Verbum

СКАЛЯ́РНЫ ПАТЭНЦЫЯ́Л,

энергетычная характарыстыка электрастатычнага поля; гл. ў арт. Патэнцыял у фізіцы.

т. 14, с. 434

СКАЛЯ́РНЫ ЗДАБЫ́ТАК вектараў а і b, лік (скаляр), роўны здабытку модуляў гэтых вектараў, памножанаму на косінус вугла паміж імі. С.з. $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}=\text{(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\text{)}=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}\text{|}\overrightarrow{b}\text{|}cos\mathrm{\phi }$ , дзе $\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}$ і $\text{|}\overrightarrow{b}\text{|}$ — модулі вектараў $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$, φ — вугал паміж імі. Напр., работа A пастаяннай сілы $\overrightarrow{F}$ пры перамяшчэнні $\overrightarrow{S}$ пункта яе прыкладання роўная $A=\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{S}$ . Паняцце С.з. абагульняецца на n-мерныя вектарныя прасторы, дзе з яго дапамогай вызначаюць паняцці модуля вектара, вугла паміж вектарамі, артаганальнасці і інш. С.з. уведзены У.​Гамільтанам (1853). Выкарыстоўваецца ў геаметрыі, механіцы і фізіцы.

т. 14, с. 434

ГІ́ЛЬБЕРТАВА ПРАСТО́РА,

абагульненне эўклідавай прасторы на бясконцамерны выпадак. Уведзена ў канцы 19 — пач. 20 ст. ў працах Д.Гільберта як вынік абагульнення фактаў і метадаў раскладання функцый у артаганальныя шэрагі, а таксама даследаванняў інтэгральных ураўненняў. Выкарыстоўваецца ў розных раздзелах матэматыкі, тэорыі імавернасцей, тэарэт. фізікі.

Першасна гільбертава прастора — прастора бясконцых паслядоўнасцей, напр., x = (x₁, x₂, ..., x_n, ...) са збежным шэрагам квадратаў x₁​² + x₂​² + ... + x_n​² + ... . Суму двух элементаў (вектараў) паслядоўнасцей, іх скалярны здабытак і інш. вылічваюць пакаардынатна па звычайных правілах (гл. Вектарная прастора, Вектарнае злічэнне). У больш шырокім сэнсе гільбертава прастора — лінейная прастора, для якой вызначаны скалярны здабытак. У залежнасці ад вызначэння множання элементаў на сапраўдны ці камплексны лік адрозніваюць сапраўдныя і камплексныя гільбертавы прасторы.

т. 5, с. 244

АРТАГАНА́ЛЬНАЕ ПЕРАЎТВАРЭ́ННЕ,

лінейнае пераўтварэнне эўклідавай прасторы, якое захоўвае нязменным скалярны здабытак адвольных вектараў гэтай прасторы; (Ах, Ау) = (х, у). Захоўвае даўжыні вектараў і вуглы паміж імі, пераводзіць артанармоўны базіс у артанармоўны (гл. Артаганальная сістэма), у якім артаганальнаму пераўтварэнню адпавядае артаганальная матрыца з дэтэрмінантам роўным +1 (уласнае артаганальнае пераўтварэнне) або -1 (няўласнае артаганальнае пераўтварэнне). Напр., паварот вакол восі ў трохмернай эўклідавай прасторы — уласнае артаганальнае пераўтварэнне, здабытак павароту вакол восі і адбіцця ў перпендыкулярнай плоскасці — няўласнае.

В.​А.​Ліпніцкі.

т. 1, с. 504

ВЕ́КТАРНАЯ ПРАСТО́РА ў матэматыцы,

абагульненне сукупнасці вектараў трохмернай прасторы на выпадак адвольнага ліку вымярэння. Напр., n-мерная эўклідава прастора. Для элементаў вектарнай прасторы (вектараў) вызначаны аперацыі складання і множання на лік (рэчаісны ці камплексны); пры гэтым для канкрэтнай вектарнай прасторы можна дадаткова вызначыць інш. аперацыі і структуры (напр., скалярны здабытак).

Вектарная прастора наз. n-мернай (мае вымернасць n), калі ў ёй існуюць n лінейна незалежных вектараў (базіс), а любыя n+1 вектараў лінейна залежныя (для лінейнай залежнасці 2 вектараў неабходна і дастаткова іх калінеярнасці, 3 вектараў — кампланарнасці і г.д.). У бесканечнамернай вектарнай прасторы (напр., гільбертавай прасторы) любая канечная частка яе з’яўляецца лінейна незалежнай.

А.​А.​Гусак.

т. 4, с. 64