Verbum

НЕЙТРЫ́ННАЯ АСТРАФІ́ЗІКА,

раздзел астрафізікі, які вывучае фіз. працэсы ў касм. аб’ектах, што адбываюцца з удзелам нейтрына.

У Сусвеце адрозніваюць нейтрына: касмалагічныя (рэліктавыя), зоркавыя і касм. нейтрына вял. энергій. Рэліктавыя нейтрына знаходзіліся ў цеплавой раўнавазе з рэчывам на працягу ~I с пасля пачатку расшырэння Сусвету. Гарачы газ рэліктавых нейтрына з таго часу астыў, цяпер яго т-ра 1,9 К і сярэдняя энергія нейтрына ~5∙10​⁻⁴эВ. Зоркавыя нейтрына ўзнікаюць ад 2 крыніц. Зоркі ў стацыянарным стане атрымліваюць сваю энергію ад ядз. рэакцый у асноўным т.зв. вадароднага цыкла (гл. Тэрмаядзерныя рэакцыі). Па свяцільнасці Сонца можна вылічыць агульны паток нейтрына, які роўны 1,8∙10​³⁸ нейтрына/с. Зоркі з масай, большай за масу Сонца ў 1,2—8 разоў, трансфармуюцца ў нейтронную зорку альбо чорную дзіру. Асн. механізм выпрамянення энергіі на завяршальных стадыях эвалюцыі такіх зорак — выпрамяненне нейтрына, утвораных у ядз. рэакцыях. Пры гравітацыйным калапсе зоркі з масай, роўнай 2 масам Сонца, каля 15% усёй энергіі зоркі пераходзіць у энергію нейтрына. Энергія асобных нейтрына 10—12 МэВ, працягласць нейтрыннага імпульсу 10—20 с. Касмічныя нейтрына вял. энергій утвараюцца ў касм. аб’ектах у выніку сутыкнення касм. прамянёў з ядрамі атамаў ці з фатонамі малых энергій. Асн. галактычныя крыніцы нейтрына — падвойныя зоркі, маладыя абалонкі звышновых зорак, пульсары і чорныя дзіры.

Літ.:

Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика. М., 1967;

Астрофизика космических лучей. 2 изд. М., 1990;

Новиков И.Д. Эволюция Вселенной. 3 изд. М., 1990.

І.​С.​Сацункевіч.

т. 11, с. 277

ПАНАФРЫКАНІ́ЗМ,

міжнародны ідэйна-паліт. рух, які ўзнік на мяжы 19 і 20 ст. сярод негрыцянскага насельніцтва ЗША і Вест-Індыі. Напачатку знаходзіўся пад моцным уплывам М.​Гарві, які лічыў, што негрыцянскае пытанне можна вырашыць толькі шляхам перасялення ўсіх неграў на «гіст. радзіму» — у Афрыку. Пасля 1-й сусв. вайны рух П. ўзначаліў У.Э.Б.Дзюбуа, пад кіраўніцтвам якога пачалася арганізаваная барацьба супраць расавай дыскрымінацыі, за роўныя правы для чорных і белых. У 1919, 1921, 1923 і 1927 адбыліся панафр. кангрэсы. З 1930-х г. усё большы ўдзел у панафр. руху прымаюць выхадцы з самой Афрыкі. Сенегалец Л.​Сенгор прапанаваў канцэпцыю негрыцюду — самабытнасці афр. культуры. Адначасова ў П. ўзмацнілася сацыяліст. плынь на чале з Дж.​Пэдмарам. У кастр. 1945 у Манчэстэры (Вялікабрытанія) адбыўся 5-ы Панафр. кангрэс, на якім прадстаўнікі Афрыкі, у т. л. будучыя дзярж. дзеячы К.Нкрума, Дж.Кеніята, Х.​К.​Банда, А.​Авалова, мелі ўжо больш за палавіну месцаў. Кангрэс выпрацаваў паліт. праграму ліквідацыі еўрап. калан. сістэмы ў Афрьщы і стварэння незалежных афр. дзяржаў. Гэтым быў дадзены моцны штуршок стварэнню ў афр. калоніях мясц. паліт. партый і рухаў і працэсу дэкаланізацыі Афрыкі ў 1950—60-я г. Некаторыя радыкальныя прыхільнікі П. (Нкрума) заклікалі да стварэння адзінай афр. дзяржавы, але іх ідэі знайшлі ўвасабленне толькі ў стварэнні Арг-цыі афр. адзінства (1963) і шэрагу рэгіянальных афр. міждзярж. саюзаў. 6-ы Панафр. кангрэс (Дар-эс-Салам, 1969) канстатаваў моцныя рознагалоссі ў руху П. і знікненне яго як адзінага руху.

