Verbum

МАТЭМАТЫ́ЧНАЯ ЛО́ГІКА, сімвалічная логіка,

адзін з кірункаў сучаснай фармальнай логікі, заснаваны на выкарыстанні матэм. метадаў даследавання. У М.л. аперацыі мыслення і пераважна вывадных ведаў вывучаюцца шляхам іх адлюстравання ў спец. фармалізаваных мовах, або лагічных злічэннях. Адным з асн. яе метадаў з’яўляецца метад фармалізацыі, або вывучэння аб’ектаў з дапамогай адносна жорсткіх фіксаваных элементаў іх формы (пры адцягненні ад унутр. зместу). Сістэма фармалізаваных аксіём і фармальных правіл вываду афармляецца ў выглядзе некаторага злічэння. Прасцейшыя з іх — злічэнні выказванняў, калі аперацыі з простымі выказваннямі аб’ядноўваюцца ў складаныя выказванні з дапамогай аператараў кан’юнкцыі, дыз’юнкцыі, імплікацыі, эквіваленцыі і адмаўлення (гл. Логіка выказванняў). У агульных злічэннях выказванняў — класічным і інтуіцыянісцкім (гл. Інтуіцыянізм) — ужываюцца адны і тыя ж правілы вываду (падстаноўкі і вываду заключэння). Формула лічыцца класічна агульназначнай, калі правільнае ўсякае выказванне, што выводзіцца з яе ў выніку падстановак любых выказванняў замест пераменных (A, B, C...); да ўсякага злічэння прад’яўляюцца патрабаванні несупярэчлівасці і паўнаты. Другая форма — злічэнне прэдыкатаў, якое ўключае ў свой склад злічэнне выказванняў, але дадае да яго апарату аперацыі агульнасці і існавання (гл. Логіка прэдыкатаў, Квантары). Самаст. раздзелам у М.л. ўваходзіць злічэнне класаў, якое адпавядае вузкаму злічэнню аднамесных прэдыкатаў, або сілагістыцы Арыстоцеля (гл. Логіка класаў).

Зыходныя паняцці М.л. былі ўжо ў вучэнні прадстаўнікоў мегарскай школы і стоікаў. На мяжы 13—14 ст. ісп. філосаф Р.​Лулій сканструяваў спец. «лагічную машыну», якая складалася з сямі канцэнтрычных кругоў са знакамі, літарамі і тэрмінамі і дазваляла атрымаць разнастайныя камбінацыі слоў і паняццяў. Спроба стварэння «злічэння розуму», падобнага да матэм. злічэння і заснаванага на універсальнай лагічнай мове, належала Г.​Лейбніцу. Як самаст. дысцыпліна М.л. аформілася ў сярэдзіне 19 ст. ў працах англ. матэматыка і логіка Дж.​Буля і ў распрацаванай ім алгебры логікі. Далей М.л. развівалася ў сувязі з распрацоўкай аксіяматычнага метаду, мностваў тэорыі, вызначэння несупярэчлівасці матэм. злічэнняў і інш. Рас. вучоны П.​С.​Парэцкі распрацаваў тэорыю лагічных роўнасцей і прапанаваў найб. агульны метад знаходжання ўсіх эквівалентных форм пасылак і вынікаў з іх («Аб спосабах рашэння лагічных роўнасцей...», 1884). Ч.​Пірс (ЗША) праводзіў даследаванні ў строгай і раздзяляльнай дыз’юнкцыі, матэрыяльнай імплікацыі, індукцыі і гіпотэзы, логікі адносін і інш. галінах М.л. Ням. логік Г.​Фрэге прапанаваў аксіяматычную пабудову логікі выказванняў, сфармуляваў правіла падстаноўкі, увёў паняцце квантара, распрацаваў асн. прынцыпы семантыкі лагічнай. Сучасную форму М.л. надаў італьян. вучоны Дж.​Пеана, які распрацаваў сістэму аксіём для арыфметыкі натуральных лікаў і паказаў, як з дапамогай сімвалічнага злічэння можна практычна пабудаваць матэм. дысцыпліны («Фармуляр матэматыкі», т. 1—2, 1895—97). Развіццю М.л. садзейнічалі працы Б.​Расела і А.​Н.​Уайтхеда («Прынцыпы матэматыкі», т. 1—3, 1910—13). У далейшым атрымалі развіццё даследаванні ў розных галінах М.л., была распрацавана тэорыя матэм. доказаў на аснове выкарыстання лагічных злічэнняў да пытанняў асноў матэматыкі (Я.​Лукасевіч, А.​Гейцінг, А.​М.​Калмагораў, В.​І.​Шастакоў, С.​К.​Кліні, А.​А.​Маркаў і інш.).

