Verbum

ЛІНЕ́ЙНАЕ ПЕРАЎТВАРЭ́ННЕ,

1) Л.п. пераменных x₁, x₂, ..., x_n — замена гэтых пераменных на новыя y₁, y₂, ..., y_n, праз якія першасныя пераменныя выражаюцца лінейна. Матэматычна выражаецца формуламі: ${\displaystyle x_1=a_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2+\text{...}+a_{1n}{y}_n+b_1}$ , ${\displaystyle x_2=a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2+\text{...}+a_{2n}{y}_n+b_2}$ , ..................................... , ${\displaystyle x_n=a_{n1}{y}_1+a_{n2}{y}_2+\text{...}+a_{nn}{y}_n+b_n}$ , дзе a_ij, b_i — адвольныя лікі. Калі ўсе лікі b_i роўныя нулю, то Л.п. наз. аднародным. Напр., формулы пераўтварэння дэкартавых каардынат на плоскасці.

2) Л.п. вектарнай прасторы — закон, па якім вектару $\overrightarrow{x}$ з n-мернай прасторы ставіцца ў адпаведнасць новы вектар $\overrightarrow{y}$ каардынаты якога лінейна і аднародна выражаюцца праз каардынаты вектара $\overrightarrow{x}$. Напр., праектаванне вектара на адну з каардынатных плоскасцей ў трохмернай прасторы.

т. 9, с. 266

ГІПЕРБАЛО́ІД (ад гіпербала + грэч. eidos выгляд),

незамкнутая цэнтральная паверхня 2-га парадку. Бывае адна- і двухполасцевы; пры перасячэнні гіпербалоіда з плоскасцю ў залежнасці ад параметраў атрымліваюцца ўсе канічныя сячэнні, а таксама пара прамых (у выпадку аднаполасцевага гіпербалоіда). Праз кожны пункт аднаполасцевага гіпербалоіда праходзяць 2 прамыя (прамалінейныя ўтваральныя), якія цалкам ляжаць на яго паверхні, г. зн. аднаполасцевы гіпербалоід — лінейчастая паверхня, утвораная дзвюма сем’ямі прамых; выкарыстоўваецца як стрыжнёвая канструкцыя вежавых збудаванняў, напр. секцыі Шухаўскай радыёвежы на Шабалаўцы ў Маскве.

Кананічнае ўраўненне гіпербалоіда ў прамавугольнай сістэме каардынат: x​²/a​² + y​²/b​² − z​²/с​² = 1 (аднаполасцевы), x​²/a​² + y​²/b​² − z​²/с​² = -1 (двухлопасцевы); гіпербалоід неабмежавана набліжаецца да паверхні x​²/a​² + y​²/b​² − z​²/с​² = 0 (асімптатычны конус; a, b, c — даўжыні паўвосяў гіпербалоіда). Калі a = b, то атрымаецца гіпербалоід вярчэння.

т. 5, с. 255

КРЭДЫТАЗДО́ЛЬНАСЦЬ,

гаспадарча-фінансавы стан пазычальніка, які дае ўпэўненасць у эфектыўным выкарыстанні і вяртанні ім пазыкі (крэдыту), што дае яму права на атрыманне крэдыту. Пераход да рыначных адносін прадугледжвае больш жорсткія ўмовы выдачы крэдыту. Таму пры аналізе К. вывучаюцца існуючая і перспектыўная плацежаздольнасць, узровень рэнтабельнасці і абарачальнасць абаротных сродкаў, тэмпы росту рэалізацыі, сумы і тэрміны пратэрмінаванай запазычанасці па крэдытах, дзелавая актыўнасць і інш. Пры ацэнцы К. банкі выкарыстоўваюць і каэфіцыент бягучай ліквіднасці. Лічыцца, што калі ён ніжэйшы за 1, то банк мае справу з неплацежаздольным кліентам і крэдыт можа быць выдадзены на асаблівых умовах; пры яго ўзроўні 1,0—1,5 існуе рызыка своечасовага вяртання доўгу; пры ўзроўні больш як 1,5 гарантыі забяспечанасці доўгу і яго вяртання дастатковыя. Пры аналізе К. вывучаецца і ступень рызыкі банка як крэдытора; пры высокай ступені рызыкі прадугледжваецца і больш высокая працэнтная стаўка. Здольнасць пазычаць і аддаваць грашовыя сродкі вызначаецца прыбытковасцю, стабільнасцю, сітуацыяй на крэдытным рынку, складам і структурай актываў, інш. фактарамі.

У.​Р.​Залатагораў.

