Verbum

МА́САВАГА АБСЛУГО́ЎВАННЯ ТЭО́РЫЯ,

раздзел імавернасцей тэорыі, які вывучае працэсы абслугоўвання ў сістэмах з уваходным выпадковым патокам патрабаванняў (кліентаў, выклікаў ці інш.) і правіламі (алгарытмам) іх абслугоўвання. Тыповыя аб’екты М.а.т.: аўтам. телеф. станцыі, вылічальныя сістэмы, камп’ютэрныя сеткі, прадпрыемствы гандлю, медыцыны, аэрадромы, аўтадарогі і чыгункі, білетныя касы, арганізацыі па рамонце і прафілактычным абслугоўванні і інш.

Узнікла ў 1920-я г. са стварэннем сістэм тэлеф. сувязі і неабходнасцю разліку іх прапускной здольнасці. Асн. задача М.а.т.: вывучэнне стацыянарных характарыстык выпадковых працэсаў з мэтай выбару рацыянальнай структуры сістэмы масавага абслугоўвання, а таксама працэсу абслугоўвання; у прыватнасці, даследуюцца размеркаванні розных параметраў, што характарызуюць стан сістэмы (даўжыні чэргаў, час чакання пачатку абслугоўвання, інтэрвалы занятасці, імавернасці адмовы і інш.). Асн. дастасаванні — разлік сетак, якія складаюцца з сістэм абслугоўвання (напр., сістэмы сувязі з вял. прапускной здольнасцю). Сістэму абслугоўвання можна ўявіць як набор прылад (каналаў) абслугоўвання; калі яны занятыя, то запатрабаванні, што паступаюць, назапашваюцца і ўтвараюць чэргі, прасоўванне якіх адбываецца паводле пэўных правіл. Для дастаткова простых сістэм абслугоўвання ўдаецца знайсці патрэбныя характарыстыкі аналітычнымі метадамі. напр., на аснове маркаўскіх працэсаў. Для больш складаных сістэм выкарыстоўваюцца асімптатычныя метады даследаванняў, а таксама мадэліраванне выпадковых працэсаў з дапамогай Монтэ-Карла метаду.

Літ.:

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания М., 1963;

Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1966;

Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М., 1982.

В.​С.​Гардон, М.​П.​Савік.

т. 10, с. 162

КАШТО́ЎНАСЦЬ,

станоўчая або адмоўная значнасць для чалавека і грамадства пэўных з’яў рэчаіснасці і аб’ектаў навакольнага асяроддзя. Носьбітам К. з’яўляецца нешта канкрэтнае (прадмет, рэч, дзеянне, з’ява), а сама К. ёсць значэнне дадзенага аб’екта для суб’екта. Таму матэрыяльным або духоўным можа быць носьбіт К., а не сама К. З фармальнага пункту погляду К. падзяляюцца на пазітыўныя і негатыўныя, адносныя і абсалютныя, суб’ектыўныя і аб’ектыўныя. У залежнасці ад зместу грамадскіх ідэалаў, маральных прынцыпаў і норм К. могуць быць агульначалавечымі (дабро — зло, любоў — нянавісць, давер — варожасць, праўда — хлусня, шчырасць — крывадушнасць) і канкрэтна-гістарычнымі (патрыярхат — матрыярхат, роўнасць — бяспраўнасць, дэмакратыя — аўтарытарызм). Другой формай існавання К. з’яўляецца канкрэтнае прадметнае ўвасабленне чалавечых учынкаў і грамадскіх каштоўнасных ідэалаў (этычных, эстэт., паліт., прававых, рэліг. і інш.). Да прадметных К. адносяць натуральныя даброты і зло, якія заключаюцца ў прыродных багаццях і стыхійных бедствах; сац. даброты і зло, што абумоўлены сутнасцю грамадскіх адносін ці палітыкай дзяржавы; культ. спадчыну мінулага, якая выступае ў форме багацця сучаснікаў; эстэт. характарыстыкі прыродных і грамадскіх аб’ектаў, твораў матэрыяльнай і духоўнай культуры (прыгожае — агіднае, узнёслае — нізкае і г.д.); маральнае дабро і зло, што заключаюцца ў дзеяннях людзей; прадметы рэліг. пакланення і г.д. Адрозніваюць таксама асобасныя К., якія ўваходзяць у псіхал. структуру асобы ў форме каштоўнаснай арыентацыі, мэты і выконваюць функцыю рэгулятараў паводзін індывіда.

