Verbum

ступенны шэраг

т. 15, с. 223

БІНАМІЯ́ЛЬНЫ ШЭ́РАГ,

бесканечны ступенны шэраг, які з’яўляецца абагульненнем Ньютана бінома на выпадак дробавых і адмоўных паказчыкаў ступені: ${\displaystyle {\text{(}1+\mathrm{x}\text{)}}^{\mathrm{\alpha }}=1+\mathrm{\alpha }\mathrm{x}+\text{...}+\mathrm{C}\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{m}}{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}+\text{...}}$ , дзе $\mathrm{C}\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{m}}{\mathrm{\alpha }}$ — бінаміяльныя каэфіцыенты. Бінаміяльны шэраг збежны: пры $\mathrm{-1}<\mathrm{x}<1$, калі $\mathrm{\alpha }<\mathrm{-1}$; пры $\mathrm{-1}<\mathrm{x}<1$, калі $\mathrm{-1}<\mathrm{m}<0$; пры $\mathrm{-1}\le \mathrm{x}\le 1$, калі $\mathrm{\alpha }>0$. Лічаць, што ўпершыню бінаміяльны шэраг уведзены І.Ньютанам (1664—65). Даследаванне збежнасці бінаміяльнага шэрагу праведзена Н.Абелем (1826).

т. 3, с. 154

АНА́ЛІЗ МАТЭМАТЫ́ЧНЫ,

сукупнасць раздзелаў матэматыкі, якія даследуюць функцыі метадамі бесканечна малых. У сістэм. форме ўзнік у 17—18 ст. у працах І.Ньютана, Г.Лейбніца, Л.Эйлера і інш. Абгрунтаванне аналізу матэматычнага пры дапамозе паняцця ліміту належыць А.Кашы. Уключае раздзелы: дыферэнцыяльнае злічэнне, інтэгральнае злічэнне, функцый тэорыю, тэорыю шэрагаў (ступенны шэраг і Фур’е шэраг), дыферэнцыяльную геаметрыю, функцыянальны аналіз і інш.

Літ.:

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1—2. 7 изд. М., 1970;

Т. 3. 5 изд. М., 1970;

Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1—2. 4 изд. М 1990—91.

т. 1, с. 333

ГВІ́ДА д’АРЭ́ЦА, Гвіда Арэцінскі (Guido d’Arezzo; каля 992, г. Арэца, Італія — 17.5.1050?),

італьянскі муз. тэарэтык; адзін з рэфарматараў у галіне муз. практыкі сярэдневякоўя. Адукацыю атрымаў у манастыры Пампоза (каля г. Ферара). Каля 1025 стаў манахам бенедыкцінскага манастыра ў г. Арэца (вобл. Таскана), кіраваў дзіцячым хорам кафедральнай школы. Увёў у карыстанне 4-лінейны нотны стан, чым заклаў асновы сучаснай натацыі. Тэарэтычна абгрунтаваў сістэму гексахорда (6-ступенны дыятанічны гукарад) — аснову сальмізацыі, што палегчыла спевакам дакладнае выкананне нотнага запісу. З 1952 у г. Арэца праводзяць Міжнар. конкурс хар. калектываў імя Г. д’А. («Паліфоніка»).

т. 5, с. 103

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы т радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Лзобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.С.Багданаў, М.А.Ізобаў.

т. 6, с. 301