Verbum

ІНТЭГРА́ЛЬНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, які вывучае ўласцівасці, спосабы вылічэння і дастасаванні інтэгралаў. Асн. паняцці: нявызначаны інтэграл і вызначаны інтэграл. Разам з дыферэнцыяльным злічэннем складае курс матэм. аналізу (ці аналізу бясконца малых).

І.з. ўзнікла з задач на вызначэнне плошчаў і аб’ёмаў. Найб. блізка да сучаснага разумення інтэгравання падышоў Архімед (3 ст. да н.э.). Стваральнікі І.з. І.Ньютан і Г.Лейбніц незалежна адзін ад аднаго пабудавалі інтэгральнае і дыферэнцыяльнае злічэнні і ўстанавілі іх узаемную абарачальнасць. Далейшае развіццё І.з. звязана з працамі Л.​Эйлера, А.​Кашы, Б.​Рымана, А.​Лебега, Т.​І.​Стылцьеса, А.​М.​Калмагорава і інш. Вылічэнне інтэгралаў (гл. Інтэграванне) толькі ў рэдкіх выпадках выконваецца непасрэдна па формулах (напр., шляхам абарачэння формул дыферэнцавання) — некат. інтэгралы нават ад параўнальна простых функцый нельга выразіць праз элементарныя, напр., інтэграл імавернасці. І.з. служыць крыніцай узнікнення новых (трансцэндэнтных) функцый (інтэгральнага сінуса, інтэгральнага лагарыфма і інш.). Для такіх функцый створаны табліцы значэнняў. Гл. таксама Графічныя вылічэнні, Набліжанае інтэграванне, Лікавыя метады.

А.​А.​Гусак.

т. 7, с. 280

ІНТЭГРА́ЛЬНАЕ ЎРАЎНЕ́ННЕ,

ураўненне, якое звязвае шуканую функцыю і інтэграл ад яе. Да І.ў. зводзяцца шматлікія задачы фізікі, краявыя задачы, задачы на адшуканне ўласных значэнняў дыферэнцыяльных ураўненняў і інш.

Тэорыя І.ў. зарадзілася ў канцы 19 — пач. 20 ст. ў нетрах тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў і матэм. фізікі пасля прац матэматыкаў італьян. В.​Вальтэра (1896), швед. Э.​Фрэдгальма (1903), ням. Д.​Гільберта (1912) і Э.​Шміта (1907). Яна стымулявала развіццё функцыянальнага аналізу і тэорыі аператараў у абстрактных прасторах. Адрозніваюць І.ў. рэгулярныя (з інтэграламі Рымана ці Лебега) і сінгулярныя (з няўласнымі інтэграламі розных тыпаў), лінейныя і нелінейныя. Найб. вывучаны лінейныя І.ў., напр., ураўненні Фрэдгальма $a\text{(}t\text{)}u\text{(}t\text{)}+\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}k\text{(}t,s\text{)}u\text{(}s\text{)}ds=𝑓\text{(}t\text{)}$ , дзе u(t) — шуканая, a(t), k(t,s) (ядро) і f(t) — зададзеныя функцыі, Ω — вобласць эўклідавай прасторы аднаго або многіх вымярэнняў; калі a(t) = 0, дадзенае ўраўненне наз. ўраўненнем 1-га роду, калі a(t) = 1—2-га, у астатніх выпадках — 3-га. Пры замене інтэграла на інтэгральную суму (гл. Вызначаны інтэграл) атрымліваецца сістэма алг. ураўненняў, для якой вядомыя ўмовы вырашальнасці. Важнымі класамі нелінейных І.ў. з’яўляюцца ўраўненні Ляпунова—Шміта, Урысона і інш Разглядаюцца таксама сістэмы І.ў., а таксама І.ў. з вектар-функцыямі розных тыпаў, выпадковымі працэсамі і інш. Рашэнні ўраўненняў часта знаходзяць лікавымі метадамі.

На Беларусі даследаванні па тэорыі І.ў. пачаты ў 1961 пад кіраўніцтвам Ф.​Дз.Гахава (сінгулярныя ўраўненні) і праводзяцца ў БДУ, Ін-це матэматыкі Нац. АН і інш.

П.​П.​Забрэйка.