Каштоўнасныя арыентацыі і сістэмы ацэнак фарміруюцца і відазмяняюцца ў гіст. развіцці грамадства. У культуры Стараж. Грэцыі яны склаліся ў выніку распаду першабытнай каштоўнаснай свядомасці на самаст. яе мадыфікацыі — прававыя, паліт., рэліг., эстэт., маральныя і мастацкія. У працэсе ўтварэння самаст. дзяржаў атрымалі заканад. афармленне прававыя адносіны, якія вызначалі абавязкі і правы кожнай часткі грамадства — індывіда, сац., этн. і паліт. груп. З ускладненнем сац. структуры грамадства прававыя спосабы яго арг-цыі дапоўніліся паліт. К., якія ўвасабляліся ў пэўных праграмах, тэарэт. канцэпцыях, ідэалаг. сістэмах і адпаведных сістэмах К. (патрыятызм, грамадзянскасць, нац. і саслоўная гордасць, класавая салідарнасць, парт. дысцыпліна і да т.п.). Народжаныя эканам., этн., сац.-псіхал. і ідэалаг. падзелам чалавецтва, паліт. К. то садзейнічалі кансалідацыі грамадства, то прыводзілі да разбурэння яго цэласнасці, апраўдання ваен. і рэв. канфліктаў. У сярэдзіне 20 ст., з прычыны пагрозы самазнішчэння чалавецтва ў выніку ўнутр. разладу, ядзернай катастрофы або экалагічнага крызісу, узнікла ўсведамленне прыярытэту агульначалавечых К., якія здольны прывесці да адмірання паліт. адносін, а значыць, і паліт. К. Гэтыя К. адлюстроўваюць шматвяковы вопыт сац.-паліт. развіцця свету, светапоглядныя ідэалы, маральныя нормы развіцця цывілізацыі і з’яўляюцца агульнымі для ўсіх людзей незалежна ад якіх-н. адрозненняў (самакаштоўнасць чалавечага жыцця, свабода, шчасце, міласэрнасць і інш).

Засваенне выпрацаваных на кожным гіст. этапе К. складае неабходную аснову фарміравання унікальнага ўнутр. свету кожнага чалавека, які з’яўляецца асновай яго непаўторнай асобы і індывідуальнасці, эфектыўнага развіцця і функцыянавання грамадства і чалавечай супольнасці ў цэлым. Філас. праблемы прыроды і сутнасці К. з’яўляюцца прадметам даследавання спец. навукі — аксіялогіі.

Літ.:

Ценности культуры и современная эпоха. М., 1990;

Чумаков А.Н. Философия глобальных проблем. М., 1994;

Каган М.С. Философская теория ценности. СПб., 1997;

Маслоу А. Психология бытия: Пер. с англ. М.;

Киев, 1997.

С.​Ф.​Дубянецкі.

т. 8, с. 200

ГІСТАРЫ́ЧНЫЯ ЗМЕ́НЫ ГУ́КАЎ у мовазнаўстве, гукавыя змены, якія нельга вытлумачыць фанетычнымі пазіцыямі ў слове, характэрнымі для кожнага гука сучаснай мовы. Адбываюцца на працягу пэўнага гіст. часу, пасля чаго іх дзеянне спыняецца. Вынікам гістарычнай змены гукаў з’яўляецца знікненне асобных гукаў, з’яўленне новых гукаў або супадзенне некалькіх гукаў у адным.

