раздзел матэматыкі, які вывучае геаметрычныя аб’екты, звязаныя алг. ўраўненнямі, — алг. мнагастайнасці. Узнікла ў 17 ст. з увядзеннем у геаметрыю паняцця каардынат. У сярэдзіне 19 ст. алгебраічная геаметрыя выдзелілася з матэм. аналізу як тэорыя алг. крывых. У канцы 19 ст.італьян. вучоныя К.Сегрэ, Л.Крэмона і інш. стварылі тэорыю алг. паверхняў. У 1930-я г. матэматыкі галандскі Б.Л.Ван-дэр-Вардэн, ням. Г.Гасе і франц. А.Вейль стварылі асновы алгебраічнай геаметрыі над адвольным полем К. Падабенства тэорыі алг. крывых і тэорыі алг. лікаў стымулявала пошукі агульнай алг. асновы (амер. вучоны О.Зарыскі, франц. матэматыкі К.Шэвале і Ж.Сер). Асновай стала тэорыя схем (франц. матэматык А.Гратэндзік), дзе, напр., на геам. мове разглядаліся сістэмы алг. ураўненняў над адвольным камутатыўным кольцам, апісваліся ўласцівасці праектыўных мнагастайнасцяў. Алгебраічная геаметрыя звязана з тэорыяй функцый камплексных пераменных, лікаў тэорыяй, ураўненнямі матэматычнай фізікі і інш.
Літ.:
Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. 2 изд. Т. 1—2. М., 1988;
Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ.Т. 1—2. М., 1982.
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНАЯ ГЕАМЕ́ТРЫЯ,
раздзел геаметрыі, у якім геам. вобразы (крывыя і паверхні) вывучаюцца метадамі матэм. аналізу, у першую чаргу — дыферэнцыяльнага злічэння. Аб’екты Д.г. — крывыя і паверхні эўклідавай прасторы, іх сем’і (неперарыўныя сукупнасці крывых і паверхняў). У Д.г. даследуюцца ўласцівасці, характэрныя бясконца малой частцы геам. вобразаў (дыферэнцыяльныя ўласцівасці). У адрозненне ад элементарнай і аналітычнай геаметрыі, якія вывучаюць асобныя крывыя і паверхні ці спец. класы крывых і паверхняў, Д.г. разглядае крывыя і паверхні наогул.
Класічная Д.г. вывучае дыферэнцыяльныя ўласцівасці геам. вобразаў звычайнай трохмернай прасторы, якія не залежаць ад становішча ў прасторы. Асобныя паняцці Д.г. сустракаюцца ў 2-й пал. 17 ст. ў працах англ. вучонага І.Ньютана, ням. матэматыка Г.Лейбніца і інш. Асновы тэорыі паверхняў закладзены ў канцы 18 ст. працамі ням. вучонага Л.Эйлера і франц. вучонага Г.Монжа. Значны ўклад у развіццё Д.г. зрабілі К.Гаўс, рус. матэматыкі К.М.Петэрсон (пабудаваў асновы класічнай тэорыі паверхняў) і М І.Лабачэўскі, ням. матэматык Б.Рыман. Асн. кірункі сучаснай Д.г.: геаметрыя аднародных прастораў, у якіх дзейнічае некат. сукупнасць (група) пераўтварэнняў (у класічнай Д.г. — група рухаў) і вывучаюцца ўласцівасці геам. вобразаў, што не мяняюцца пры пэўных пераўтварэннях; геаметрыя абагульненых прастораў, якія будуюцца на аснове дыферэнцаванай разнастайнасці, што ўключае як прыватны выпадак паняцці крывой і паверхні класічнай Д.г. Асобнае месца займае «геаметрыя ў цэлым», якая даследуе геам. вобразы, што не могуць быць вырашаны сродкамі дыферэнцыяльнага злічэння.
На Беларусі сістэматычныя даследаванні па сучаснай Д.г. пачалі праводзіцца з канца 1960-х г. Пабудавана глабальная тэорыя нармалізаваных і спалучаных звязнасцей у галоўных расслаеннях, праведзена даследаванне сіметрычных прастораў і шэрагу іх абагульненняў (В.І.Вядзернікаў, А.С.Фядэнка).
