Verbum

РЫ́МАНА ІНТЭГРА́Л,

абагульненне паняцця Кашы інтэграла на некаторы клас разрыўных функцый. Уведзены Г.Ф.Б.Рыманам (1853; апублікавана 1868). Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці дадзенай разрыўной функцыі ў сэнсе Рымана: інтэрвал інтэгравання канечны, функцыя на ім абмежаваная і мноства пунктаў разрыву функцыі на гэтым інтэрвале мае лебегаўскую меру нуль (гл. Мера мноства).

т. 13, с. 508

РЫ́МАНА ГЕАМЕ́ТРЫЯ, эліптычная геаметрыя,

геаметрычная тэорыя, заснаваная на аксіёмах, патрабаванні якіх адрозныя ад патрабаванняў эўклідавай геаметрыі; адна з неэўклідавых геаметрый. Першае паведамленне аб Р.г. зроблена Г.Ф.Б.Рыманам у 1854 (апублікавана ў 1867).

Уласцівасці Р.г. — прамая не падзяляе плоскасць на 2 часткі (любыя 2 пункты плоскасці можна злучыць неперарыўнай крывой, якая ляжыць на плоскасці і не перасякае дадзеную прамую), сума вуглоў трохвугольніка большая за π і інш. Асн. аб’екты (элементы) трохмернай Р.г. — пункты, прамыя і плоскасці; асн. паняцці Р.г. — паняцці прыналежнасці (пункты прамой, пункты плоскасці), парадку (напр., пунктаў на прамой, прамых, што праходзяць праз зададзены пункт у дадзенай плоскасці) і кангруэнтнасці фігур. Патрабаванні прыналежнасці і парадку Р.г. супадаюць з патрабаваннямі аксіём праектыўнай геаметрыі. Р.г. адрозніваецца ад праектыўнай геаметрыі тым, што разглядае кангруэнтнасць фігур і вымярэнне геам. велічынь (даўжынь, вуглоў, плошчаў, аб’ёмаў).

У дачыненні да кангруэнтнасці патрабаванні аксіём Р.г. падобныя на патрабаванні адпаведных аксіём эўклідавай геаметрыі. Метрычныя ўласцівасці рыманавай плоскасці «ў малым» супадаюць з метрычнымі ўласцівасцямі звычайнай сферы. Мадэль плоскасці Рымана можна атрымаць «атаясамліваннем» дыяметральна процілеглых пунктаў звычайнай сферы (такія пункты разглядаюцца як 1 аб’ект — «пункт») і вял. кругоў сферы — як «прамых». Метрычныя ўласцівасці трохмернай прасторы Рымана «ў малым» супадаюць з метрычнымі ўласцівасцямі трохмернай сферы чатырохмернай эўклідавай прасторы.

В.​І.​Бернік.

т. 13, с. 508

КАШЫ́—РЫ́МАНА ЎРАЎНЕ́ННІ ў тэорыі аналітычных функцый,

дыферэнцыяльныя ўраўненні з частковымі вытворнымі 1-га парадку, якія звязваюць сапраўдную і ўяўную часткі аналітычнай функцыі w = u + iv камплекснай пераменнай z = x + iy: du/dx = dv/dy, du/dy = −dv/dx. Маюць важнае значэнне ў тэорыі аналітычных функцый і яе дастасаванняў у механіцы і фізіцы. Названы ў гонар А.Кашы і Б.Рымана.

т. 8, с. 202

ДА́ЛЬГАЎЗ ((Dahlhaus) Карл) (10.6.1928, г. Гановер, Германія — 1989),

нямецкі музыказнавец. Праф. (1967). Прэзідэнт Т-ва муз. даследаванняў у Каселі (з 1977). Кіраваў выданнем поўнага збору твораў Р.​Вагнера, супрацоўнік і кансультант 3-га (1967) і рэдактар 2 дадатковых (1972—73) тамоў муз. слоўніка Г.​Рымана, аўтар-складальнік (з Г.​Г.​Эгебрэхтам) 2-томнага муз. слоўніка Бракгаўза-Рымана (1978—79), рэд. серыі «Новы даведнік музычнай навукі» (1980), аўтар кн. «Збор нарысаў па новай музыцы» (1978), «Музычны рэалізм» (1982), «Музычная тэорыя ў 18 і 19 ст» (1984), «Што такое музыка?» (1985, з Эгебрэхтам).