Так у гісторыі бел. мовы, як і большасці інш. слав. моў, зніклі кароткія (рэдукаваныя) галосныя «ь» і «ъ»; у выніку першай палаталізацыі заднеязычных «г», «х» з’явіліся невядомыя раней «ч», «ж», «ш»; гукі «е» і «ѣ» зліліся ў адным гуку «е». У сучаснай бел. мове гістарычныя змены гукаў адлюстраваліся ў гіст. чаргаваннях: пасля падзення кароткіх «ь», «ъ» з’явілася чаргаванне галосных «е», «о» з нулём гука (напр., «дзень — дня», «сон — сну»); першая палаталізацыя заднеязычных дала чаргаванне «к» — «ч», «г» — «ж», «х» — «ш» (напр., «рука — ручка», «нага — ножка», «страха — стрэшка»). Супадзенне «е» і «ѣ» у адным гуку прывяло да таго, што ў тых словах, дзе быў гук «е» (у т. л. і ўзнікшы «ь») назіраецца чаргаванне «е» — «о» (напр., «вясна — вёсны»), а там, дзе быў «ь» такое чаргаванне (за рэдкімі выключэннямі) не назіраецца (напр., «хлябы — хлеб»). Абсалютную храналогію гістарычнай змены гукаў устанавіць цяжка, а то і немагчыма, таму карыстаюцца адноснай. Так, напр., відавочна, што працэс пераходу «е» ў «о» завяршыўся раней, чым «е» і «ѣ» супалі ў адным гуку.

Літ.:

Янкоўскі Ф.М. Гістарычная граматыка беларускай мовы. 3 выд. Мн., 1989;

Vexler P. A historial phonology of Byelorussian. Heidelberg, 1977.

А.​І.​Падлужны.

т. 5, с. 272

ЗВЫЧА́ЙНЫЯ ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні адносна функцыі адной пераменнай, якая ўваходзіць у гэта ўраўненне разам са сваімі вытворнымі да некаторага парадку ўключна. Найбольшы парадак вытворнай наз. парадкам ураўнення.

Калі З.д.ў. запісана ў форме ${\displaystyle x^{\text{(}n\text{)}}=𝑓}$ ($t$, $x$, $x$′, ..., $x^{\text{(}n-1\text{)}}$) , то кажуць, што гэта ўраўненне n-га парадку ў нармальнай форме. Згодна з тэарэмай існавання і адзінасці ў такога ўраўнення існуе і прычым толькі адно рашэнне з пачатковымі ўмовамі ${\displaystyle x\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_1^0}$ , ${\displaystyle \mathrm{x\prime }\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_2^0}$ ..., ${\displaystyle x^{\text{(}n-1\text{)}}\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_n^0}$ , дзе $t_0$, $x{}_1^0$, $x{}_2^0$, ..., $x{}_{\mathrm{n}}^0$ — адвольны пункт вобласці ${\displaystyle \mathrm{D}\subset {\mathrm{R}}^{1+n}}$ у якой $𝑓$($t$, $x$, ..., $x_n$) — функцыя, неперарыўная разам са сваімі вытворнымі ${𝑓\text{′}}_{x_1}$, ${𝑓\text{′}}_{x_2}$, ..., ${𝑓\text{′}}_{x_n}$. Гэта азначае, што пачатковыя ўмовы цалкам вызначаюць усё мінулае і будучае той рэальнай сістэмы, якая апісваецца гэтым ураўненнем. Пры дапамозе З.д.ў. або іх сістэм мадэлююць дэтэрмінаваныя рэальныя сістэмы (працэсы). Пры гэтым стан сістэмы ў кожны момант часу $t$ павінен апісвацца канечным мноствам параметраў $x_1$, ..., $x_n$. Тады, каб запісаць такаю мадэль, дастаткова ў мностве станаў сістэмы, якую мадэлююць, задаць скорасці пераходу ад аднаго стану сістэмы да яе наступнага стану.

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 7 изд. М., 1984.

У.​Л.​Міроненка.