т. 12, с. 44

МІКРАПРАЦЭ́САР (англ. microprocessor),

электронная прылада кіравання і апрацоўкі інфармацыі, якая праграмуецца і складаецца з мікрасхем (адной ці некалькіх) высокай ступені інтэграцыі (гл. Інтэгральная схема). Выкарыстоўваецца як цэнтр. працэсар, напр. у мікра-ЭВМ, як прылада кіравання і апрацоўкі інфармацыі для перыферыйных блокаў ЭВМ, а таксама ў сістэмах кіравання тэхнал. і кантрольна-выпрабавальнага абсталявання, трансп. сродкаў, касм. апаратаў і інш.

Па функцыян. магчымасцях адпавядае працэсару ЭВМ, выкананаму на 20—40 мікрасхемах малой і сярэдняй ступені інтэграцыі, мае большае хуткадзеянне, істотна меншыя памеры, энергаспажыванне і інш. (у параўнанні з інш. выліч. прыладамі). Бываюць секцыянаваныя (з мікрапраграмным кіраваннем; дазваляюць пашыраць разраднасць, функцыян. магчымасці і інш.) і аднакрыштальныя (маюць фіксаваную разраднасць і пастаянны набор камандаў). Паводле віду ўваходных сігналаў М. падзяляюць на лічбавыя (прызначаны для лічбавай апрацоўкі сігналаў) і аналагавыя (прызначаныя для работы ў даследчых выліч. комплексах; дадаткова маюць аналагава-лічбавыя і лічбава-аналагавыя пераўтваральнікі). Найб. пашыраны аднакрыштальныя маларазрадныя М. для выкарыстання ў простых сістэмах кіравання, а таксама 64-разрадныя для прафес. ЭВМ. Першы М. Intel 4004 (1971) меў да 2250 транзістараў на адным крэмніевым крышталі, працаваў на частаце 750 кГц, выконваў да 60 тыс. аперацый за секунду ў якасці цэнтр. працэсара 4-разраднай ЭВМ і быў логікавым блокам, канкрэтнае прызначэнне якога можна задаваць праграмаваннем. Сучасныя М. маюць на адным крышталі да дзесяткаў мільёнаў транзістараў, працуюць на частотах у сотні мегагерц і выконваюць мільярды аперацый за секунду.

Літ.:

Корнеев В.В., Киселев А.В. Современные микропроцессоры. М., 1998.

М.​М.​Далгіх.

т. 10, с. 360

МЕЗО́ННАЯ ХІ́МІЯ,

раздзел хіміі, які вывучае атамныя сістэмы, дзе ядро атама заменена інш. дадатнай часціцай (напр., μ​⁺-мюонам, пазітронам) або электрон заменены інш. адмоўнай часціцай (напр., μ​⁻ мюонам, π​⁻- ці K​⁻-мезонам). Узнікла ў 1960-я г. ў сувязі з даследаваннямі хім. рэакцый, якія адбываюцца пры ўзаемадзеянні мюонаў з рэчывам. З дапамогай М.х. атрымліваюць даныя аб размеркаванні электроннай шчыльнасці, крышталічнай і магн. структуры рэчыва, механізме і скорасці хім. рэакцый.

