Verbum

АРХІМЕ́ДАВА СПІРА́ЛЬ,

крывая, якую апісвае пункт пры руху з пастаяннай скорасцю па прамой, што раўнамерна паварочваецца ў плоскасці вакол аднаго са сваіх пунктаў. Названа ў гонар Архімеда. Калі пункт О лічыць полюсам, а прамую з выбраным на ёй напрамкам за палярную вось, то ўраўненне Архімедава спіраль ў палярных каардынатах: ρ=αφ, дзе α = V/ω (V — лінейная, ω — вуглавая скорасці). Архімедава спіраль мае 2 галіны: суцэльную ( φ > 0 ) і штрыхавую ( φ < 0 ).

т. 1, с. 525

БРАХІСТАХРО́НА

(ад грэч. brachistos самы кароткі + chronos час),

крывая самага хуткага спуску. Напр., калі пункты A і B ляжаць не на адной вертыкалі ў полі сілы цяжару, то шарык пры руху ўздоўж брахістахроны за самы кароткі час прыйдзе з пункта A у пункт B. Калі няма сіл супраціўлення, брахістахрона — цыклоіда з гарыз. асновай і пунктам звароту, які супадае з пунктам A. Рашэнне задачы аб брахістахроне (І.Бернулі, 1696) — зыходны пункт для развіцця варыяцыйнага злічэння.

т. 3, с. 252

ДАТЫ́ЧНАЯ ПРАМА́Я да крывой лініі,

лімітнае становішча адпаведнай сякучай.

Няхай М₀ — зафіксаваны пункт крывой l, М — іншы яе пункт. М₀М — сякучая (прамая, праведзеная праз гэтыя пункты). Калі пры неабмежаваным набліжэнні М да М₀ сякучая М₀М імкнецца да пэўнай прамой М₀Т, то прамая М₀Т наз. Д.п. да крывой l у пункце М₀. У выпадку плоскай крывой, вызначанай у дэкартавых каардынатах ураўненнем y=f(x), дзе f(x) — дыферэнцавальная функцыя, ураўненне Д.п. да яе ў пункце М₀(x₀, y₀) мае выгляд y−y₀=f′(x₀) (x−x₀), дзе f′(x) —вытворная функцыя f′(x) у пункце x₀. Д.п. ўтварае з дадатным напрамкам восі OX вугал, тангенс якога роўны f′(x). Д.п. мае не кожная неперарыўная крывая, паколькі прамая M₀M можа і не імкнуцца да лімітнага становішча або можа імкнуцца да двух розных лімітных становішчаў, калі М імкнецца да M₀ з розных бакоў ад M₀.

А.А.Гусак.

т. 6, с. 62

ГЕАДЭЗІ́ЧНАЯ ЛІ́НІЯ ў матэматыцы і геадэзіі, крывая, якая абагульняе паняцце прамой (ці адрэзка прамой) у эўклідавай геаметрыі на выпадак прастораў больш агульнага віду. Лакальна з’яўляецца найб. кароткай сярод крывых, што злучаюць 2 зададзеныя пункты; гал. нармалі да іх з’яўляюцца нармалі да паверхні; праз кожны пункт паверхні ў кожным напрамку праходзіць адзіная геадэзічная лінія. Напр., на плоскасці геадэзічнай лініі будуць адрэзкі прамых, на сферы — вял. акружнасці, на цыліндры — вінтавыя лініі. У картаграфіі і навігацыі геадэзічная лінія мае назву артадромія.

т. 5, с. 116

АСІМПТО́ТА (ад грэч. asymptōtos які не супадае) крывой з бесканечнай галінай, прамая, да якой гэта галіна неабмежавана набліжаецца. напрыклад, асімптота гіпербалы y = 1/x — восі каардынат Ox і Oy. Крывая можа перасякаць сваю асімптоту (напр., графік затухальных ваганняў) або зусім не мець асімптоты (напр., парабала). Калі графік функцыі y = $𝑓\text{(}x\text{)}$ пры вялікіх х мае асімптоту, што вызначана ўраўненнем y = kx + b, то гэту функцыю можна вызначыць як $𝑓\text{(}x\text{)}$ = kx + b + a(x), дзе a(x)→0 пры x→∞. Выкарыстоўваецца ў матэм. аналізе.