т. 8, с. 533

ІНДУ́КЦЫЯ (ад лац. inductio навядзенне, стымуляванне) у логіцы, спосаб разважання (розумазаключэння) і метад даследавання, пры якіх агульныя вывады робяцца на аснове ведаў аб адзінкавых фактах. Пытанні тэорыі І. сустракаюцца ў працах Арыстоцеля, імі займаліся прадстаўнікі эмпірычнага прыродазнаўства 17—18 ст. Значны ўклад у распрацоўку тэорыі І. зрабілі Ф.​Бэкан, Г.​Галілей, І.​Ньютан, Дж.​С.​Міль, Дж.​Гершэль. Шырока выкарыстоўваецца пры пабудове пэўных тэорый у біялогіі, фізіцы, матэматыцы (гл. Матэматычная індукцыя) і інш. Індуктыўнае заключэнне заўсёды імавернае, але калі яно ісціннае, то нясе ў сабе новыя веды. Таму індуктыўнае заключэнне патрабуе дадатковых сродкаў пазнання, прымяненне якіх і вырашае пытанне аб ісціннасці канчатковых вывадаў. Адрозніваюць І. поўную і няпоўную. Поўная І. ўяўляе сабой вывад агульнага палажэння пра клас увогуле на аснове разгляду ўсіх яго элементаў; яна дае дакладны вывад. Пры няпоўнай І. агульны вывад робіцца на аснове разгляду часткі прадметаў пэўнага класа. Гэты вывад не поўны, а таму не зусім дакладны, патрабуе далейшага даследавання інш. метадамі (гл. Аналіз, Сінтэз, Дослед, Дэдукцыя).

В.​М.​Пешкаў.

т. 7, с. 236

ПАВЕ́РХНЯ,

1) адно з геам. паняццяў, у элементарнай геаметрыі разглядаецца як мяжа цела або як след лініі, што рухаецца. Напр., сфера (мяжа шара), П. мнагагранніка.

Калі рухаецца прамая лінія, то яе след утварае лінейчастую П. (напр., цыліндрычную); вярчэнне лініі вакол прамой дае паверхню вярчэння (напр., канічную). У аналітычнай геаметрыі вывучаюцца алгебраічныя П., якія задаюцца ўраўненнем Φ(x₁, x₂ ..., x_n дзе Φ — мнагасклад, ступень якога наз. парадкам алгебраічнай П. П. першага парадку — плоскасць, прыклады П. другога парадку — эліпсоіды, гіпербалоіды, парабалоіды Уласцівасці П. вывучаюцца паверхняў тэорыяй, у тапалогіі.

2) П. ў фізіцы — мяжа раздзелу паміж двума асяроддзямі, што кантактуюць. У кожным з гэтых асяроддзяў на пэўную адлегласць ад П. распасціраецца слой, у якім элементны састаў і хім. стан, атамная і электронная структура, дынамічныя, магн. і інш. ўласцівасці рэчыва істотна адрозніваюцца ад яго ўласцівасцей ў аб’ёме. Таўшчыня гэтага слоя залежыць ад прыроды асяроддзяў, што кантактуюць, і знешніх умоў. Яму ўласцівы разнастайныя паверхневыя з ’явы.

т. 11, с. 465

АРЫФМЕ́ТЫКА (ад грэчаскага arithmos лік),

навука, галоўны аб’ект якой цэлыя, рацыянальныя лікі і дзеянні над імі. Узнікла ў старажытныя часы з практычных патрэб чалавека лічыць і вымяраць. Для падліку вялікай колькасці аб’ектаў створаны сістэмы лічэння. Найбольш зручная дзесятковая сістэма лічэння; існуюць таксама сістэмы лічэння з асновамі 5, 12, 20, 40, 60 і нават 11 (Новая Зеландыя). З пашырэннем вылічальнай тэхнікі выкарыстоўваецца двайковая сістэма лічэння.