Асн. кірункі даследаванняў у М.х.: π​⁻- і μ​⁻ М.х., вывучэнне паводзін μ​⁺-мюона ў рэчыве і рэакцый мюонія. У π​⁻- М.х. асн. з’яўляецца рэакцыя перазарадкі π​⁻-мезона на пратонах π​⁻ + p → n + π​⁰, імавернасць якой залежыць ад зараду ядра атама, з якім злучаны вадарод, тыпу сувязі паміж атамамі вадароду і інш., што дае магчымасць адрозніць хімічна звязаны вадарод ад свабоднага вадароду. У аснове μ​⁻- М.х. ляжыць вымярэнне энергій і інтэнсіўнасцей асобных ліній у рэнтгенаўскіх спектрах мезаатамаў. Асаблівасці рэнтгенаўскага выпрамянення μ​⁻-атамаў дазваляюць вызначыць элементны састаў узору, а таксама від хім. злучэння гэтых элементаў. μ​⁺-мюон і мюоній па сутнасці з’яўляюцца мечанымі атамамі, за рухам якіх можна сачыць ад моманту нараджэння да моманту распаду. Напр., лакальныя магн. палі ў крышталях узаемадзейнічаюць са спінам мюона і змяняюць карціну яго прэцэсіі, што дазваляе вывучаць характарыстыкі ўнутраных магн. палёў. На аснове вывучэння рэакцый мюонію робяць высновы аб рэакцыях атамарнага вадароду.

Літ.:

Кириллов-Угрюмов В.Г., Никитин Ю.П., Сергеев Ф.М. Атомы и мезоны. М., 1980;

Евсеев В.С., Мамедов Т.Н., Роганов В.С. Отрицательные мюоны в веществе. М., 1985.

т. 10, с. 259

ІМАВЕ́РНАСЦЕЙ ТЭО́РЫЯ,

матэматычная тэорыя, якая вывучае імавернасці выпадковых падзей і дае магчымасць вызначыць імавернасці складаных падзей праз імавернасці простых, калі вядома, як састаўлены з іх складаныя падзеі. Асн. аб’ект вывучэння І.т. — паслядоўнасці і сем’і выпадковых велічынь. І.т. будуецца на аснове мностваў тэорыі і тэорыі меры (гл. Мера мноства). Гэты падыход распрацаваны А.М.Калмагоравым. І.т. выкарыстоўваецца ў стат. фізіцы, матэм. статыстыцы, імавернаснай логіцы, а таксама ў біялогіі, ваен. справе, тэхніцы і інш.