т. 7, с. 280

ВЫШЭ́ЙШАЯ МАТЭМА́ТЫКА,

назва сукупнасці матэм. дысцыплін, якія вывучаюцца ў тэхнічных і некаторых інш. навуч. установах і звычайна ўключаюць аналітычную геаметрыю, лінейную алгебру, дыферэнцыяльнае злічэнне, інтэгральнае злічэнне і некаторыя інш. спец. матэм. дысцыпліны.

т. 4, с. 333

КВАДРАТУ́РА (ад лац. quadratura наданне квадратнай формы),

1) значэнне плошчы дадзенай фігуры, выражанае ў квадратных адзінках.

2) Пабудаванне квадрата, роўнавялікага (па плошчы) дадзенай фігуры.

3) Вылічэнне плошчы або інтэграла (гл. Інтэгральнае злічэнне).

т. 8, с. 205

АЛЬБЕ́ДА (ад лац. albus светлы),

велічыня, якая характарызуе адбівальную здольнасць паверхні цела. Вымяраецца адносінамі колькасці адбітага паверхняй святла да колькасці святла, якое падае на яе. Выражаецца ў працэнтах ці долях адзінкі. Альбеда натуральных паверхняў вымяраецца альбедаметрам, вывучаецца актынаметрыяй. Характарызуе адбівальную здольнасць нябеснага цела, якое само не свеціцца.

Адрозніваюць інтэгральнае альбеда — для ўсяго патоку выпрамянення, монахраматычнае — для пэўнай даўжыні хваляў, спектральнае — для розных участкаў спектра (ультрафіялетавае, бачнае, інфрачырв. і інш.). Інтэгральнае альбеда планеты Зямля (з атмасферай) каля 35%, у бачнай частцы спектра 40%. Залежыць ад геагр. шыраты, пары года, часу сутак, стану расліннага покрыва, воднай паверхні і інш. Альбеда вільготнай глебы 5—10%, лесу 5—20%, травянога покрыва 20—25%. свежага снегу 70—90%. Ад велічыні альбеда залежыць радыяцыйны баланс паверхні Зямлі.

М.​А.​Гольберг.

т. 1, с. 272

БЕСКАНЕ́ЧНА МАЛА́Я ў матэматыцы,

пераменная велічыня, што ў зададзеным працэсе становіцца і застаецца па абсалютнай велічыні меншай за любы папярэдне зададзены лік (мяжой з’яўляецца 0); адваротная да бесканечна вялікай. Калі x — бесканечна малая, то скарочана запісваюць lim x = 0 або x → 0. У матэм. аналізе важныя адносіны бесканечна малых адна да адной і іх сума пры неабмежаванай колькасці складаемых. Гл. таксама Дыферэнцыяльнае злічэнне, Інтэгральнае злічэнне.

т. 3, с. 127

КРА́ТНЫ ІНТЭГРА́Л,

інтэграл ад функцыі, зададзенай у якой-н. вобласці на плоскасці, 3- ці n-мернай прасторы. Адрозніваюць двайныя, трайныя і n-кратныя інтэгралы. Мае шэраг уласцівасцей, аналагічных уласцівасцям простых інтэгралаў (гл. Інтэграл, Інтэгральнае злічэнне). Для вылічэння К.і. яго зводзяць да паўторнага інтэграла (паслядоўна вылічваюць інтэгралы ад кожнай пераменнай, пры гэтым астатнія пераменныя ўмоўна лічацца пастаяннымі); у спец. выпадках карыстаюцца Грына формуламі, Астраградскага формулай, Стокса формулай. Да К.і. зводзяцца задачы вылічэння аб’ёмаў цел, іх масы, моманту інерцыі і інш.

А.​А.​Гусак.

т. 8, с. 465

АНА́ЛІЗ МАТЭМАТЫ́ЧНЫ,

сукупнасць раздзелаў матэматыкі, якія даследуюць функцыі метадамі бесканечна малых. У сістэм. форме ўзнік у 17—18 ст. у працах І.​Ньютана, Г.​Лейбніца, Л.​Эйлера і інш. Абгрунтаванне аналізу матэматычнага пры дапамозе паняцця ліміту належыць А.​Кашы. Уключае раздзелы: дыферэнцыяльнае злічэнне, інтэгральнае злічэнне, функцый тэорыю, тэорыю шэрагаў (ступенны шэраг і Фур’е шэраг), дыферэнцыяльную геаметрыю, функцыянальны аналіз і інш.

Літ.:

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1—2. 7 изд. М., 1970;

Т. 3. 5 изд. М., 1970;

Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1—2. 4 изд. М 1990—91.

т. 1, с. 333