Літ.:
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. 5 изд. М., 1969;
Дифференциальная геометрия. Мн., 1982;
Феденко А.С. Пространства с симметриями. Мн., 1977;
История отечественной математики. Т. 3. Киев, 1968.
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
АНАЛІТЫ́ЧНАЯ ГЕАМЕ́ТРЫЯ,
раздзел геаметрыі, у якім уласцівасці геаметрычных аб’ектаў (пунктаў, ліній, паверхняў) даследуюцца сродкамі алгебры на падставе метаду каардынат (праз вывучэнне ўласцівасцяў ураўненняў, графікамі якіх гэтыя аб’екты з’яўляюцца).
Узнікненне метаду каардынат звязана з развіццём у 17 ст. астраноміі, механікі, тэхнікі. Асновы аналітычнай геаметрыі заклалі Р.Дэкарт (1637) і П.Ферма (1629); далейшае развіццё звязана з працамі Г.Лейбніца, І.Ньютана, Л.Эйлера, Ж.Лагранжа, Г.Монжа, С.Лакруа і інш.Асн. задача аналітычнай геаметрыі на плоскасці — даследаванне ліній 1-га (прамыя) і 2-га (эліпс, гіпербала, парабала) парадку, якія ў дэкартавых каардынатах вызначаюцца алг. ўраўненнямі адпаведна 1-й і 2-й ступені. Аналітычная геаметрыяў прасторы даследуе паверхні 1-га (плоскасці) і 2-га (эліпсоід, гіпербалоід, парабалоід, конус, цыліндр) парадку, якія вызначаюцца алг. ўраўненнямі адносна дэкартавых каардынат адпаведна 1-й і 2-й ступені.
Метад даследавання і класіфікацый ліній і паверхняў прадугледжвае адшуканне такой прамавугольнай сістэмы каардынат, у якой адпаведнае ўраўненне набывае найб. просты выгляд. Метадамі аналітычнай геаметрыі карыстаюцца ў матэматыцы, фізіцы, механіцы, тэхніцы і інш. На Беларусі значны ўклад у развіццё аналітычнай геаметрыі зрабілі У.К.Дыдырка («Цыркулярныя крывыя 3-га парадку» — 1-я на Беларусі матэм. манаграфія, 1928) і І.К.Богаяўленскі («Аналітычная геаметрыя» — 1-ы беларускамоўны падручнік па вышэйшай матэматыцы, 1932).
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
НАРЫСО́ЎНАЯ ГЕАМЕ́ТРЫЯ,
раздзел геаметрыі, у якім вывучаюцца прасторавыя фігуры пры дапамозе пабудовы іх відарысаў на плоскасцях праекцый, а таксама метады пабудовы і ўласцівасці гэтых відарысаў. Метадамі Н.г. выконваюцца вытв. чарцяжы, рашаюцца задачы многіх раздзелаў тэхнікі, ажыццяўляецца разлік і канструяванне механізмаў, машын, інж. збудаванняў.
Асн. спосаб адвображання ў Н.г. — праецыраванне, атрыманы пры гэтым відарыс наз.праекцыяй. Найб. пашыраны паралельныя праекцыі: артаганальныя (прамавугольныя праекцыі на 2 і болей узаемна перпендыкулярныя плоскасці праекцый; гл.Артаганальнасць), аксанаметрычная (прамавугольная ізаметрыя, прамавугольная і косавугольная франтальная дыметрыі; гл.Аксанаметрыя) і праекцыі з лікавымі адзнакамі (прамавугольныя праекцыі пунктаў на гарыз. плоскасць, якія суправаджаюцца лікамі, што паказваюць адлегласці пунктаў-арыгіналаў ад гэтай плоскасці; выкарыстоўваюцца ў геадэзіі, тапаграфіі, горнай справе, геалогіі і інш.). Існуюць таксама цэнтральныя праекцыі, якія з’яўляюцца геам. асновай перспектывы. Першыя спробы праекцыйных відарысаў трапляюцца ў стараж. народаў у 4—3 ст. да н.э. Некаторыя ідэі Н.г. распрацаваны ў 15—17 ст. У самаст. навуку Н.г. аформілася ў 18 ст. ў сувязі з ростам патрабаванняў інж. практыкі Яе навук. асновы распрацаваны Ж.Дэзаргам і Г.Монжам (стваральнік метаду артаганальнага праектавання). Сучасная Н.г. пашырыла свае магчымасці за кошт выкарыстання ідэй і метадаў праектыўнай геаметрыі, геам. мадэліравання і інш.