т. 2, с. 30

АСТРО́ІДА (ад астра... + грэч. eidos від), плоская алг. крывая 6-га парадку. Апісваецца пунктам M акружнасці радыуса r, якая коціцца па ўнутр. боку акружнасці радыуса $\mathrm{R}=4\mathrm{r}$. Ураўненне астроіды ў дэкартавых каардынатах: ${\mathrm{x}}^{\mathrm{2/3}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2/3}}={\mathrm{R}}^{\mathrm{2/3}}$ , параметрычныя ўраўненні: $\mathrm{x}=\mathrm{R}{cos}^3\mathrm{t}/4$ , $\mathrm{y}=\mathrm{R}{sin}^3\mathrm{t}/4$ . Мае 4 пункты вяртання. Астроіда — агінальная сям’і адрэзкаў пастаяннай даўжыні з канцамі на дзвюх узаемна перпендыкулярных прамых. Косая астроіда — агінальная сям’і адрэзкаў пастаяннай даўжыні з канцамі на дзвюх прамых, што перасякаюцца пад адвольным вуглом.

т. 2, с. 56

АВА́Л

(франц. ovale ад лац. ovum яйцо),

замкнёная выпуклая плоская крывая, (напр., акружнасць, эліпс). Уласцівасці: кожны дастаткова гладкі авал мае не менш як 4 пункты максімуму і мінімуму крывізны; калі адлегласць паміж любымі 2 паралельнымі, датычнымі да авала, пастаянная для ўсіх напрамкаў (авал пастаяннай шырыні h), то даўжыня роўная πh. Авал пастаяннай шырыні атрымліваюць, калі з вяршыні роўнастаронняга трохвугольніка са стараной а апісваюць 6 акружнасцей (3 адвольным радыусам r, 3 радыусам, роўным R = a + r). У алг. геаметрыі авалам наз. ўсякія замкнёныя (не абавязкова выпуклыя) галіны алг. крывых, што не маюць пунктаў самаперасячэння.

т. 1, с. 58

ЛАГАРЫФМІ́ЧНАЯ СПІРА́ЛЬ,

графік паказальнай функцыі ў палярных каардынатах; плоская трансцэндэнтная крывая, якая перасякае ўсе радыусы-вектары пад адным і тым жа вуглом. Вызначаецца ўраўненнем r = ae​^kȹ. Адносіцца да псеўдаспіралей (гл. Спіралі).

Л.с. адкрыта Р.Дэкартам (1638; апублікавана ў 1657) і незалежна Э.Тарычзлі (1644); уласцівасці Л.с. даследаваў Я.Бернулі (1692). Л.с. пераходзіць у сябе пры лінейных пераўтварэннях плоскасці; яе эвалюта (гл. Эвалюта і эвальвента) таксама Л.с. Пры стэрэаграфічнай праекцыі плоскасці на сферу Л.с. пераходзіць у лаксадромію. Адлюстроўвае многія затухальныя працэсы. Выкарыстоўваецца ў тэхніцы. Напр., па Л.с. выконваюцца профілі вярчальных нажоў, фрэзаў, зубчастых перадач.

т. 9, с. 87

АГІНА́ЛЬНАЯ сям’і ліній,

лінія, якая ў кожным сваім пункце датыкаецца да адной лініі сям’і. Напр., усякая крывая з’яўляецца агінальнай для сям’і сваіх датычных; агінальная сям’і акружнасцяў аднолькавага радыуса R з цэнтрамі на адной прамой — пара прамых, кожная з якіх ляжыць на адлегласці R ад лініі цэнтраў (гл. рыс.). Ураўненне агінальнай сям’і ліній на плоскасці, якія вызначаюцца ўраўненнем 𝑓(x, y, C) = 0, можна знайсці з сістэмы 𝑓(x, y, C) = 0, 𝑓_c (x, y, C) = 0 выключэннем параметра C пры ўмове, што 𝑓(x, y, C) мае неперарыўныя першыя частковыя вытворныя па ўсіх пераменных.

т. 1, с. 75

ГІПЕ́РБАЛА,

цэнтральная крывая 2-га парадку; адно з канічных сячэнняў, уяўляе сабой мноства пунктаў плоскасці, рознасць адлегласцей ад якіх да двух пэўных пунктаў (фокусаў гіпербалы) пастаянная (па модулі). Кананічнае ўраўненне гіпербалы ў прамавугольнай сістэме каардынат: x​²/a​² - y​²/b​² = 1, дзе a, b — даўжыні паўвосяў, b​² = c​² - a​², c — фокусная адлегласць гіпербалы (гл. Аналітычная геаметрыя). Мае 2 бясконцыя галіны, сіметрычныя адносна гал. восяў Ox і Oy (сапраўднай, ці факальнай, і ўяўнай); 2 асімптоты y = ±bx/a. Пры a = b гіпербала наз. раўнабочнай і яе ўраўненне мае выгляд x​² - y​² = a​²; яе асімптоты ўзаемна перпендыкулярныя, і калі іх прыняць за восі каардынат, то ўраўненне набудзе выгляд xy = a​²/2 (графік адваротнай прапарцыянальнасці).

т. 5, с. 255