Verbum

ЗНА́КІ МАТЭМАТЫ́ЧНЫЯ,

умоўныя абазначэнні (сімвалы), якімі карыстаюцца для запісу матэм. паняццяў, суадносін, выкладак і ніш. Напр., выраз «лік тры большы за лік два» з дапамогай З.м. запісваецца як 3 > 2.

Развіццё матэм. сімволікі цесна звязана з агульным развіццём паняццяў і метадаў матэматыкі. Першымі З.м. былі лічбы — знакі для абазначэння лікаў; мяркуюць, што яны папярэднічалі ўзнікненню пісьменнасці. З.м. для абазначэння адвольных велічынь з’явіліся 5—4 ст. да н.э. ў Грэцыі. Напр., плошчы, аб’ёмы, вуглы адлюстроўваліся адрэзкамі, а здабыткі велічынь — прамавугольнікамі, пабудаванымі на такіх адрэзках. У «Асновах» Эўкліда (3 ст. да н.э.) велічыні абазначаюцца дзвюма літарамі — пачатковай і канцавой літарамі адпаведнага адрэзка, а часам і адной. Пачаткі літарнага абазначэння і злічэння ўзніклі ў познаэліністычную эпоху (Дыяфант; верагодна 3 ст.) пры вызваленні алгебры ад геам. формы. Сучасная алг. сімволіка створана ў 14—17 ст.; яе развіццё і ўдасканаленне спрыяла ўзнікненню новых раздзелаў матэматыкі (гл. напр., Аперацыйнае злічэнне, Варыяцыйнае злічэнне, Тэнзарнае злічэнне) і матэм. логікі (Алгебра логікі).

А.​А.​Гусак.

т. 7, с. 99

ДЭТЭРМІНА́НТ, вызначнік, алгебраічны выраз, складзены паводле пэўнага правіла з n​² лікаў, дзе n — парадак дэтэрмінанта. Д. квадратнай матрыцы $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{...}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{...}& \text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{...}& a_{nn}\end{array}\right|$ з n​² элементы a_ik (i — нумар радка, k — нумар калонкі, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n) наз. алг. сума $\sum \pm \begin{array}{cccc}{a}_{1j_1}& a_{2j_2}& \text{...}& a_{n{j}_n}\end{array}$ усіх здабыткаў элементаў гэтай матрыцы, узятых па аднаму з кожнага радка і з кожнай калонкі. Складаемаму a_1j1, a_2j2 ... a_njn прыпісваецца знак «+», калі перастаноўка j₁, j₂, ..., j_n лікаў 1, 2, ... n мае цотную колькасць інверсій, і знак «−», калі колькасць інверсій у ёй няцотная. Напр., Д. 2-га парадку $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ $=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ .

Лічаць, што: радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, калі кожны элемент гэтага радка (калонкі) памнажаецца на α; складваюцца 2 радкі (калонкі) Д., калі складваюцца адпаведныя элементы гэтых радкоў (калонак), якія стаяць у адной калонцы (радку); да i-га радка (калонкі) Д. дадаецца яго k-ы радок (калонка), калі i-ы радок (калонка) замяняецца сумай i-га і k-га радкоў (калонак); робіцца лінейная камбінацыя радкоў (калонак) Д., калі кожны i-ы радок (калонка) множыцца на адвольны лік a_i і складваюцца атрыманыя радкі (калонкі). Д. мае шэраг уласцівасцей, якія аблягчаюць яго вылічэнне: калі элементы a_kj k-га радка Д. d ёсць сумы двух складаемых a_kj = b_j + c_j, то Д. d роўны суме двух Д. d = d₁ + d₂, якія адрозніваюцца ад d толькі k-м радком: b₁, b₂ ..., b_n — k-ы радок Д. d₁, c₁, c₂..., c_n k-ы радок Д. d₂ калі які-н. радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, то і Д. памнажаецца на α; Д. не зменіцца, калі да якога-н. яго радка (калонкі) дадаецца адвольная лінейная камбінацыя інш. радкоў (калонак); для таго, каб Д. быў роўны нулю, неабходна і дастаткова, каб які-н. яго радок (калонка) быў лінейнай камбінацыяй іншых радкоў (калонак). Тэорыя Д. створана ў асноўным у 2-й пал. 18 ст. і 1-й пал. 19 ст. ў працах матэматыкаў: швейц. Г.​Крамера, франц. А.​Вандэрмонда, П.​С.​Лапласа, А.​Кашы, ням. К.​Гаўса і К.​Якобі. Франц. матэматык Ж.​Дзьеданэ ўвёў паняцце Д. матрыцы над целам (мае важнае значэнне для сучаснай алгебры). Шматлікія дастасаванні Д. да розных пытанняў матэматыкі і фізікі, напр. пры рашэнні лінейных ураўненняў.