Да пачатку нашай эры былі атрыманы дастаткова глыбокія вынікі: даказана бесканечнасць мноства простых лікаў, несувымернасць стараны квадрата і яго дыяганалі (па сутнасці доказ ірацыянальнасці ліку √2), створаны алгарытм выяўлення агульнай меры двух адрэзкаў і найбольшага агульнага дзельніка, Піфагорам знойдзены агульны выгляд цэлалікавых катэтаў і гіпатэнузы прамавугольных трохвугольнікаў, значны ўплыў на развіццё арыфметыкі зрабіў Архімед. Фундаментальнае значэнне арыфметыкі як навукі стала зразумелым у канцы 17 стагоддзя ў сувязі з далучэннем да яе паняцця ірацыянальнага ліку. Развіццё апарату сувязяў паміж гэтымі лікамі і іх рацыянальнымі набліжэннямі (у прыватнасці, дзесятковымі), а таксама вынаходства і дастасаванне лагарыфмаў (шатландскі матэматык Дж.​Непер) значна пашырылі тэматыку даследаванняў. Шматлікія пытанні знайшлі вырашэнне ў лікаў тэорыі. Спроба Г.Грасмана аксіяматычнай пабудовы арыфметыкі (сярэдзіна 19 стагоддзя) завершана італьянскім матэматыкам Дж.​Пеана ў выглядзе 5 аксіём: 1) адзінка ёсць натуральны лік; 2) наступны за натуральным лікам ёсць таксама натуральны лік; 3) у адзінкі няма папярэдняга натуральнага ліку; 4) калі натуральны лік a стаіць за натуральным лікам b і за натуральным лікам c, то b і c тоесныя; 5) калі якое-небудзь сцвярджэнне даказана для адзінкі і калі з дапушчэння, што яно праўдзівае для натуральнага ліку n, вынікае, што яно выконваецца і для наступнага за n натуральнага ліку, то гэта сцвярджэнне справядліва для адвольнага натуральнага ліку (аксіёма поўнай матэматычнай індукцыі). Па-за прапанаванай сістэмай аксіём застаюцца многія пытанні, у якіх вывучаецца ўся бесканечная сукупнасць натуральных лікаў, што патрабуе даследавання несупярэчлівасці адпаведнай сістэмы аксіём і больш дэталёвага аналізу сэнсу сцвярджэнняў, якія вынікаюць з яе. Як навука арыфметыка часам атаясамліваецца з тэорыяй лікаў.

Літ.:

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1—3. М., 1970—72. Депман И.Я. История арифметики. 2 изд. М., 1965.

В.​І.​Бернік.

т. 2, с. 9

ЗО́ННАЯ ТЭО́РЫЯ крышталічных цвёрдых цел,

квантавая тэорыя спектра энергій электронаў крышталя. Паводле З.т. гэты спектр складаецца з зон дазволеных і забароненых энергій. З.т. тлумачыць шэраг уласцівасцей і з’яў у крышталях, у прыватнасці, розны характар іх электраправоднасці.

Аснова З.т. — аднаэлектроннае прыбліжэнне: скорасць руху атамных ядраў каля становішчаў раўнавагі многа меншая за скорасць электронаў; кожны электрон рухаецца ў трохмерна-перыядычным полі, якое ствараецца ядрамі і астатнімі электронамі. Зона праводнасці (с) і валентная зона (v) утвораны сукупнасцю атамных энергет. узроўняў, «расшчэпленых» у выніку аб’яднання свабодных атамаў у крышт. рашотку. Узроўні энергіі валентных электронаў (е) атама расшчапляюцца і зрушваюцца значна больш, чым узроўні ўнутраных электронаў (і). Шырыня забароненай зоны Eg (энергет. шчыліна паміж v- і с-зонамі) вызначаецца раўнаважнай адлегласцю паміж ядрамі (пастаяннай крышт. рашоткі d) У крышталі з N ідэнтычных атамаў кожны атамны ўзровень расшчапляецца на N узроўняў, якія ўтвараюць квазінеперарыўную дазволеную зону або яе частку. Электроны запаўняюць дазволеныя зоны энергій у адпаведнасці з Паўлі прынцыпам: на N узроўнях зоны можа знаходзіцца не больш за 2N электронаў. Уласцівасці крышталя залежаць ад колькасці электронаў у зоне праводнасці і/ці ад колькасці незапоўненых узроўняў (вакансій для электронаў) у валентнай зоне. Калі энергет. зона запоўнена электронамі часткова, то пад уздзеяннем знешняга эл. поля яны пераразмяркоўваюцца па ўзроўнях у зоне. Пры гэтым парушаецца сіметрыя размеркавання электронаў па скорасцях — узнікае эл. ток. Таму крышталь з часткова запоўненай c-зонай з’яўляецца правадніком электрычнасці — металам. Электроны ў поўнасцю запоўненай v-зоне з-за прынцыпу Паўлі не могуць пераразмяркоўвацца па ўзроўнях энергіі; крышталь з пустой с-зонай і поўнасцю запоўненай электронамі v-зонай — дыэлектрык. Калі цеплавая энергія дастатковая для пераводу часткі электронаў з v-зоны ў c-зону, то электраправоднасць крышталя расце пры награванні; такі крышталь — паўправаднік. Пры слаба перакрытых с- і v-зонах крышталь з’яўляецца паўметалам (напр., вісмут), а пры змыканні гэтых зон (Eg=0) — бясшчылінным паўправадніком (напр., шэрае волава). З.т. — набліжэнне да рашэння фундаментальнай задачы: вывесці ўласцівасці крышталя з уласцівасцей атамаў, з якіх ён складаецца.

Літ.:

Харрисон У.А. Электронная структура и свойства твердых тел: Физика химической связи: Пер. с англ. Т. 1—2. М., 1983;

Анималу А. Квантовая теория кристаллических твердых тел: Пер. с англ. М., 1981.

М.​А.​Паклонскі.