Літ.:
Глаголев Н.А. Начертательная геометрия. 3 изд. М., 1953;
Нарысоўная геаметрыя: 1 — прынцып паралельнай праекцыі (ABC — прасторавая фігура, A°B °C° — яе праекцыя на плоскасць π0); 2 — прынцып прамавугольнага праектавання (A — пункт у прасторы; A′, A′′, A′′′ — праекцыі пункта A на прамавугольныя і сумешчаныя плоскасці праекцыі π1 π2, π3).
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
ПРАЕКТЫ́ЎНАЯ ГЕАМЕ́ТРЫЯ,
раздзел геаметрыі, што вывучае ўласцівасці фігур, якія не змяняюцца пры праектыўных пераўтварэннях. Такія ўласцівасці наз. праектыўнымі, напр., датычнасць прамой і лініі, парадак лініі. Існуюць таксама непраектыўныя ўласцівасці, напр., паралельнасць ці перпендыкулярнасць прамых, роўнасць адрэзкаў і вуглоў. Асн. тэарэмы класічнай П.г.: Брыяншона тэарэма, Дэзарга тэарэма, Паскаля тэарэма.
Асновы П.г. закладзены Ж.Дэзаргам у сувязі з развіццём вучэння аб перспектыве і Б.Паскалем пры вывучэнні ўласцівасцей канічных сячэнняў. Як самастойная дысцыпліна выкладзена франц. матэматыкам Ж.Панселе, які вылучыў праектыўныя ўласцівасці фігур у асобны клас і вызначыў адпаведнасці паміж іх метрычнымі і праектыўнымі ўласцівасцямі. Пры праектаванні (гл.Праекцыя) пунктаў адной плоскасці П на другую П’ не кожны з іх мае вобраз на П’ і наадварот — не кожны пункт П мае правобраз на П. Гэта прывяло да неабходнасці дапаўнення эўклідавай плоскасці бясконца аддаленымі элементамі (няўласнымі пунктамі і няўласнай прамой; гл.Праектыўная плоскасць), што зрабіла праектаванне ўзаемна адназначным. Аналагічна эўклідава прастора пераўтвараецца ў праектыўную прастору. Паняцці «пункт» і «прамая» ў П.г. звязаны паміж сабою адным з асн. паняццяў — інцыдэнтнасцю: пункт і прамая інцыдэнтныя, калі пункт належыць прамой ці (што тое самае) прамая праходзіць праз пункт. Прынцып дваістасці сцвярджае: калі справядліва выказванне ў дачыненні пунктаў, прамых і суадносін інцыдэнтнасці паміж імі, то справядліва і дваістае выказванне, атрыманае з зыходнага, калі памяняць месцамі словы «пункт» і «прамая», напр., двум розным пунктам інцыдэнтная прамая (і прытым толькі адна); двум розным прамым інцыдэнтны пункт (і прытым толькі адзін). Гэты прынцып адлюстроўвае фундаментальную ўласцівасць праектыўнай плоскасці: прамыя і пункты на ёй — цалкам раўнапраўныя геам. аб’екты. П.г. знаходзіць дастасаванні ў намаграфіі, квантавай тэорыі поля, канструяванні пячатных схем і інш.
Літ.:
Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии: Пер. с англ.М., 1970;
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. 6 изд. М., 1978;
Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 2. Мн., 1987.
А.А.Гусак.
Да арт.Праектыўная геаметрыя. Цэнтральнае праектаванне акружнасці, якая ляжыць у плоскасці П, з пункта S на плоскасць П′: прамыя AQ і AP праектуюцца ў паралельныя прамыя q і p, акружнасць — у парабалу, датычная да акружнасці QN — у датычную да парабалы.