Літ.:

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 10 изд. М., 1971;

Артин Э. Геометрическая алгебра: Пер. с англ. М., 1969;

Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 1. Мн., 1984.

Р.​І.​Тышкевіч.

т. 6, с. 362

КРЭМЛЬ МАСКО́ЎСКІ,

старажытная частка, гал. грамадска-паліт. і гіст.-маст. комплекс цэнтра Масквы; месцазнаходжанне вышэйшых органаў дзярж. улады Рас. Федэрацыі. Былая рэзідэнцыя маск. вял. князёў (з 14 ст.), цароў (з сярэдзіны 16 ст.), імператараў (месца каранацый і інш. урачыстасцей, з пач. 18 ст.), сав. ўрада (з сак. 1918), з 1991 рэзідэнцыя прэзідэнта Рас. Федэрацыі.

Узнік на Баравіцкім узгорку на левым беразе р. Масква пры ўпадзенні ў яе р. Няглінная. Першапачаткова на тэр. К.М. было паселішча дзякоўскай культуры, не пазней канца 11 ст. тут узнікла ўмацаванае паселішча славян-вяцічаў. У 1156 паводле загаду кн. Ю.​Далгарукага ўзведзены новыя ўмацаванні. У 1339—40 пабудаваны дубовыя сцены і вежы. Пры Дзмітрыю Данскім у 1367 значна пашыраны, сцены і вежы пабудаваны з белага каменю (адсюль выраз «Масква-белакаменная»), у 1485—95 — з цэглы. У 17 ст. вежы набылі ярусныя і шатровыя завяршэнні.

