Verbum

ВЫЛІЧА́ЛЬНАЯ МАТЭМА́ТЫКА,

раздзел матэматыкі, у якім распрацоўваюцца і даследуюцца метады лікавага рашэння матэм. задач. Метады вылічальнай матэматыкі прыбліжаныя, падзяляюцца на аналітычныя (даюць прыбліжаныя рашэнні ў выглядзе аналітычнага выразу) і лікавыя (у выглядзе табліцы лікаў).

Узнікненне вылічальнай матэматыкі звязана з неабходнасцю рашэння асобных задач (вымярэнне адлегласцей, плошчаў, аб’ёмаў і інш.). Развіццё навукі, асабліва астраноміі і механікі, спрыяла развіццю матэматыкі ўвогуле і вылічальнай матэматыкі ў прыватнасці. Складаліся табліцы эмпірычна знойдзеных залежнасцей, што прывяло да ўзнікнення паняцця функцыі і задачы інтэрпалявання (гл. Інтэрпаляцыя). Поспехі вылічальнай матэматыкі звязаны з імёнамі І.​Ньютана, Л.​Эйлера, М.​І.​Лабачэўскага, К.​Ф.​Гаўса, П.​Л.​Чабышова, С.​А.​Чаплыгіна, А.​М.​Крылова, А.​М.​Ціханава, А.​А.​Самарскага, У.​І.​Крылова, Л.​В.​Кантаровіча і інш. Многія задачы вылічальнай матэматыкі можна запісаць у выглядзе y=Ax, дзе x і y належаць зададзеным мноствам X і Y, A — некаторы аператар. Для рашэння задачы трэба знайсці у па зададзеным х ці наадварот. У вылічальнай матэматыцы гэта задача рашаецца заменай мностваў X, Y і аператара A (ці толькі некаторых з іх) іншымі, зручнымі для вылічэнняў. Замена робіцца так, каб рашэнне новай задачы y=Bx было ў нейкім сэнсе блізкім да рашэння першапачатковай задачы. Напр., калі ў якасці Ax узяць інтэграл ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}x\text{(}t\text{)}dt}$ , то прыбліжанае значэнне яго ў многіх выпадках можна вылічыць паводле т.зв. квадратурнай формулы ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}x\text{(}t\text{)}dt\approx {\sum }_{k-1}^n{A}_{k}x\text{(}{t}_k\text{)}}$ , дзе $A_k$ і $t_k$ — некаторыя фіксаваныя лікі. Гэта адна з класічных задач вылічальнай матэматыкі. Пры рашэнні яе, асабліва ў выпадку кратнага (шматразовага) і кантынуальнага інтэгравання, карыстаюцца Монтэ-Карла метадам. Прынцыповае значэнне ў вылічальнай матэматыцы належыць тэорыі прыбліжэння функцый, якая адыгрывае і агульнаматэм. ролю. Адна з характэрных задач прыбліжэння функцый — задача інтэрпалявання, г.зн. пабудова для зададзенай функцыі $𝑓\text{(}t\text{)}$ прыбліжанай функцыі ${𝑓}_n\text{(}t\text{)}$, якая супадае з $𝑓\text{(}t\text{)}$ у фіксаваных вузлах t₁, t₂, ..., t_n. У тэорыі прыбліжэння функцый сапраўднага (а пазней і камплекснага) пераменнага распрацоўваліся метады прыбліжэння функцый аднаго класа функцыямі інш. класаў, а таксама вывучаліся пытанні збежнасці і ацэнак прыбліжэнняў. Найб. пашыраныя задачы вылічальнай матэматыкі — задачы алгебры [рашэнне сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, вылічэнне вызначнікаў (дэтэрмінантаў) і адваротных матрыц, знаходжанне ўласных вектараў і ўласных значэнняў матрыц, вызначэнне каранёў мнагачленаў]. У задачы прыбліжанага рашэння сістэмы лінейных ураўненняў A_x=b, дзе A — квадратная матрыца, x і b — вектары-калонкі, часта выкарыстоўваюцца ітэрацыйныя метады. Многія ітэрацыйныя метады рашэння гэтай сістэмы маюць выгляд ${\displaystyle x^k=x^{k-1}+B_k\text{(}b-A{x}^{k-1}\text{)}}$ , дзе ${\displaystyle B_k\text{(}k=\mathrm{1,\; 2,\; ...}\text{)}}$ — некаторая паслядоўнасць матрыц, x° — пачатковае прыбліжэнне, часам адвольнае. Розны выбар матрыц B_k дае розныя ітэрацыйныя працэсы. Значную частку вылічальнай матэматыкі складаюць прыбліжаныя і лікавыя метады рашэння звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў, дыферэнцыяльных ураўненняў у частковых вытворных, інтэгральных ураўненняў, інтэгра-дыферэнцыяльных ураўненняў, вылічальныя метады варыяцыйнага злічэння, аптымальнага кіравання, задач стахастычнага аналізу і інш. З’яўленне вылічальных машын значна расшырыла кола задач і стымулявала далейшую распрацоўку метадаў вылічальнай матэматыкі з улікам магчымасцей вылічальных машын, у прыватнасці распрацоўкі спец. алгарытмаў, арыентаваных на паралельную рэалізацыю.