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
ЛАБАЧЭ́ЎСКАГА ГЕАМЕ́ТРЫЯ,
геаметрычная тэорыя, сістэма аксіём якой адрозніваецца ад сістэмы аксіём эўклідавай геаметрыі толькі аксіёмай (пастулатам) аб паралельнасці. Паводле гэтай аксіёмы, праз пункт, што не ляжыць на зададзенай прамой, праходзяць не менш як 2 прамыя, якія не перасякаюць зададзеную. Л.г. выкарыстоўваецца ў тэорыі функцый, матэм. аналізе, тэорыі лікаў і тэорыі адноснасці.
Л.г. распрацавана М.І.Лабачэўскім у 1826 (апублікавана ў 1829—30). У 1832 аналагічныя вынікі незалежна атрымаў Я.Больяй. Перадумовай узнікнення Л.г. былі шматвяковыя спробы доказу аксіёмы пра паралельныя прамыя (пяты пастулат Эўкліда) на аснове астатніх аксіём. Лабачэўскі першы прыйшоў да высновы пра недаказальнасць пастулата і пра магчымасць існавання геам. сістэм з інш. аксіёмамі паралельнасці, пабудаваў своеасаблівую лагічна бездакорную геам. сістэму. Л.г. мае некаторыя асаблівасці (напр., 2 трохвугольнікі з роўнымі вугламі роўныя; сума вуглоў трохвугольніка меншая за 2 прамыя вуглы), якія не супярэчаць рэчаіснасці. Стварэнне Л.г. заклала асновы развіцця неэўклідавых геаметрый. значна пашырыла ўяўленні аб прыродзе прасторы і спрыяла ўзнікненню новых кірункаў у матэматыцы.
Літ.:
Смородинский Я.А., Сурков Е.Л. Геометрия Лобачевского и теория относительности. М., 1971;
Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение. М.,1976.
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
...МЕТРЫЯ (ад грэч. metreō вымяраю), другая састаўная частка складаных слоў, якая адпавядае па значэнні слову «вымярэнне» (напр., геаметрыя, стэрэаметрыя).
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
ПАЎЛАВЕ́Ц (Вячаслаў Генадзевіч) (н. 1.10.1959, г. Бійск Алтайскага краю, Расія),
бел. мастак. Скончыў Бел. тэатр.маст. ін-т (1982). З 1984 маст. рэдактар час. «Мастацтва». Працуе пераважна ў тэхніках акварэлі, пастэлі. Творам уласцівы лірызм, філас. падыход да адлюстравання рэчаіснасці, разнастайнасць выкарыстання тэхн. сродкаў і форм выяўлення ў спалучэнні з рэаліст. манерай выканання. Сярод твораў: серыі акварэляў «Помнікі гісторыі і культуры Беларусі» (1982), «Бацькаўшчына» (1984—86), «Уражанні» (1991), «Дрэвы» (1992), «Матэрыя часу», «Рэальнасць нерэальнасці», «Рух падсвядомасці» (усе 1993), «Стварэнне літары» (1994), «Геаметрыя краявіду» (1997—99). «Мроі і ўспаміны» (2000).
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
ПЛАНІМЕ́ТРЫЯ (ад лац. planum плоскасць + ...метрыя),
раздзел геаметрыі, які вывучае ўласцівасці фігур, размешчаных у адной плоскасці. Поўнае і сістэматызаванае выкладанне П. ўпершыню прыведзена ў «Асновах» Эўкліда (гл.Эўклідава геаметрыя).
Беларуская Энцыклапедыя (1996—2004, правапіс да 2008 г., часткова)
ПСЕЎДАСФЕ́РА (ад псеўда... + сфера),
паверхня пастаяннай адмоўнай крывізны, утвораная вярчэннем трактрысы вакол яе асімптоты. Сфера адрозніваецца ад П. пастаяннай дадатнай крывізной. Унутраная геаметрыя (сукупнасць фактаў, атрыманых пры вымярэннях на самой паверхні) П. супадае з Лабачэўскага геаметрыяй.
