Verbum

КВАТЭРНІЁН (франц. quaternion ад лац. quaterni па чатыры),

адна з сістэм гіперкамплексных лікаў. Увёў У.Р.Гамільтан (1843) у сувязі з задачай абагульнення камплексных лікаў.

К. вызначаецца як лінейная камбінацыя віду a + bi + cj + dk, дзе a, b, c, d — сапраўдныя лікі, i, j, k — уяўныя адзінкі: i₂ = j₂ = k₂ = −1. Складанне і множанне К. выконваецца па адпаведных правілах для мнагачленаў з улікам jk = −kj = i, ki = −ki = j, ij = −ji = k. Алг. дзеянні над К. маюць усе ўласцівасці (за выключэннем камутатыўнасці множання) адпаведных дзеянняў над сапраўднымі лікамі. Гэтым К. вылучаюцца сярод гіперкамплексных лікаў.

т. 8, с. 213

НЬЮ́ТАНА БІНО́М,

формула для вылічэння любой цэлай ступені бінома праз ступені яго складнікаў. Мае выгляд ${\displaystyle {\text{(}a+b\text{)}}^n=a^n+{{\mathrm{C}}^1}_n{a}^{n-1}b+{{\mathrm{C}}^2}_n{a}^{n-2}{b}^2+\text{...}+{{\mathrm{C}}^k}_n{a}^{n-k}{b}^k+\text{...}+b^n}$ , дзе a і b — адвольныя лікі, ${{\mathrm{C}}^k}_n$ — бінаміяльныя каэфіцыенты. Формула для цэлых n была вядома задоўга да І.Ньютана, які пашырыў яе на дробавыя і адмоўныя паказнікі ступені (1676). Н.б. абагульняецца на выпадак сапраўднага ці камплекснага паказніка з утварэннем у правай частцы бясконцага шэрагу, збежнага пры |a| > |b|. Выкарыстоўваецца ў многіх раздзелах матэматыкі.

т. 11, с. 397

ДЗЕСЯТКО́ВЫ ДРОБ,

дроб, назоўнік якога ёсць цэлая ступень ліку 10. Звычайна запісваюць без назоўніка, аддзяляючы ў лічніку справа коскай (часам кропкай) столькі лічбаў, колькі нулёў у назоўніку, напр., ​⁷⁸⁵/₁₀ = 78,5; ​⁴/₁₀₀ = 0,04. У Еўропе Дз.д. увёў нідэрл. вучоны С.​Стэвін (1584), у Расіі — Л.​П.​Магніцкі (1703).

Пры такім запісе Дз.д. лічбы злева ад коскі азначаюць цэлую частку дробу. Звычайны дроб, назоўнік якога мае здабытак ступеней лікаў 2 і 5, можна пераўтварыць у канечны Дз.д. (напр., ​¹/₅ = 0,2), а калі ёсць і інш множнікі — у бясконцы перыядычны (​⁸/₁₅ = 0,53333...). Ірацыянальныя лікі запісваюцца бясконцымі неперыядычнымі Дз.д. (π = 3,1415926...).

т. 6, с. 107

ЗАЛАТО́Е СЯЧЭ́ННЕ, залатая прапорцыя, гарманічнае дзяленне,

дзяленне адрэзка на 2 часткі, пры якім меншая частка адносіцца да большай, як большая да ўсяго адрэзка. Тэрмін «З.с.» ўвёў Леанарда да Вінчы (канец 15 — пач. 16 ст.). Алг. вызначэнне З.с. адрэзка даўжынёй a зводзіцца да рашэння ўраўн. a/x=x/ax(ax) (гл. Гарманічная прапорцыя). Дзель x/a можна набліжана выявіць дробамі 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, дзе 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... — лікі Фібаначы. З.с. сустракаецца ў «Асновах» Эўкліда (3 ст. да н.э.). Прынцыпы З.с. выкарыстоўваюцца ў архітэктуры (асабліва антычнай эпохі Адраджэння) і выяўл. мастацтве.

т. 6, с. 510

БАРЫЁНЫ,

цяжкія (у параўнанні з электронамі) элементарныя часціцы з напаўцэлым спінам і масай, не меншай за масу пратона; удзельнічаюць ва ўсіх вядомых фундаментальных узаемадзеяннях. Належаць да адронаў і складаюцца з 3 кваркаў, што і вызначае іх квантавыя лікі (дзіўнасць, чароўнасць, прыгажосць і інш.). Да барыёнаў адносяцца нуклоны, гіпероны і некаторыя рэзанансы.

Адзіны стабільны барыён — пратон, усе астатнія нестабільныя і паслядоўным распадам ператвараюцца ў пратон і лёгкія часціцы. Гэты эксперым. факт прывёў да ўвядзення ў 1938 новага квантавага ліку — барыённага зараду і ўстанаўлення закону яго захавання. Дакладнасць, з якой выконваецца закон захавання барыённага зараду, характарызуе ўстойлівасць пратона, эксперым. час жыцця якога перавышае 10​³² гадоў, што ў сваю чаргу забяспечвае стабільнасць Сусвету.

А.​І.​Болсун.