т. 7, с. 41

НЕАКАНТЫЯ́НСТВА,

ідэалістычны філас. кірунак, які ўзнік у 2-й пал. 19 ст. ў Германіі. Сфарміраваўся ва ўмовах крызісу метадалаг. асноў прыродазнаўства і гіст. навукі, уяўляў сабой спробу яго пераадолення з дапамогай тэарэт. спадчыны І.Канта. Адным з першых філосафаў, які заявіў пра неабходнасць «вярнуцца да Канта» і «ачысціць» вучэнне Канта ад наслаенняў яго паслядоўнікаў, быў О.​Лібман. Н. пашырылася ў Германіі, Аўстрыі, Францыі, Расіі і інш. Найб. вядомымі былі марбургская (Г.​Коген, П.Натарп, Э.Касірэр і інш.) і бадэнская (В.​Віндэльбанд, Г.​Рыкерт і інш.) школы. Нягледзячы на часам прынцыповыя адрозненні ў тлумачэнні кантавай спадчыны, усе неакантыянцы зыходзіліся ў адным — крытычных адносінах да кантавай «рэчы ў сабе». У адрозненне ад самога Канта, які прызнаваў «рэч у сабе» як незалежную ад суб’екта, як рэальна існуючую, яны трактавалі яе, як чалавечы вопыт. Калі Кант спрабаваў строга акрэсліць межы пазнавальнай здольнасці суб’екта і ўрэшце перайшоў на пазіцыі агнастыцызму і суб’ектыўнага ідэалізму, то неакантыянцы ў большай ступені апелявалі да пастулатаў аб’ектыўнага ідэалізму (бога, логаса і г. д.). Яны адрывалі пазнанне ад прадмета пазнання. Прадмет, па іх меркаванні, не дадзены, а зададзены суб’екту. Такім чынам, пазнанне ёсць лагічная пабудова і яна здзяйсняецца па законах мыслення. Н. паўплывала на неагегельянства, экзістэнцыялізм і інш. кірункі.

Літ.:

Кассирер Э. Жизнь и учение Канта: Пер. с нем. СПб., 1997;

Хайдеггер М. Кант и проблема метафизики: Пер. с нем. М., 1997;

Гайденко П.П. Прорыв к трансцемдентмому: Новая онтология XX в. М., 1997.

Т.​І.​Адула.

т. 11, с. 254

АПЛІКА́ЦЫЯ (ад лац. applicatio прыкладванне),

у мастацтве спосаб стварэння дэкору (арнаменту, малюнкаў) і тэатр. дэкарацый, аздаблення адзення, прадметаў побыту і інш. нашываннем ці наклейваннем рознакаляровых кавалачкаў матэрыялаў (тканіны, паперы, саломы, скуры) інш. колеру ці фактуры; твор, выкананы такім спосабам. Пашырана ў многіх народаў свету: украінцаў, чэхаў (аплікацыя саф’янам і сукном скураной вопраткі), палякаў (аплікацыя папяровых выцінанак), манголаў (аплікацыя сукном, лямцам і скураю юртаў, дываноў, сумак), народаў Д. Усходу (аплікацыя футрам і рыбінай скурай дываноў і адзення) і інш. Здаўна вядомая на Беларусі. Аплікацыямі аздаблялі побытавыя рэчы, адзенне; аднатоннымі ці паліхромнымі кавалачкамі саломы, наклеенымі ў выглядзе геам. і стылізаваных раслінных узораў, упрыгожвалі драўляныя куфэркі, сальніцы, рамкі; аплікацыі саломкай па чорным палатне аздаблялі насценныя дываны. З канца 19 ст. аплікацыямі з кавалачкаў фабрычных тканін аздаблялі адзенне (Брэстчына), часам канцы ручнікоў (Случчына). У наш час у тэхніцы аплікацый саломай аздабляюць сувенірныя куфэркі, каробкі, пано і інш.

У літаратуры аплікацыя — уплятанне ў вершаваны тэкст вядомага выслоўя (прымаўкі, радка з песні, верша і інш.). На выкарыстанні нар. прымавак заснаваны верш П.​Панчанкі «Простыя ісціны», радкоў з нар. песні «Дробненькі дожджык дый накрапае» — аднайменны верш Р.​Барадуліна. Своеасаблівы від аплікацыі — уключэнне ў вершаваны тэкст назваў твораў або кніг вядомага пісьменніка, мастака: «То не плач яго Бандароўны, // А зажынкавы спеў ля гаю, // Што калісьці было безназоўным, // і імя і спадчыну мае» (С.​Ліхадзіеўскі. «Светлай памяці Янкі Купалы»).