т. 6, с. 22

РЫ́МАНАВА ПРАСТО́РА,

прастора, у малых абласцях якой набліжана (з дакладнасцю да малых вышэйшых парадкаў параўнальна з памерамі абласцей) мае месца эўклідава геаметрыя, аднак у цэлым гэтая прастора можа не быць эўклідавай. Кожны элемент такой прасторы вызначаецца з дапамогай упарадкаванай сукупнасці лікаў, а адлегласць паміж бясконца блізкімі элементамі — з дапамогай пэўнай квадратычнай формы, у залежнасці ад выбару каэфіцыентаў якой Р.п. пераўтвараецца ў эўклідаву прастору ці прастору Лабачэўскага геаметрыі, Рымана геаметрыі ці інш. неэўклідавай геаметрыі. Прасцейшыя Р.п. — эўклідава прастора, да якой прымыкаюць прасторы пастаяннай крывізны, дзе мае месца геаметрыя Лабачэўскага і геаметрыя Рымана. Гл. таксама Дыферэнцыяльная геаметрыя.

т. 13, с. 508

РЫ́МАН ((Riemann) Георг Фрыдрых Бернхаі) (17.9.1826, г. Даненберг, Германія — 20.7.1866),

нямецкі матэматык. Вучыўся ў Гётынгенскім (1846) і Берлінскім (1847—49) ун-тах. З 1849 у Гётынгенскім ун-це (з 1857 праф.). Навук. працы па тэорыі функцый камплекснай пераменнай, тэорыі лікаў, матэм. аналізе, матэм. фізіцы і геаметрыі. Заклаў асновы геам. кірунку ў тэорыі аналітычных функцый, увёў т.зв. рыманавы паверхні, займаўся пытаннямі размеркавання простых лікаў, распрацаваў тэорыю канформных адлюстраванняў, заклаў асновы тапалогіі, даследаваў раскладальнасць функцый у трыганаметрычныя шэрагі, сфармуляваў неабходныя і дастатковыя ўмовы існавання вызначанага інтэграла (гл. Рымана інтэграл). Стварыў тэорыю абагульненых рыманавых прастор (рыманава геаметрыя), асобныя выпадкі якой — эўклідава геаметрыя, Лабачэўскага геаметрыя, Рымана геаметрыя.

Тв.:

Рус. пер. — Соч. М.; Л., 1948.

Літ.:

Монастырский М.И. Бернхард Риман. М., 1979.

т. 13, с. 508

НЕЭЎКЛІ́ДАВЫ ГЕАМЕ́ТРЫІ,

геаметрычныя тэорыі, у якіх сістэма асн. палажэнняў (аксіём) адрозная ад прынятай у эўклідавай геаметрыі. Грунтуюцца на сістэмах аксіём, якія апісваюць суадносіны паміж асн. абстрактнымі геам. аб’ектамі (пунктамі, прамымі, плоскасцямі). У вузкім сэнсе пад Н.г. разумеюць Лабачэўскага геаметрыю і Рымана геаметрыю.

т. 11, с. 306

КАШЫ́ ІНТЭГРА́Л,

1) вызначаны інтэграл ад неперарыўнай функцыі адной рэчаіснай пераменнай; асобны выпадак Рымана інтэграла. Вызначэнне дадзена А.Кашы ў 1831.

2) Інтэграл з ядром Кашы $\frac{1}{2\mathrm{\pi }\text{(}s-z\text{)}}$ , які выражае значэнні рэгулярнай аналітычнай функцыі 𝑓(z) унутры зададзенага замкнёнага контуру праз яе значэнні на гэтым контуры. Разглядаўся Кашы ў 1831. Абагульненні на выпадак інтэгравання неаналітычных функцый уздоўж не замкнёных контураў наз. інтэграламі тыпу Кашы.

т. 8, с. 202