Сучасны К.М. ў плане — няправільны трохвугольнік (пл. 27,5 га), абнесены цаглянымі сценамі (даўж. 2.25 км, таўшчыня 3,5—6,5 м, выш. 5—19 м) з 20 вежамі, у т. л. 6 праезных, гал. — Спаская з гадзіннікам (т.зв. крамлёўскімі курантамі). У цэнтры — Саборная пл. з Успенскім саборам (1475—79, арх. А.​Фіяраванці; размалёўкі 15—16 і 17 ст., Дыянісій, І. і Б. Паісеіны і інш.; калекцыя абразоў 11—17 ст.). Сярод інш. помнікаў стараж.-рус. архітэктуры: саборы Благавешчанскі (1484—89, пскоўскія дойліды, дабудаваны ў 1562—64; іканастас са старога сабора, 1405, з абразамі Андрэя Рублёва, Феафана Грэка, Прохара з Гарадца, размалёўкі 1508, Феадосій і інш.), Архангельскі (1505—08, арх. Алевіз Фразін Новы; размалёўкі 1652—66, майстры Я.​Т.​Казанец, С.​Г.​Разанец, І.​Уладзіміраў і інш.); Гранавітая палата (1487—91), званіца «Іван Вялікі» (3 ярусы 1505—08, арх. Бон-Фразін; у 1600 надбудавана да 81 м, шатровыя прыбудовы 1635); Церамны палац (1635—36, арх. А.​Канстанцінаў, Б.​Агурцоў, Л.​М.​Ушакоў, Т.​Шаруцін) і інш. У 18—19 ст. узведзены будынкі Арсенала (1702—36, арх. Дз.​Іваноў, Х.​Конрад; барока), Сената (1776—87, арх. М.​Ф.​Казакоў; класіцызм), Вял. Крамлёўскі палац (1839—49, арх. К.​А.​Тон і інш.) і Аружэйная палата [цяпер музей; 1844—51, арх. Тон; сярод майстроў выхадцы з Беларусі П.​Абросімаў, Арсеній, С.​Палубес (Іваноў) і інш.; у рус.-візант. стылі]. Пабудовы 20 ст.: Крамлёўскі т-р (1932—34, арх. І.​І.​Рэрберг, рэканструкцыя інтэр’ераў 1958, А.​Ф.​Хракаў, Л.​Б.​Сегал), Палац з’ездаў (цяпер Дзярж. Крамлёўскі палац; 1959—61, арх. М.​В.​Пасохін, А.​А.​Мндаянц, Я.​М.​Стама, П.​П.​Штэлер і інш.; Ленінская прэмія 1962). На тэр. К.М. помнікі рус. ліцейнай справы Цар-гармата (1586, майстар А.​Чохаў) і Цар-звон (1733—35, майстры І.Ф. і М.​І.​Маторыны); створаны музеі. У 1920—30 знесены многія помнікі архітэктуры, у т. л. сабор Спаса на Бары (1330), ансамблі манастыроў Чудава з саборам (1503) і Вазнясенскага з Кацярыненскай царквой (1808—17), Малы Мікалаеўскі палац (з 1775) і інш. К.М. з ансамблем Краснай плошчы ўключаны ЮНЕСКА у спіс Сусветнай спадчыны.

Літ.:

Древности Московского Кремля. М., 1971;

Иванов В. Московский Кремль. М., 1971.

т. 8, с. 538

ЛЮБО́Ў,

інтымнае і глыбокае пачуццё, накіраванасць на другую асобу, чалавечую супольнасць або ідэю. Засноўваецца на агульнасці інтарэсаў людзей. іх мэт, патрэб, каштоўнасцей і суправаджаецца моцнымі эмоцыямі, якія сітуатыўна ўзнікаюць і перажываюцца ў залежнасці ад індывід.-псіхал. асаблівасцей асобы.

У міфалогіі і стараж. сістэмах філасофіі Л. разумелася як «эрас» — касмічная сіла, падобная сіле прыцягнення, якая злучае разнародныя часткі Сусвету. Платон вызначаў 2 віды Л. — пачуццёвую і духоўную — і абгрунтаваў ідэю ўзыходжання ад пачуццёвай улюблёнасці і эстэт. захаплення прыгожым целам да ідэальнай Л. і разумення прыгажосці наогул (адсюль выраз «платанічная Л»), Паводле хрысціянскай дактрыны, сапраўдная Л. не падобна на пачуццёвы «эрас», на дружбу па выбару, на патрыят. салідарнасць грамадзян: яна ёсць ахвярная і безматыўная «любоў да блізкага». Прадстаўнікі Асветніцтва (К.​Гельвецый, Ш.​Мантэск’ё, А.​Шэфтсберы і інш.) разглядалі Л. як натуральнае пачуццё салідарнасці, годнасці і ўнутр. свабоды чалавека, як асн. ўмову парадку і прыгажосці ў грамадстве. Г.​Гегель лічыў, што ідэальная Л. раскрывае сапраўдны сэнс і прызначэнне чалавека. М.​Шэлер бачыў у Л. адзіны спосаб пазнання каштоўнаснага ўваходжання асобы ў духоўную прастору свабоды, дзякуючы якой яна становіцца асобай. Паводле тэорыі псіхааналізу З.​Фрэйда, Л. — выражэнне сексуальнай цягі (лібіда) і ўяўляе сабой працэс яе пераўтварэння і пераключэння (сублімацыі) на мэты сац. дзейнасці і культ. творчасці. У марксісцкай філасофіі Л. трактуецца як праяўленне перажывання, душэўнага хвалявання, ацэначных адносін і выбіральнай актыўнасці асобы, выражэнне сац.-групавой і агульначалавечай салідарнасці. Як гал. прынцып быцця і чалавечага шчасця, сцвярджэння самакаштоўнасці кожнай асобы, яе самаахвярнай дзейнасці ў імя грамадскага дабра і росквіту айчыны разглядалі Л. бел. мысліцелі-асветнікі Ефрасіння Полацкая, Кірыла Тураўскі, Ф.​Скарына, С.​Будны, Ліцыній Намыслоўскі, М.​К.​Сарбеўскі, Ф.​Карпінскі, М.​Лавіцкі, М.​К.​Судзілоўскі, Я.​Чачот і інш.