т. 2, с. 325

ДРО́БАВА-ЛІНЕ́ЙНАЯ ФУ́НКЦЫЯ,

дзель двух лінейных функцый. Выражаецца формулай $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ , дзе a, b, c, d — пастаянныя і ad − bc ≠ 0; самая простая сярод рацыянальных функцый. Пры рэчаісных значэннях x і c ≠ 0, графікам Д.л. ф. будзе роўнабаковая гіпербала з асімптотамі y = a/c і x = −d/c і цэнтрам у пункце (−d/c, a/c).

Калі x прымае адвольныя камплексныя значэнні (a, b, c, d — камплексныя лікі), Д.л.ф. ажыццяўляе ўзаемна адназначнае і канформнае адлюстраванне камплекснай плоскасці (разам з пунктам ∞) на сябе, якое наз. дробава-лінейным адлюстраваннем. Напр., Д.-л.ф. пераводзіць прамыя і акружнасці зноў у прамыя і акружнасці, верхнюю паўплоскасць — на круг.

т. 6, с. 207

ДЗІРЫХЛЕ́ ((Dirichlet) Іаган Петэр Густаў) (13.2.1805, г. Дзюрэн, Германія — 5.5.1859),

нямецкі матэматык. Замежны чл.-кар. Пецярбургскай (1837) і чл. Парыжскай (1854) АН, чл. Берлінскай АН, Лонданскага каралеўскага т-ва (1855). Праф. Берлінскага (1831—55), Гётынгенскага ун-таў (з 1855). Навук. працы па тэорыі лікаў, матэм. аналізе, механіцы, матэм. фізіцы. Даказаў тэарэму пра існаванне бясконца вялікай колькасці простых лікаў у кожнай арыфметычнай прагрэсіі з цэлых лікаў, першы член і рознасць якой — лікі ўзаемна простыя. Сфармуляваў і даследаваў паняцце ўмоўнай збежнасці шэрагу, устанавіў прыкмету збежнасці шэрагу (прыкмета Дз.); даказаў магчымасць раскладання ў шэраг Фур’е функцыі, якая мае канечную колькасць максімумаў і мінімумаў (інтэграл Дз.).

Літ.:

Рыбников К.А. История математики. 2 изд. М., 1974.

т. 6, с. 117

КАРДА́НА ФО́РМУЛА,

формула для знаходжання каранёў няпоўнага кубічнага ўраўнення x​³ + hx + q = 0 (такі выгляд можна надаць любому кубічнаму ўраўненню). Прапанавана ў 1545 італьян. вучоным Дж.​Кардана. Запісваецца ў выглядзе: $\mathrm{x}=\sqrt[3]{-\frac{g}{2}+\sqrt{\frac{g^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{g}{2}-\sqrt{\frac{g^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

Калі каэфіцыенты p і q — сапраўдныя лікі, характар каранёў залежыць ад знака яго дыскрымінанта D = −27q​² − 4p​³. Пры D>0 усе тры карані сапраўдныя і розныя: пры D=0 усе карані сапраўдныя і, калі p і q адрозныя ад нуля, ёсць адзін двухкратны корань і адзін аднакратны: пры D<0 адзін корань сапраўдны і 2 другія ўяўныя комплексна спалучаныя.

т. 8, с. 65

НАЙМЕ́НШЫ АГУ́ЛЬНЫ КРА́ТНЫ двух (ці больш) цэлых лікаў,

найменшы дадатны лік, які дзеліцца на кожны з зададзеных лікаў. Напр., Н.а.к. лікаў 12, 15 і 20 з’яўляецца 60. Н.а.к. двух натуральных лікаў роўны здабытку гэтых лікаў, падзеленаму на іх найбольшы агульны дзельнік.

Выкарыстоўваецца пры складанні (ці адыманні) дробаў найменшым агульным назоўнікам двух (ці больш) дробаў з’яўляецца Н.а.к. іх назоўнікаў. Для знаходжання Н.к.а. зыходныя лікі раскладаюць на простыя множнікі (гл. Раскладанне на множнікі) і перамнажаюць усе простыя множнікі, якія ўваходзяць хаця бы ў адзін лік. Пры гэтым кожны множнік бяруць найб. колькасць разоў, якую ён сустракаецца. Паняцце Н.а.к. дастасавальнае і для мнагаскладаў: Н.а.к. двух ці больш мнагаскладаў ёсць мнагасклад найменшай ступені, які дзеліцца на кожны з зададзеных.

т. 11, с. 130

ЛІ́КАВАЯ ПРАМА́Я, лікавая вось,

прамая, на якой адлюстраваны сапраўдныя лікі. Кожны такі лік адлюстроўваецца пунктам на Л.п. і тым самым устанаўліваецца ўзаемна адназначная адпаведнасць паміж мноствам сапраўдных лікаў і мноствам пунктаў на Л.п.

На прамой выбіраюць пункт O (пачатак адліку) і з правага боку ад яго — пункт E (адзінкавы пункт), адрэзак OE наз. маштабным (адзінкавым) адрэзкам. Яго даўжыня прымаецца за адзінку вымярэння даўжынь усіх адрэзкаў Л.п. Напрамак ад O да E лічыцца дадатным, ад E да O — адмоўным. Дадатны сапраўдны лік a адлюстроўваецца адрэзкам OA, узятым у дадатным напрамку і даўжыня якога роўная a адзінкавых адрэзкаў. Калі пункт A з’яўляецца адлюстраваннем ліку a, то лік a наз. дэкартавай каардынатай (ці каардынатай) пункта A.

т. 9, с. 256