Verbum

ДЫЯФА́НТАВЫ ЎРАЎНЕ́ННІ,

від алгебраічных ураўненняў ці іх сістэм з цэлымі каэфіцыентамі, у якіх рашэнні шукаюцца ў цэлых або рацыянальных ліках. Названы ў гонар Дыяфанта.

Колькасць невядомых у Д.у. перавышае колькасць ураўненняў (невызначальныя ўраўненні). Д.ў. 1-й ступені ax+by=1 пры ўзаемна простых a і b мае бясконцае мноства рашэнняў. Д.ў. 2-й ступені таксама можа мець бясконцае мноства рашэнняў, напр., ураўненне Пеля x​² − Ay​² = 1 (A>0; A — няпоўны квадрат). Агульная тэорыя Д.у. вышэйшых ступеняў адсутнічае, але даказана невырашальнасць вядомай праблемы Ферма: Д.ў. x​ⁿ + y​ⁿ + z​ⁿ не мае рашэнняў у натуральных ліках x, y, z і n>2 (А.​Вайлс, Р.​Тэйлар, ЗША, 1995).

Літ.:

Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. 4 изд. М., 1983.

В.​І.​Бернік.

т. 6, с. 318

ДЫЯФА́НТАВЫ НАБЛІЖЭ́ННІ,

раздзел лікаў тэорыі, у якім вывучаецца рашэнне ў цэлых ліках лінейных і нелінейных няроўнасцей ці сістэм няроўнасцей з рэчаіснымі каэфіцыентамі. У прыватнасці, вывучаюцца набліжэнні рэчаісных лікаў рацыянальнымі. Названы ў гонар Дыяфанта.

Напр., для адвольнага рэчаіснага ліку α няроўнасць |α − ​^p/_q| < q​⁻² мае бясконца шмат рашэнняў у цэлых ліках p і q (ням. матэматык П.​Дзірыхле), аднак няроўнасць |β − ​^p/_q| < c(β)q​⁻ⁿ пры пэўным значэнні c(β) не мае рашэнняў у алгебраічных ліках β ступені n (франц. матэматык Ж.​Ліувіль). З апошняй тэарэмы вынікае трансцэндэнтнасць лікаў тыпу ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{10}^{-n!}}$ Д.н. маюць шмат дастасаванняў у розных раздзелах матэматыкі. Значны ўклад у развіццё Д.н. зрабілі ням. матэматык Г.​Мінкоўскі, англ. матэматыкі К.​Рот і А.​Бейкер, сав. матэматык А.​В.​Гельфанд, бел. матэматык У.​Г.​Спрынджук.

Літ.:

Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2 изд. М., 1980;

Хинчин А.Я. Цепные дроби. 4 изд. М., 1978.

В.​І.​Бернік.

т. 6, с. 318

ЛІ́КАЎ ТЭО́РЫЯ,

раздзел матэматыкі, які вывучае ўласцівасці цэлых, рацыянальных і алг. лікаў, іх сувязі з інш. лікамі (ірацыянальнымі, трансцэндэнтнымі).

Паняцце цэлага ліку, а таксама арыфм. аперацый над лікамі вядома са стараж. часоў і з’яўляецца адной з першых матэм. абстракцый. Натуральныя лікі распадаюцца на 2 класы: простыя лікі, якія маюць 2 натуральныя дзельнікі (адзінку і самога сябе), і састаўныя лікі — усе астатнія. Уласцівасці простых лікаў і іх сувязь з натуральнымі вывучаў Эўклід (3 ст. да н.э.). Вывучэнне размеркавання простых лікаў прывяло да стварэння алгарытмаў (напр., рэшата Эратасфена) для атрымання табліц такіх лікаў. Пытанні цэлалікавых рашэнняў рознага віду ўраўненняў (гл. Дыяфантавы ўраўненні) разглядалі Эўклід, Піфагор, Дыяфант і інш. Шэраг адкрыццяў у тэорыі дыяфантавых ураўненняў і ў тэорыі, звязанай з падзельнасцю цэлых лікаў належыць П.​Ферма (гл. Ферма вялікая тэарэма, Ферма малая тэарэма). Вывучэнне ірацыянальных лікаў паставіла задачу іх набліжанага вылічэння з дапамогай рацыянальных лікаў, што спрыяла ўзнікненню тэорыі дыяфантавых набліжэнняў. Адкрыццё трансцэндэнтных лікаў вылучыла шэраг праблем пра крытэрыі трансцэндэнтнасці, класіфікацыю трансцэндэнтных велічынь і інш. Вырашэнне праблем Л.т. патрабуе ўдасканалення і стварэння новых матэм. паняццяў, метадаў, напр., імкненне даказаць тэарэму Ферма прывяло ням. матэматыка Э.​Кумера (19 ст.) да стварэння асноў алг. Л.т. (тэорыя ідэалаў), вывучэнне размеркавання простых лікаў спрыяла развіццю тэорыі аналітычных функцый (Б.​Рыман, Ж.​Адамар; 19 ст.). Л.т. цесна звязана з многімі раздзеламі матэматыкі (алгебра, тапалогія, матэм. логіка, тэорыя функцый, тэорыя імавернасцей), што прыводзіць да яе сінтэзу з інш. матэм. навукамі (р-адычныя лікі, лакальны аналіз, тэорыя алг. функцый).

На Беларусі даследаванні па Л.т. пачаты ў 1960-я г. пад кіраўніцтвам У.​Г.​Спрынджука і праводзяцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН, БДУ, Бел. агр. тэхн., Гродзенскім і Магілёўскім ун-тах. Вырашаны шэраг праблем у тэорыі трансцэндэнтных лікаў, метрычнай Л.т., дыяфантавых ураўненнях.

Літ.:

Спринджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М.,1977;

Берник В.И., Мельничук Ю.В. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа. Мн., 1988.

В.​І.​Бернік.

т. 9, с. 257