгрупай (напр., мноства ўсіх цотных лікаў — падгрупа групы цэлых лікаў). Група наз. канечнай (бясконцай), калі мноства G мае канечную (бясконцую) колькасць элементаў. Гл. таксама Груп тэорыя.

Р.​Т.​Вальвачоў.

т. 5, с. 466

ПЕРАЎТВАРЭ́ННЕ ў матэматыцы, узаемна адназначнае адлюстраванне непустога мноства ў сябе. Часам (асабліва ў матэм. аналізе і геаметрыі) П. наз. адлюстраванне, якое пераводзіць адно мноства ў другое, напр., Лапласа пераўтварэнне, Фур’е пераўтварэнне.

Сукупнасць абарачальных П. мноства ўтварае групу. Напр., у геаметрыі з кожнай фігурай на плоскасці звязана група яе сіметрый, г. зн. група рухаў, якія пераводзяць гэтую фігуру ў сябе. Разглядаюцца таксама групы паваротаў плоскасці вакол некаторага пункта, перамяшчэнняў, паралельных пераносаў, афінных П. і інш. Кожная група П. захоўвае некаторыя ўласцівасці фігур нязменнымі (інварыянтнымі) і вызначае адпаведныя ўласцівасці геам. фігур. Напр., пры афінных П. паралельныя прамыя пераходзяць у паралельныя прамыя, сярэдзіна адрэзка — у сярэдзіну адрэзка, г. зн. паралельнасць прамых і сярэдзіна адрэзка — інварыянты афінных П. Гл. таксама Артаганальнае пераўтварэнне, Геаметрычныя пераўтварэнні, Праектыўная геаметрыя.

А.​А.​Гусак.

т. 12, с. 290

АЛГЕБРАІ́ЧНЫ ЛІК,

корань мнагаскладу ${\displaystyle \mathrm{P(x)}={\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+\text{...}+{\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{a}}_0}$ з рацыянальнымі каэфіцыентамі a_n, з якіх не ўсе роўныя 0; у агульным выпадку можа быць камплексным лікам. Г.Кантар (1872) паказаў, што мноства ўсіх алгебраічных лікаў злічонае і таму існуюць неалг. лікі (гл. Трансцэндэнтны лік), напр., $\sqrt{2}$, π і інш. Мноства ўсіх алгебраічных лікаў — алгебраічна замкнёнае поле (напр., адвольны корань мнагаскладу з алг. каэфіцыентамі таксама алгебраічны лік).

В.​І.​Бернік.

т. 1, с. 235