Я.​М.​Сахута (мастацтва), В.​П.​Рагойша (літаратура).

т. 1, с. 428

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы m радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Лзобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.​С.​Багданаў, М.​А.​Ізобаў.

т. 6, с. 301

АБРА́ДАВАЕ ПЕ́ЧЫВА адзін з элементаў сямейных і каляндарных святаў і абрадаў многіх народаў свету. На Беларусі ім сустракалі і частавалі гасцей, бралі ў поле, едучы першы раз сеяць, пакідалі ў полі на дажынках, давалі жывёле, каб добра вялася, ім клікалі вясной буслоў і г. д. На радзіны звычайна пяклі жытнія пірагі (дарылі бабкам-павітухам), якія з жартамі ламалі, каштавалі, елі з баршчом за святочным сталом. Жанчын, што ішлі ў адведкі, частавалі пірагамі (на Брэстчыне такі пірог наз. скрушок). На вяселле акрамя каравая пяклі пшанічныя пірагі маладым — месяц, падручнік, крыж (булка з крыжам). Падручнік і крыж пяклі для маладой, з імі яна ехала да маладога і клала на века дзяжы свекрыві. Памінальнае печыва заўсёды было прэснае (мёртвы хлеб) — корж, гарачыкі, галушкі, праснак. Корж і гарачыкі крышылі ў канун, «па крошцы» раздавалі прысутным за жалобным сталом. На Каляды пяклі жытнія пірагі-каляднікі, якімі абдорвалі калядоўшчыкаў. На саракі выпякалі 40 піражкоў (птушкі з цеста, галушкі, варэнікі) з макам або з фасоляй (іх называлі саракі, жаваронкі, бапкі). У вялікі пост пяклі храсцы-крыжыкі, саху, барану (булку, абкладзеную шышкамі), якія бралі ў поле, едучы сеяць. На Благавешчанне пяклі пампушкі, галёпы, якімі сустракалі буслоў, на Вялікдзень — здобныя пірагі (паскі, калачы). На Палессі на Юр’я пяклі расянік і хадзілі з ім вакол жыта, у Бярозаўскім р-не гатавалі піражок-юрок і клалі ў жыта (калі жыта яго не закрывала, то гэта прадказвала дрэнны ўраджай). У некаторых мясцінах на Юр’я ішлі ў поле з хлебам і інш. частаваннем. На святы рабілі таксама варэнікі з хлебнага цеста з макам або канапляным семем (на Варвару, Міколу), каржы з мёдам (напярэдадні Купалля).

Г.​Ф.​Вештарт.

т. 1, с. 33

ВЕ́КТАРНАЕ ЗЛІЧЭ́ННЕ,

раздзел матэматыкі, у якім вывучаюцца дзеянні над вектарамі і іх уласцівасці. Яго развіццё ў 19 ст. выклікана патрэбамі механікі і фізікі. Пачалося з даследаванняў У.​Гамільтана і Г.​Грасмана па гіперкамплексных ліках. Падзяляецца на вектарную алгебру і вектарны аналіз.