У розныя гіст. эпохі і ў розных філас.-рэліг. вучэннях Л. звязвалі з адносінамі агульнасці і блізкасці паміж людзьмі, імкненнем да духоўнага і фіз. аб’яднання з асобай другога полу і ўзаемнага ўзнаўлення роду (каханне). У залежнасці ад сілы пачуцця, канкрэтнасці прадмета Л. ўсе яе віды можна размясціць у пэўную іерархію. Напр., для індывідуалістычнага грамадства (Стараж. Грэцыя і Рым, некаторыя краіны Зах. Еўропы новага часу) такая іерархія можа быць прадстаўлена ў выглядзе ступеняў: эратычная Л. і Л. да самога сябе; Л. да блізкага і чалавека наогул; да радзімы, жыцця, Бога і інш.; да прыроды, у прыватнасці, касм. Л.; да ісціны, дабра і справядлівасці, да прыгожага і да т.п.; да свабоды, творчасці, славы, улады, сваёй дзейнасці, багацця, «закону і парадку» і да т.п.; да зносін з іншымі людзьмі, да гульні, калекцыяніравання, падарожжаў і да т.п. Па меры аддалення ад вышэйшай ступені памяншаецца непасрэднасць і інтэнсіўнасць, павялічваецца сац. накіраванасць Л., больш выразнымі і пашыранымі становяцца захапленні, процілеглыя асобным відам Л. Напр., Л. да жыцця супрацьстаіць цяга да разбурэння і смерці, Л. да ісціны — схільнасць да хлусні, Л. да свабоды — непрыязнасць да яе. У калектывісцкім грамадстве (Стараж. Егіпет і Кітай, еўрап. феад. дзяржавы, сацыяліст. краіны) вышэйшая ступень Л. звязана з «вялікай мэтай», якую яна ставіць перад сабой. Старазапаветны прынцып «палюбі блізкага, як самога сябе» ў такім грамадстве трансфармуецца ў «Л. да далёкага» (да будучых і мінулых пакаленняў, да братоў па класе, да правадыроў і герояў, да чалавека толькі сваёй веры і пераканання). Калектывісцкае грамадства звычайна імкнецца абмежаваць сферу сексу для таго, каб яна не займала думкі і пачуцці чалавека, не адцягвала яго ад высокага прадвызначэння (умяшанне царквы ў шлюбнае жыццё людзей, забароны любых форм пазашлюбных адносін, асуджэнне «свабоднай Л.» і эротыкі, забарона сексуальных меншасцей і інш.).

Літ.:

Идеи гуманизма в общественно-политической и философской мысли Белоруссии (дооктябрьский период). Мн., 1977;

Философия любви. Ч. 1—2. М., 1990;

Фрейд 3. Очерки по психологии сексуальности: Пер. с нем. М., 1990;

Фромм Э. Душа человека: Пер. с нем. М., 1992;

Ивин А.А. Введение в философию истории. М., 1997;

Мэй Р. Любовь и Воля: Пер. с англ. М.;

Киев, 1997.

