Verbum

МНО́СТВАЎ ТЭО́РЫЯ,

раздзел матэматыкі, у якім вывучаюцца агульныя ўласцівасці мностваў; з’яўляецца фундаментам шэрагу матэм. дысцыплін (напр., тэорыі функцый рэчаіснай пераменнай, агульнай тапалогіі, агульнай алгебры, функцыян. аналізу). Метады М.т. знаходзяць дастасаванні ў класічных галінах матэматыкі (напр., якаснай тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, варыяцыйным злічэнні, тэорыі імавернасцей). Развіццё М.т. глыбока паўплывала на разуменне самога прадмета матэматыкі.

Заснавана Г.Кантарам, які ўвёў паняцці магутнасці мноства, даказаў незлічонасць мноства рэчаісных лікаў, сфармуляваў паняцце актуальна бясконцага (гл. Бесканечнае і канечнае, Бесканечнасць). Паняцце мноства належыць да першапачатковых матэм. паняццяў, яго можна тлумачыць толькі на прыкладах. Адно з асн. паняццяў М.т. — паняцце прыналежнасці элемента дадзенаму мноству. Мноства лічыцца зададзеным, калі зададзена характарыстычная ўласцівасць яго элементаў; а калі дадзенай уласцівасці не мае ні адзін з элементаў, то гавораць, што такая ўласцівасць вызначае пустое мноства. Напр., мноства рэчаісных каранёў ураўнення х​² = -1 з’яўляецца пустым. Магчымасць колькаснай параўнальнай ацэнкі мностваў грунтуецца на паняцці ўзаемна адназначнай адпаведнасці (біекцыі) паміж 2 мноствамі: мноствы X і Y з’яўляюцца роўнамагутнымі (эквівалентнымі), калі паміж іх элементамі вызначана ўзаемна адназначная адпаведнасць. Бясконцыя мноствы, роўнамагутныя мноству ўсіх цэлых лікаў, наз. злічонымі (напр., мноства рацыянальных лікаў). Мноства ўсіх рэчаісных лікаў мае магутнасць (абагульненне паняцця ліку элементаў), большую за магутнасць злічонага мноства, і яго магутнасць наз. магутнасцю кантынуума. Значны ўклад у развіццё М.т. зрабілі рас. матэматыкі Дз.​Ф.​Ягораў, М.​М.​Лузін, П.​С.​Аляксандраў, А.​М.​Калмагораў, П.​С.​Новікаў, амер. матэматык П.​Дж.​Коэн.

Літ.:

Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с фр. М., 1965;

Коэн П.​Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза: Пер. с англ. М., 1969;

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.

А.​А.​Гусак.

т. 10, с. 502

БЕСКАНЕ́ЧНАСЦЬ у матэматыцы,

бясконцасць, адно з галоўных матэматычных паняццяў, якое ўзнікае ў розных галінах матэматыкі ў асноўным як проціпастаўленне паняццю канечнага. Абазначаецца ∞. Ужываецца ў аналітычных і геам. тэорыях для абазначэння «няўласных» ці «бесканечна аддаленых» элементаў, у мностваў тэорыі і матэматычнай логіцы пры вывучэнні «бесканечных мностваў» і інш.

т. 3, с. 127

АДКРЫ́ТЫЯ І ЗАКРЫ́ТЫЯ МНО́СТВЫ АДКРЫ́ТЫЯ І ЗАМКНУ́ТЫЯ МНО́СТВЫ ў матэматыцы, класы мностваў (гл. Мностваў тэорыя). Мноства наз. адкрытым (АМ), калі яно разам з кожным сваім пунктам змяшчае ў сабе і некаторае яго наваколле, і замкнутым (ЗМ) — калі змяшчае ў сабе ўсе свае межавыя пункты. Напр., інтэрвал на прамой — АМ, адрэзак — ЗМ. Перасячэнне канечнага ліку і аб’яднанне любога ліку АМ з’яўляюцца АМ. Аб’яднанне канечнага ліку і перасячэнне любога ліку ЗМ будуць ЗМ. АМ можна разглядаць у эўклідавай прасторы любога ліку вымярэнняў, у адвольных метрычных і тапалагічных прасторах. Азначэнне ЗМ захоўваецца для мностваў у адвольных метрычных і тапалагічных прасторах.

т. 1, с. 111

КА́НТАР ((Cantor) Георг) (3.3.1845, С.-Пецярбург — 6.1.1918),

нямецкі матэматык, заснавальнік тэорыі мностваў. Скончыў Берлінскі ун-т (1867). З 1869 ва ун-це ў г. Гале (у 1879—1913 праф.). Распрацаваў тэорыю бясконцых мностваў і тэорыю трансфінітных лікаў, сістэматызаваў і абгрунтаваў прынцыпы свайго вучэння аб бясконцасці. Сфармуляваў адну з аксіём неперарыўнасці (аксіёма К.). Увёў паняцці лімітавага пункта, вытворнага мноства, развіў адну з тэорый ірацыянальных лікаў.

Тв.:

Рус. пер. — Труды по теории множеств. М., 1985.

т. 7, с. 604

АЛЯКСА́НДРАЎ (Павел Сяргеевіч) (7.5.1896, г. Нагінск, Расія — 16.11.1982),

сав. матэматык; заснавальнік навук. школы па тапалогіі. Акад. АН СССР (1953, чл.-кар. 1929). Герой Сац. Працы (1969). Скончыў Маскоўскі ун-т (1917), з 1929 праф. там жа. Навук. працы па тапалогіі, тэорыі мностваў і тэорыі функцый сапраўднай пераменнай. Стварыў тэорыю бікампактных прастораў, метады камбінаторнага (алгебраічнага) даследавання мностваў і прастораў, тэорыю размернасці. Віцэ-прэзідэнт Міжнар. матэм. асацыяцыі (з 1958). Дзярж. прэмія СССР 1943.

Тв.:

Комбинаторная топология. М.; Л., 1947;

Введение в общую теорию множеств и функций. М.; Л., 1948;

Введение в теорию групп. 2 изд. М., 1951.

т. 1, с. 296

НО́ВІКАЎ (Пётр Сяргеевіч) (28.8.1901, Масква — 9.1.1975),

расійскі матэматык, стваральнік школы матэм. логікі. Акад. АН СССР (1960). Скончыў Маскоўскі ун-т (1925). З 1929 у Маскоўскім хім.-тэхнал. ін-це, з 1934 у Матэм. ін-це імя У.​А.​Сцяклова АН СССР, з 1945 праф. Маскоўскага пед. ін-та імя Леніна. Навук. працы па тэорыі мностваў, матэм. логіцы, тэорыі алгарытмаў і тэорыі груп. Прапанаваў метад даследавання праблем дэскрыптыўнай тэорыі мностваў, метад доказу несупярэчнасці фармальных сістэм. Даказаў невырашальнасць праблемы тоеснасці, спалучанасці і ізамарфізму ў тэорыі груп. Ленінская прэмія 1957.

Тв.:

Избр. труды: Теория множеств и функций. Математическая логика и алгебра. М., 1979.

т. 11, с. 370