На Беларусі даследаванні па ўсіх асн. кірунках вылічальнай матэматыкі і падрыхтоўкі навук. кадраў пачаліся з 1950-х г. у АН і БДУ пад кіраўніцтвам акад. У.​І.​Крылова; асобныя пытанні вылічальнай матэматыкі распрацоўваліся і раней.

Літ.:

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. 3 изд. М., 1966;

Т. 2. 2 изд. М., 1962;

Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. 5 изд. М.; Л., 1962;

Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2 изд. М., 1967;

Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Мн., 1968;

Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Мн., 1968;

Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 2 изд. М.; Л., 1963;

Янович Л.А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. Мн., 1976.

Л.​А.​Яновіч.

т. 4, с. 311

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы m радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Лзобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.​С.​Багданаў, М.​А.​Ізобаў.

т. 6, с. 301

НЕТРАДЫЦЫ́ЙНЫЯ КРЫНІ́ЦЫ ЭНЕ́РГІІ,

узнаўляльныя крыніцы энергіі, якія не адносяцца да найб. пашыраных традыц. крыніц энергіі: цеплавых, атамных і гідраўлічных (акрамя зусім малых) электрастанцый. Н.к.э. звычайна лічаць энергію сонца, ветру, малых рэк і вадасховішчаў, біямасы, сціснутага прыроднага газу.

Геліяэнергетыка грунтуецца на выкарыстанні сонечнай радыяцыі. Існуюць розныя спосабы пераўтварэння сонечнай энергіі (цеплавы, фота- і тэрмаэлектрычны, тэрмаэмісійны) у геліяўстаноўках (гл. таксама Геліятэхніка). Найб. пашыраны выпуск і выкарыстанне геліяэнергет. абсталявання ў Швецыі, Вялікабрытаніі, Германіі. Ветразнергетыка займаецца пераўтварэннем энергіі ветру ў эл., мех. і цеплавую энергію з дапамогай ветраэнергетычных установак (ВЭУ). Яе асновай з’яўляюцца ветраэлектрычныя станцыі Найб. развіта ў ЗША, ФРГ, Індыі, Даніі. Магутнасць традыц. лопасцевых ВЭУ, што падключаны да энергасетак свету, перавышае 6000 МВт (1996). Малая гідраэнергетыка выкарыстоўвае мех. энергію воднага патоку малых рэк і вадасховішчаў пераважна для выпрацоўкі электраэнергіі (гл. Гідраэнергетыка). Будуюцца пераважна нізканапорныя гідраэлектрычныя станцыі (мікрагэс) з гідраагрэгатамі малой магутнасці. Энергія біямасы (драўніны, мясц. відаў паліва, адходаў вытв-сці і бытавых, біягазу жывёлагадоўчых комплексаў і птушкафабрык) пераўтвараецца з дапамогай катлоў у цяпло (ідзе на цеплазабеспячэнне. вытв. патрэбы), з дапамогай газагенератараў — у гаручы газ (выкарыстоўваецца як паліва ў прамысл. пячах і інш.). Тэхналогія газіфікацыі цвёрдых быт. адходаў найб. дасканала распрацавана ў ФРГ, Японіі і інш. Энергія сціснутага прыроднага газу пры яго рэдуцыраванні на газаразмеркавальных станцыях ад 30—50 атм. да ціску 3—12 атм, пад якім газ падаецца спажыўцам, можа выкарыстоўвацца для выпрацоўкі электраэнергіі з дапамогай газарасшыральных турбін. Напр., на адной з ЦЭЦ «Мосэнерга» (Расія) укараненне энергакомплексаў з турбінамі ГНПГІ «Турбагаз» дало магчымасць на кожны 1 МВт устаноўленай магутнасці дадаткова атрымліваць 8 млн. кВт гадз электраэнергіі за год.