С.​Ф.​Дубянецкі.

т. 9, с. 398

ПРАСТО́РА І ЧАС у фізіцы,

фундаментальныя паняцці, якія адлюстроўваюць формы існавання і спосабы каардынацыі з’яў, працэсаў, аб’ектаў і іх станаў. Базісны прасторава-часавы аб’ект — падзея, якая вызначаецца адносна сістэмы адліку заданнем 3 прасторавых каардынат і 1 часавай каардынаты. Сувязь паміж прасторавымі і часавымі характарыстыкамі розных падзей вызначае геам. ўласцівасці прасторава-часавай разнастайнасці.

Фіз. паняцці П. і ч. ўзніклі на аснове натурфіласофскіх уяўленняў аб іх сутнасці (гл. Прастора і час у філасофіі) і прасторава-часавых уяўленняў, заснаваных на мех. практыцы аперыравання з жорсткімі і пругкімі целамі. У класічнай механіцы існуе дваістасць апісання П. і ч., дзе разам з абсалютнымі ёсць і адносныя П. і ч. Паводле Ньютана, абсалютныя П. і ч. — ідэальныя формы, якія маюць матэм. выраз, адносныя П. і ч., даступныя вымярэнню працягласці матэрыяльных аб’ектаў (у прасторы) і назіраных з’яў (у часе). Такая дваістасць у фізіцы захоўваецца да нашага часу. П. і ч. рэальных аб’ектаў у фізіцы не заўсёды супадае з П. і ч: тэарэт. (ідэальных) аб’ектаў, якія апісваюць адпаведную прадметную вобласць. У аксіёмы, што вызначаюць геаметрыю класічных П. і ч., уключаецца кінематычны пастулат — прынцып адноснасці, які сцвярджае раўнапраўнасць інерцыяльных сістэм адліку, вызначае метрычныя ўласцівасці фіз. П. і ч., а таксама абмяжоўвае выбар дапушчальных дынамічных тэорый. Прынцып адноснасці Эйнштэйна адрозніваецца ад прынцыпу адноснасці Ньютана тым, што значэнне адноснай скорасці інерцыяльнай сістэмы адліку абмежавана зверху. Матэматычна гэты прынцып фармулюецца як патрабаванне інварыянтнасці дынамічных ураўненняў фізікі адносна груп пераўтварэнняў прасторава-часавых каардынат (групы Галілея і групы Пуанкарэ адпаведна). У абодвух выпадках П. і ч. аб’ядноўваюцца ў адзіны геам. аб’ект — чатырохмерную прастору. Пры гэтым прастора-час спецыяльнай адноснасці тэорыі — Мінкоўскага прастора-час з’яўляецца чатырохмернай псеўдаэўклідавай прасторай у адрозненне ад прасторы-часу Галілея — Ньютана, якая наогул не з’яўляецца эўклідавай. У абодвух выпадках меркаванні аб аднароднасці часу і аднароднасці і ізатропнасці прасторы звязаны з захавання законамі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу адпаведна. Дапушчальнасць бясконцасці скорасці распаўсюджвання ўзаемадзеяння ў прасторы-часе Галілея-Ньютана ўзгадняецца з уключэннем у лік ідэальных аб’ектаў ньютанаўскай механікі абсалютна цвёрдых цел і магчымасці абсалютнай (незалежнай ад выбару інерцыяльнай сістэмы адліку) сінхранізацыі нерухомых і рухомых ідэальных гадзіннікаў. Усе пункты трохмернай прасторы могуць назірацца адначасова, у якасці эталона даўжыні выбрана цвёрдае цела (парыжскі метр), вымярэнне часу заснавана на меркаванні аднолькавай працягласці аднолькавых фіз. працэсаў. Вобласць выкарыстання прасторы-часу Галілея — Ньютана абмежавана нерэлятывісцкай класічнай, квантавай і статыстычнай механікамі, а таксама электра- і магнітастатыкай. У спец. тэорыі адноснасці