Зыходныя паняцці І.т. — паняцці выпадковай падзеі і яе імавернасці. Падзеі рэчаіснасці бываюць: дакладныя — заўсёды адбываюцца; немагчымыя — ніколі не адбываюцца; выпадковыя — часам адбываюцца, а часам не. З двух выпадковых падзей A і B можна ўтварыць складаныя падзеі: аб’яднанне (суму) A∪B — {адбудзецца ці A, ці B}, перасячэнне (здабытак) A∩B — {адбудуцца і A і B}, рознасць A\B — {адбудзецца A, але не адбудзецца B}. Выкарыстоўваючы гэтыя аперацыі над дзвюма ці больш падзеямі, атрымліваюць складаныя падзеі. Мяркуецца, што для кожнай выпадковай падзеі A вызначана імавернасць — лік P(A), які задавальняе ўмовам: P(A)>0; калі падзеі A і B не могуць адбыцца адначасова, тады P(A∪B) = P(A) + P(B); імавернасць дакладнай падзеі роўна 1. У прасцейшых выпадках гэтыя ўмовы відавочныя; у агульным выпадку яны прымаюцца без доказу (аксіёмы). Па фармальных (матэм.) правілах атрымліваюць шэраг тэарэм пра імавернасці складаных падзей. Калі ажыццяўленне падзеі A не залежыць ад таго, адбудзецца ці не падзея B, тады A і B — незалежныя падзеі. Імавернасць P(A∩B) сумеснага ажыццяўлення дзвюх незалежных падзей A і B роўна P(A)∙P(B). Часам, калі нават дакладна можна запісаць імавернасці пэўных выпадковых падзей, вылічыць іх цяжка. Напр., імавернасць Pn(m) таго, што ў серыі з n незалежных ажыццяўленняў выпадковай падзеі A з P(A) = p(p ≠ 0,1) яна адбудзецца m разоў, роўна C_n​^mp​^mq​^n-m, дзе C_n​^m — лік спалучэнняў з n элементаў na m, q = 1 − p. Пры вялікіх n і m для вылічэння імавернасцей тыпу Pn(m) выкарыстоўваюць лімітавыя тэарэмы: 1) калі n→∞, то $P_n\text{(}m\text{)}~\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }npq}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ пры ўмове, што $x=\frac{m-np}{\sqrt{npq}}$ застаецца ў межах фіксаванага інтэрвалу (лакальная тэарэма Муаўра—Лапласа); 2) пры кожных фіксаваных ліках a і b, (a<b), $limP\text{(}a\le \frac{m-np}{\sqrt{npq}}<b\text{)}=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$ (інтэгральная тэарэма Муаўра—Лапласа). Да лімітавых тэарэм адносіцца таксама вялікіх лікаў закон, які мае важнае значэнне для філас. асэнсавання І.т. і ў дастасаваннях. Вял. ўклад у развіццё лімітавых тэарэм зрабілі П.​Л.​Чабышоў і А.​М.​Ляпуноў. Узнікненне большасці лімітавых тэарэм звязана з тэорыяй выпадковых працэсаў. На Беларусі І.т. даследуецца ў асноўным ў БДУ (Г.​А.​Мядзведзеў, Ю.​С.​Харын і інш.).

Літ.:

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 6 изд. М., 1988;

Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.; Л., 1936;

Лоэв М. Теория вероятностей: Пер. с англ. М., 1962;

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ. Т. 1—2. М., 1984;

Ширяев А.Н. Вероятность. М., 1980.

В.​І.​Бернік, У.​Г.​Спрынджук.

т. 7, с. 207

АНТЫУТО́ПІЯ,

плынь грамадскай думкі, прадстаўнікі якой адмаўляюць магчымасць стварэння дасканалага грамадства і лічаць, што любыя намаганні пабудаваць адвольна спраектаваны грамадскі лад прыводзяць да катастрафічных наступстваў. Гіст. антыутопія паходзіць ад сатыр. традыцыі Дж.​Свіфта, Вальтэра, У.​Ірвінга, С.​Батлера, М.​Е.​Салтыкова-Шчадрына, Г.​К.​Чэстэртана, Г.​Уэлса і інш. У раманах і публіцыст. творах Я.​Замяціна («Мы»), О.​Хакслі («Гэты цудоўны новы свет», «Малпа і сутнасць»), Дж.​Оруэла («Ферма жывёл», «1984 год»), А.​Кёстлера («Цемра ў поўдзень»), Л.​Мэмфарда («Міф аб машыне») і інш. утапічныя праекты ўяўляюцца як насілле над чалавечай прыродай, якое вядзе да таталітарызму. Да твораў-антыутопій можна далучыць і раманы-папярэджанні Дж.​Лондана, К.​Чапека, А.​Франса, Р.​Брэдберы, А.​Азімава, І.​Яфрэмава і інш. Асаблівае пашырэнне антыутопія набыла пасля Кастрычніцкай рэвалюцыі 1917 у Расіі, якая практычна пацвердзіла немагчымасць ажыццяўлення сац. ідэалаў. Як і утопія, антыутопія гал. чынам канструюецца з дапамогай метаду ідэалізацыі, але з адваротным знакам. Пры гэтым у ёй могуць выкарыстоўвацца прадказанні, у т. л. і навук. прагнозы. Антыутопія заснавана на абсалютызацыі аб’ектыўных негатыўных тэндэнцый і ўяўляе сабой вобразатвор абсалютна недасканалага, дрэннага і суб’ектыўна непажаданага з пункту погляду безумоўных агульначалавечых каштоўнасцяў грамадскага ладу. Антыутопія ў пэўнай меры выконвае і функцыю рэгулятара дзейнасці і функцыю папярэджання, перасцярогі ад утопіі. Створаны ў ёй вобраз грамадскага будучага можа выкарыстоўвацца ў якасці ідэалізаванага аб’екта ў сац. пазнанні.