На Беларусі найб. спрыяльны перыяд выкарыстання геліясістэм красавік—верасень, калі з 1 м² геліякалектара можна атрымаць за суткі 90 л вады з т-рай 55—60 °C. У НВА «Белсельгасмеханізацыя» распрацаваны шэраг геліяпадагравальнікаў вытв. і быт. прызначэння, у Акад. навук. комплексе «Ін-т цепла- і масаабмену» — геліякалектары з алюмінію. у Ін-це праблем энергетыкі Нац. АН даследуецца эфектыўнасць энергазберажэння пры выкарыстанні такіх геліясістэм для гарачага водазабеспячэння. Даследаванні ветраэнергет. патэнцыялу выявілі 1800 пляцовак са спрыяльнымі ветравымі патокамі (сярэднегадавая скорасць ветру 4,7—6.1 м/с). На іх перспектыўнае выкарыстанне аўтаномных ВЭУ і ветрапомпавых установак магутнасцю да 30 кВт (пераважна с.-г. прызначэння). Распрацоўваецца ветрарухавік новага тыпу — з камбінаванымі цыліндрамі замест лопасцей для работы пры нізкіх скарасцях ветру. Спраектавана і пабудавана (1998) доследна-прамысл. ВЭУ магутнасцю 60—110 кВт для характэрных на Беларусі скарасцей ветру, распрацоўваецца ротарная ВЭУ магутнасцю 250 кВт для скарасцей ветру 2—8 м/с. У малой гідраэнергетыцы найб. спрыяльныя для выкарыстання гідрарэсурсы басейна рэк Дняпро, Зах. Дзвіна, Нёман, Днестр, Вілія, Прыпяць, Зах. Буг, а таксама малых рэк і створаў у паўн. і ўсх. ч. краіны. Буд-ва ГЭС мэтазгодна на буйных (аб’ём больш за 1 млн. м³) вадасховішчах. На Вілейскім вадасховішчы працуе 1-ы блок Вілейскай ГЭС магутнасцю 1 МВт (з 1998). Магутнасць такіх ГЭС на 17 буйных вадасховішчах можа дасягнуць 6 МВт, магутнасць мікрагэс на водагасп. і меліярац. сістэмах — 1 МВт. З біямасы найб. значныя аб’ёмы драўніны (за год у катлах яе спальваюць 1—1.5 млн. м³). Асвоены выпуск газагенератараў магутнасцю 30—200 кВт для перапрацоўкі драўнінных адходаў і нізкагатунковых відаў мясц. паліва. Высокаэфектыўныя катлы выпускаюць Гомельскі з-д «Камунальнік» і Бешанковіцкі «Котламаш». Біягазу ад 275 жывёлагадоўчых комплексаў і 66 птушкафабрык краіны можна атрымліваць 1,7 млрд. м³, ад перапрацоўкі цвёрдых быт. адходаў — больш за 350 млн. м³ за год. Ўкараненне энергакомплексаў з газарасшыральнымі турбінамі на газаразмеркавальных станцыях (іх у рэспубліцы 130) можа даць электраэнергіі магутнасцю больш за 30 МВт.

Ю.​Дз.​Ільюхін, У.​М.​Сацута.

т. 11, с. 301