т. 7, с. 107

АНА́ЛІЗ (ад грэч. analysis раскладанне),

спосаб (прыём) навук. пазнання праз мысленнае ці рэальнае расчляненне аб’екта пазнання (прадмета, з’явы, працэсу) на часткі і асэнсаванне іх узаемасувязі. Працэс аналізу — састаўная частка, першая ступень навук. даследавання. Канчатковы вынік — разуменне структуры аб’екта, які вывучаецца. Калі аб’ект з’яўляецца прадстаўніком пэўнага класа прадметаў, аналіз аднаго з іх дае магчымасць уявіць структуру ўсяго класа. Вынікі аналізу служаць матэрыялам для наступных ступеняў навук. пазнання — абстракцыі, абагульнення, параўнання і інш. Аналіз — рухальная сіла ў выяўленні законаў, якім падпарадкоўваецца аб’ект даследавання. Карэктнасць аналізу правяраецца процілеглым яму прыёмам — сінтэзам. Калі пры гэтым выяўляецца супярэчнасць, аналіз паўтараецца з вылучэння новых гіпотэз аб структуры і ўласцівасцях састаўных частак аб’екта вывучэння. Калі паўторны аналіз паказаў неадольнасць супярэчнасцяў, то для выяўлення структуры аб’екта неабходны новы падыход. У логіцы сістэмны аналіз выкарыстоўваецца з часоў Арыстоцеля. Са з’яўленнем сімвалічнай логікі, кібернетыкі і семіётыкі выпрацавана найб развітая форма лагічнага аналізу — пабудовы фармалізаваных моў.

Літ.:

Пузиков П.Д. Анализ и синтез — от мысли к вещи. Мн., 1969;

Андреев М.Д. Диалектическая логика. М., 1985;

Hintikka J., Remes U. The method of analysis. Dordrecht;

Boston, 1974.

В.​М.​Пешкаў.

т. 1, с. 333

ВЫРАДЖЭ́ННЕ ў квантавай механіцы,

уласцівасць некаторых фізічных велічынь, што апісваюць фіз. сістэму (атам, малекулу і інш.), мець аднолькавае значэнне для розных станаў сістэмы. Колькасць станаў сістэмы, якім адпавядае адно і тое ж значэнне пэўнай фіз. велічыні, наз. кратнасцю выраджэння дадзенай фіз. велічыні. Напр., калі не ўлічваць эл.-магн. і слабыя ўзаемадзеянні («выключыць» іх), то ўласцівасці пратона і нейтрона будуць аднолькавыя і іх можна разглядаць як 2 станы адной часціцы (нуклона), якія адрозніваюцца толькі эл. зарадам.

Найб. важнае выраджэнне ўзроўняў энергіі: сістэма мае пэўнае значэнне энергіі, але пры гэтым можа быць у розных станах. Напр., свабодная часціца мае бясконцакратнае выраджэнне энергіі: энергія вызначаецца модулем імпульсу, а напрамак імпульсу можа быць любым. Пры руху часціцы ў знешнім сілавым полі выраджэнне можа поўнасцю або часткова здымацца, напр., у магн. полі выяўляецца залежнасць энергіі ад напрамку магн. моманту часціцы: пры ўзаемадзеянні з полем часціцы атрымліваюць дадатковую энергію і ўзроўні энергіі «расшчапляюцца» (гл. Зеемана з’ява). Расшчапленне ўзроўняў энергіі часціц у знешнім эл. полі гл. ў арт. Штарка з’ява.

Л.​М.​Тамільчык.

т. 4, с. 319

ДАТЫ́ЧНАЯ ПРАМА́Я да крывой лініі,

лімітнае становішча адпаведнай сякучай.

Няхай M₀ — зафіксаваны пункт крывой l, M — іншы яе пункт. M₀M — сякучая (прамая, праведзеная праз гэтыя пункты). Калі пры неабмежаваным набліжэнні M да M₀ сякучая M₀M імкнецца да пэўнай прамой M₀T, то прамая M₀T наз. Д.п. да крывой l у пункце M₀. У выпадку плоскай крывой, вызначанай у дэкартавых каардынатах ураўненнем y=f(x), дзе f(x) — дыферэнцавальная функцыя, ураўненне Д.п. да яе ў пункце M₀(x₀, y₀) мае выгляд y−y₀=f′(x₀) (x−x₀), дзе f′(x) —вытворная функцыя f′(x) у пункце x₀. Д.п. ўтварае з дадатным напрамкам восі OX вугал, тангенс якога роўны f′(x). Д.п. мае не кожная неперарыўная крывая, паколькі прамая M₀M можа і не імкнуцца да лімітнага становішча або можа імкнуцца да двух розных лімітных становішчаў, калі М імкнецца да M₀ з розных бакоў ад M₀.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 62