Літ.:

Бердяев Н. ...Смысл истории. М., 1990;

Утопия и утопическое мышление. Антол. зарубеж. лит.: Пер. с англ., нем., фр. и др. М., 1991.

Г.​А.​Антанюк.

т. 1, с. 401

КНЯЗЬ,

кіраўнік манархічнай дзяржавы ці асобнага паліт. ўтварэння (удзельны К.) пераважна ў 9—16 ст. у славян і інш. народаў; пазней дваранскі тытул. Першапачаткова К. — правадыр племя часоў дакласавай ваен. дэмакратыі; паступова ён ператварыўся ў кіраўніка феад. дзяржавы, напачатку выбарнага, потым спадчыннага (напр., Рурыкавічы на Русі, Гедзімінавічы і Ягелоны ў ВКЛ, Пясты ў Польшчы, Пржэмыславічы ў Чэхіі). К., што ўзначальвалі ВКЛ і буйныя дзярж. ўтварэнні на Русі, наз. вялікімі князямі. У Польшчы, Чэхіі, Румыніі і Сербіі кіруючыя К. прынялі каралеўскі тытул. З утварэннем цэнтралізаваных манархій удзельныя К. паступова страчвалі свае суверэнныя правы і станавіліся прыдворнымі велікакняжацкіх двароў Расіі (з 1547 царскага) і ВКЛ, каралеўскага ў Польшчы і інш. Паступова з разрастаннем княжацкіх родаў значэнне тытула К. зменшылася. Стаць К. у ВКЛ і Польшчы можна было толькі праз нараджэнне ў сям’і К. (выключэнне — прадстаўнікі вышэйшага каталіцкага духавенства — біскупы і канонікі, якія карысталіся княжацкім тытулам пажыццёва), таму бел. магнаты Радзівілы (у 16 ст.) і Сапегі (у 18 ст.) набылі сабе ад імператараў «Свяшчэннай Рым. імперыі» ганаровы тытул імперскіх К. У Расіі да 18 ст. тытул К. быў таксама толькі радавым. З 1707 рас. цары пачалі надаваць тытул К. вышэйшым саноўнікам за асаблівыя заслугі перад дзяржавай. Адначасова ў Расіі на ўзор «Свяшчэннай Рым. імперыі» ўведзена больш высокая за звычайны княжацкі тытул ступень княжацкай годнасці — тытул святлейшага К. («яго светласці», у адрозненне ад «іхніх сіяцельстваў» — інш. князёў). Княжацкія тытулы ў Расіі адменены ў адпаведнасці з дэкрэтам ВЦВК «Аб знішчэнні саслоўяў і грамадзянскіх чыноў» ад 10(23).11.1917.

М.​Г.​Нікіцін.

т. 8, с. 366

МА́РХЕЛЬ (Таццяна Рыгораўна) (н. 19.1.1939, в. Шпакоўшчына Смалявіцкага р-на Мінскай вобл.),