Вектарная алгебра разглядае лінейныя дзеянні над вектарамі (складанне, адніманне вектараў, множанне вектараў на лік), а таксама скалярны здабытак, вектарны здабытак і змешаны здабытак вектараў. Сума ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}}$ вектараў $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ і $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ — вектар, праведзены з пачатку $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ да канца $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, калі канец $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ і пачатак $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ супадаюць. Складанне вектараў мае ўласцівасці: ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ ; ${\displaystyle \text{(}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\text{)}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\text{(}\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}\text{)}}$ ; ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ ; ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a}}+\text{(−}\overrightarrow{\mathrm{a}}\text{)}=\overrightarrow{0}}$ ; дзе $\overrightarrow{0}$ — нулявы вектар, $\text{−}\overrightarrow{\mathrm{a}}$ — вектар, процілеглы вектару $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (гл. Асацыятыўнасць, Камутатыўнасць). Рознасць $\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}$ вектараў $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ і $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ — вектар $\overrightarrow{\mathrm{x}}$ такі, што ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{x}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ ; рознасць $\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ёсць вектар, які злучае канец вектара $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ з канцом вектара $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, калі яны адкладзены з аднаго пункта. Здабыткам вектара $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ на лік α наз. вектар α $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, модуль якога роўны ${\displaystyle \text{|}\mathrm{\alpha }\text{‖}\overrightarrow{\mathrm{a}}\text{|}}$ і які накіраваны аднолькава з вектарам $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, калі α > 0, і процілеглы пры α < 0. Калі α = 0 ці $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{0}$, то α $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$. Уласцівасці множання вектара на лік: ${\displaystyle \alpha \text{(}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\text{)}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{a}}+\alpha \overrightarrow{\mathrm{b}}}$ ; ${\displaystyle \text{(}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\text{)}\alpha =\overrightarrow{\mathrm{a}}\alpha +\overrightarrow{\mathrm{b}}\alpha }$ ; ${\displaystyle \alpha \text{(}\beta \overrightarrow{\mathrm{a}}\text{)}=\text{(}\alpha \beta \text{)}\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ ; ${\displaystyle 1\bullet \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}}$ . Пры каардынатным заданні вектараў розным дзеяннем над вектарамі адпавядаюць дзеянні над іх каардынатамі. У вектарным аналізе вывучаюцца вектарныя і скалярныя функцыі аднаго ці некалькіх аргументаў і дыферэнцыяльныя аперацыі над гэтымі функцыямі (гл., напр., Градыент, Дывергенцыя).

А.​А.​Гусак.

т. 4, с. 63

ДРОБ у арыфметыцы,

лік, які змяшчае адну ці некалькі доляў (роўных частак) адзінкі. Абазначаецца сімвалам $\frac{a}{b}$ (або a/b), дзе a — лічнік, які паказвае колькасць доляў адзінкі, падзеленай на столькі частак, колькі паказвае (называе) назоўнік b (a і b) — цэлыя лікі). Д. a/b можна таксама разглядаць як вынік дзялення ліку a на лік b; калі a дзеліцца нацэла на b, то дзель — цэлы лік (напр., 6/3 — 2; 28/7 — 4), калі не дзеліцца — дробавы (напр., 3/7; 20/12).

Д. $\frac{a}{b}$ наз. правільным, калі a < b, і няправільным, калі a > b. Няправільны Д. можна запісаць у выглядае сумы цэлага ліку і правільнага Д. (змешаны лік); для гэтага патрэбна лічнік падзяліць з астачай на назоўнік, напр., $\frac{67}{13}=\frac{5\bullet 13+2}{13}=5+\frac{2}{13}=5\frac{2}{13}$ . Множанне і дзяленне Д. выконваюць па правілах: $\frac{a}{b}\bullet \frac{c}{d}=\frac{a\bullet c}{b\bullet d}$ ; $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a\bullet d}{b\bullet c}$ , суму (рознасць) Д. $\frac{a}{b}$ і $\frac{c}{b}$ з аднолькавымі назоўнікамі — па правілах $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}$ . Д. $\frac{a}{b}$ не зменіцца, калі лічнік і назоўнік памножыць на адзін і той жа лік, адрозны ад нуля. Таму Д. $\frac{a}{b}$ і $\frac{c}{d}$ можна прывесці да агульнага назоўніка (замяніць на роўныя ім Д. з аднолькавымі назоўнікамі, звычайна роўнымі найменшаму агульнаму кратнаму b і d). Калі лічнік і назоўнік маюць агульныя множнікі, Д. можна надаць нескарачальны від, напр., $\frac{14}{35}$ — скарачальны $\text{(}\frac{14}{35}=\frac{2\bullet 7}{5\bullet 7}=\frac{2}{5}\text{)}$ , а $\frac{25}{84}$ — нескарачальны Д. Гл. таксама Дзесятковы дроб, Дробавая і цэлая часткі ліку.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 207