існуе верхняя мяжа скорасці — скорасць святла ў вакууме, аднолькавая для ўсіх сістэм адліку, і таму немагчыма абсалютная сінхранізацыя нават ідэальных гадзіннікаў, паняцце адначасовасці падзей мае сэнс адносна пэўнай інерцыяльнай сістэмы адліку, сярод ідэальных аб’ектаў няма абсалютна цвёрдых цел. За эталон даўжыні прынята адлегласць, якую праходзіць святло за адзінку часу, эталонам часу служыць велічыня, адваротная частаце святла, выпрамененага эталоннай крыніцай. Прастора-час Мінкоўскага распадаецца для кожнага назіральніка на абсалютнае мінулае, абсалютнае будучае і абсалютнае аддаленае (унутранасць і знешнасць светлавога конуса), яна выкарыстоўваецца як базавая ў рэлятывісцкай класічнай і квантавай механіках, квантавай тэорыі моцных і электраслабых узаемадзеянняў. ідэальныя аб’екты гэтых тэорый не заўсёды маюць аналагі сярод рэчаісных аб’ектаў. У агульнай тэорыі адноснасці (АТА) прынцып адноснасці пашыраецца да патрабавання каварыянтнасці ўраўненняў адносна адвольных пераўтварэнняў усіх чатырох каардынат, у якасці ідэальнага аб’екта служыць метрыка прасторы-часу, пад якой разумеюць гравітацыйнае поле, крыніцай якога з’яўляецца тэнзар энергіі — імпульсу матэрыі. У гэтым сэнсе АТА устанаўлівае залежнасць метрыкі прасторы-часу ад уласцівасцей гравітавальнай матэрыі. Прастора-час у АТА неаднародная і неізатропная, яе тапалогія можа быць сінгулярнай (гл. Сінгулярнасць). Паводле сучасных уяўленняў з гравітацыйнай сінгулярнасці ў выніку Вялікага Выбуху нарадзіўся Сусвет. Мадэль пашыральнага Сусвету належыць да ідэальных аб’ектаў фізікі, які змяняецца ў часе. Асн. ўласцівасць такіх аб’ектаў — неабарачальнасць іх дынамікі ў часе. Існуюць таксама эксперым. ўказанні на магчымую неабарачальнасць у часе некаторых працэсаў у фізіцы элементарных часціц. Даказана, што Прырода несіметрычная адносна адлюстраванняў прасторавых каардынат і аддае перавагу то левай, то правай спіральнасці. Пры тэарэт. апісанні працэсаў у мікрасвеце ці на пачатковай стадыі Вялікага Выбуху даводзіцца аперыраваць з часавымі і прасторавымі інтэрваламі, для вымярэння якіх не існуе прылад (няяўна прымаецца гіпотэза бясконцай падзельнасці П. і ч.). Разглядаюцца мадэлі з дыскрэтнай прасторай-часам, з лікам прасторава-часавых вымярэнняў, большым за 4. Існуюць струнныя мадэлі, дзе ідэальным аб’ектам служыць аднамерная струна замест пункта, які не мае вымярэнняў. Мяркуюць, што менавіта струнныя мадэлі дазволяць зрабіць агульнае апісанне гравітацыйных, моцных і электраслабых узаемадзеянняў і тым самым істотна пашырыць нашы ўяўленні аб прасторы і часе.

Літ.:

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. 2 изд. М., 1961;

Пуанкаре А. О науке: Пер. с фр. 2 изд. М., 1990;

Минковский Г. Пространство и время // Принцип относительности. М., 1973;

Берке У. Пространство—время, геометрия, космология: Пер. с англ М., 1985;

Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени: Пер. с англ. Ижевск, 2000;

Степин В.С. Теоретическое знание. М., 2000.

Я.​А.​Талкачоў, Л.​М.​Тамільчык.

т. 13, с. 20