бел. актрыса. Засл. арт. Беларусі (1984). Скончыла Бел. театр.-маст. ін-т (1963). З 1963 у Гродзенскім, з 1967 у Магілёўскім абл. драм. т-рах, з 1970 у Бел. т-ры імя Я.​Коласа, з 1987 у Т-ры-студыі кінаакцёра, з 1994 у Рэсп. т-ры бел. драматургіі. Характарная актрыса. Створаныя М. вобразы вылучаюцца лірызмам, дакладнасцю псіхалагічнага малюнка, пранікненнем у сутнасць нац. характару, мілагучнай мовай. Найб. значныя ролі: у т-ры імя Я.​Коласа — Маці і Ганна («Сымон-музыка» і «На дарозе жыцця» паводле Я.​Коласа), Вольга Усцінаўна («Снежныя зімы» паводле І.​Шамякіна), Бажашуткава («Амністыя» М.​Матукоўскага), Ганна («Вечар» А.​Дударава), Іхметава («Прыніжаныя і зняважаныя» паводле Ф.​Дастаеўскага), пані Проціч («Доктар філасофіі» Б.​Нушыча); у Т-ры-студыі кінаакцёра — Батлейшчыца («Дзіця з Віфлеема» М.​Пінігіна паводле бел. нар. песень, запісаных М.); у т-ры бел. драматургіі — Магрэта («Паваліўся нехта» паводле У.​Галубка і Л.​Родзевіча), герцагіня Йоркская і Ведзьма («Рычард III» і «Макбет» У.​Шэкспіра), Гіра («Узлёт Артура VI, які можна было спыніць» Б.​Брэхта), Мірчуткіна («Шампань-скага!» паводле жартаў А.​Чэхава «Сватаўство», «Юбілей») і інш. Першая выканаўца партыі жаночага голасу ў 3-й сімфоніі «Белая вежа» А.​Янчанкі, а таксама бел. нар. песень у спектаклі «Сымон-музыка», тэлеспектаклі «Новая зямля», кінафільме «Людзі на балоце» і інш. Пранікнёнасць гучання голасу, свабодная імправізацыйная манера блізкія да народна-песеннай выканальніцкай традыцыі. Здымаецца ў кіно («Подых навальніцы», «Трэцяга не дадзена», «Кантрольная па спецыяльнасці», «Радаўніца», «Плач перапёлкі», «Маці Урагану», «Яўдоха» і інш.).

А.​В.​Скорабагатчанка.

т. 10, с. 144

ВЫЛІЧА́ЛЬНАЯ МАТЭМА́ТЫКА,

раздзел матэматыкі, у якім распрацоўваюцца і даследуюцца метады лікавага рашэння матэм. задач. Метады вылічальнай матэматыкі прыбліжаныя, падзяляюцца на аналітычныя (даюць прыбліжаныя рашэнні ў выглядзе аналітычнага выразу) і лікавыя (у выглядзе табліцы лікаў).

Узнікненне вылічальнай матэматыкі звязана з неабходнасцю рашэння асобных задач (вымярэнне адлегласцей, плошчаў, аб’ёмаў і інш.). Развіццё навукі, асабліва астраноміі і механікі, спрыяла развіццю матэматыкі ўвогуле і вылічальнай матэматыкі ў прыватнасці. Складаліся табліцы эмпірычна знойдзеных залежнасцей, што прывяло да ўзнікнення паняцця функцыі і задачы інтэрпалявання (гл. Інтэрпаляцыя). Поспехі вылічальнай матэматыкі звязаны з імёнамі І.​Ньютана, Л.​Эйлера, М.​І.​Лабачэўскага, К.​Ф.​Гаўса, П.​Л.​Чабышова, С.​А.​Чаплыгіна, А.​М.​Крылова, А.​М.​Ціханава, А.​А.​Самарскага, У.​І.​Крылова, Л.​В.​Кантаровіча і інш. Многія задачы вылічальнай матэматыкі можна запісаць у выглядзе y=Ax, дзе x і y належаць зададзеным мноствам X і Y, A — некаторы аператар. Для рашэння задачы трэба знайсці у па зададзеным х ці наадварот. У вылічальнай матэматыцы гэта задача рашаецца заменай мностваў X, Y і аператара A (ці толькі некаторых з іх) іншымі, зручнымі для вылічэнняў. Замена робіцца так, каб рашэнне новай задачы y=Bx было ў нейкім сэнсе блізкім да рашэння першапачатковай задачы. Напр., калі ў якасці Ax узяць інтэграл ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}x\text{(}t\text{)}dt}$ , то прыбліжанае значэнне яго ў многіх выпадках можна вылічыць паводле т.зв. квадратурнай формулы ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}x\text{(}t\text{)}dt\approx {\sum }_{k-1}^n{A}_{k}x\text{(}{t}_k\text{)}}$ , дзе $A_k$ і $t_k$ — некаторыя фіксаваныя лікі. Гэта адна з класічных задач вылічальнай матэматыкі. Пры рашэнні яе, асабліва ў выпадку кратнага (шматразовага) і кантынуальнага інтэгравання, карыстаюцца Монтэ-Карла метадам. Прынцыповае значэнне ў вылічальнай матэматыцы належыць тэорыі прыбліжэння функцый, якая адыгрывае і агульнаматэм. ролю. Адна з характэрных задач прыбліжэння функцый — задача інтэрпалявання, г.зн. пабудова для зададзенай функцыі $𝑓\text{(}t\text{)}$ прыбліжанай функцыі ${𝑓}_n\text{(}t\text{)}$, якая супадае з $𝑓\text{(}t\text{)}$ у фіксаваных вузлах t₁, t₂, ..., t_n. У тэорыі прыбліжэння функцый сапраўднага (а пазней і камплекснага) пераменнага распрацоўваліся метады прыбліжэння функцый аднаго класа функцыямі інш. класаў, а таксама вывучаліся пытанні збежнасці і ацэнак прыбліжэнняў. Найб. пашыраныя задачы вылічальнай матэматыкі — задачы алгебры [рашэнне сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, вылічэнне вызначнікаў (дэтэрмінантаў) і адваротных матрыц, знаходжанне ўласных вектараў і ўласных значэнняў матрыц, вызначэнне каранёў мнагачленаў]. У задачы прыбліжанага рашэння сістэмы лінейных ураўненняў A_x=b, дзе A — квадратная матрыца, x і b — вектары-калонкі, часта выкарыстоўваюцца ітэрацыйныя метады. Многія ітэрацыйныя метады рашэння гэтай сістэмы маюць выгляд ${\displaystyle x^k=x^{k-1}+B_k\text{(}b-A{x}^{k-1}\text{)}}$ , дзе ${\displaystyle B_k\text{(}k=\mathrm{1,\; 2,\; ...}\text{)}}$ — некаторая паслядоўнасць матрыц, x° — пачатковае прыбліжэнне, часам адвольнае. Розны выбар матрыц B_k дае розныя ітэрацыйныя працэсы. Значную частку вылічальнай матэматыкі складаюць прыбліжаныя і лікавыя метады рашэння звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў, дыферэнцыяльных ураўненняў у частковых вытворных, інтэгральных ураўненняў, інтэгра-дыферэнцыяльных ураўненняў, вылічальныя метады варыяцыйнага злічэння, аптымальнага кіравання, задач стахастычнага аналізу і інш. З’яўленне вылічальных машын значна расшырыла кола задач і стымулявала далейшую распрацоўку метадаў вылічальнай матэматыкі з улікам магчымасцей вылічальных машын, у прыватнасці распрацоўкі спец. алгарытмаў, арыентаваных на паралельную рэалізацыю.

На Беларусі даследаванні па ўсіх асн. кірунках вылічальнай матэматыкі і падрыхтоўкі навук. кадраў пачаліся з 1950-х г. у АН і БДУ пад кіраўніцтвам акад. У.​І.​Крылова; асобныя пытанні вылічальнай матэматыкі распрацоўваліся і раней.

Літ.:

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. 3 изд. М., 1966;

Т. 2. 2 изд. М., 1962;

Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. 5 изд. М.; Л., 1962;

Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2 изд. М., 1967;

Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Мн., 1968;

Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Мн., 1968;

Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 2 изд. М.; Л., 1963;

Янович Л.А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. Мн., 1976.

Л.​А.​Яновіч.

т. 4, с. 311

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы m радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Ізобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.​С.​Багданаў, М.​А.​Ізобаў.

т. 6, с. 301