Сучасная М.л. — гэта мноства спец. логік (імавернасная логіка, індукцыйная логіка, інтуіцыянісцкая, камбінаторная, канструктыўная, мнагазначная, мадальная і г.д.), кожная з якіх уяўляе сабой больш або менш адпаведнае апісанне працэсаў лагічнага паходжання. Далейшая фармалізацыя лагічных аперацый М.л. і адкрытыя ёю новыя заканамернасці даюць магчымасць вырашэння шэрагу складаных задач у матэматыцы, кібернетыцы, тэорыі рэлейна-кантактных схем, пры праектаванні і ў функцыянаванні ЭВМ, розных аўтам. апаратаў, а таксама ў матэматычнай лінгвістыцы, у тэорыі праграмавання, пры даследаваннях у квантавай фізіцы, тэорыі эвалюцыі, нейрафізіялогіі, праблем кіравання вытв-сцю і грамадствам. Сродкі М.л. выкарыстоўваюцца ў даследаваннях уласцівасцей дэдуктыўных тэорый (гл. Металогіка, Метаматэматыка). Праблематыка і навук. метад М.л. непасрэдна звязаны з інш. навукамі пра мысленне і пазнанне, у т. л. з логікай дыялектычнай. Гл. таксама Алгарытмаў тэорыя, Лагістыка.

Літ.:

Клини С.К. Математическая логика: Пер. с англ. М., 1973;

Шенфилд Дж.Р. Математическая логика: Пер. с англ. М., 1975;

Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М., 1982;

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Теория доказательств: Пер. с нем. М., 1982;

Брюшинкин В.Н. Логика, мышление, информация. Л., 1988;

Логика и компьютер. Л., 1990.

С.​Ф.​Дубянецкі.

т. 10, с. 213

НО́ТНАЕ ПІСЬМО́, натацыя (ад лац. notatio запісванне, абазначэнне),

сістэма графічных знакаў для запісу музыкі, а таксама сам запіс.

Узнікла ў старажытнасці. Першапачаткова перададзеныя па слыху мелодыі абазначаліся піктаграфічным спосабам (з дапамогай выяў) або на аснове алфавітаў, ідэаграфічнага (іерагліфічнага) пісьма і лічбаў (вызначалі ў асн. вышыню гукаў, зрэдку рытм). Найб. стараж. сістэмы натавання кітайская (1300 да н.э.), вавілонская (800 да н.э.), індыйская і грэч. (400 да н.э. — 400 н.э.). У сярэднія вякі для натавання літургічнай музыкі найб. карысталіся неўменным пісьмом (спец. знакі — неўмы — пісаліся над словамі тэксту для напаміну мелодыі песнапенняў). Паступова для больш дакладнага абазначэння вышыні неўмаў пачалі карыстацца лініямі, якія не паказвалі дакладную вышыню гукаў, але дазвалялі адрозніваць гукі адносна больш нізкія і больш высокія. Колькасць такіх ліній дасягала 18; яны як бы ўзнаўлялі на паперы струны муз. інструмента. У 11 ст. Гвіда д ’Арэца ўвёў 4 нотныя лініі (прататып сучаснага нотнага стану). У пачатку ліній ён змяшчаў літарныя знакі (прататыпы сучасных ключоў), што пазначалі дакладную вышыню запісаных на лініях гукаў. Пазней неўменныя знакі заменены квадратнымі або ромбападобнымі нотнымі галоўкамі (пазначалі толькі вышыню гукаў). Неўменным Н.п. найчасцей запісвалі грыгарыянскі харал (адсюль назва харальная натацыя). У канцы 12 ст. пачалі пазначаць працягласць гукаў, узнікла мадальная натацыя. вытокам якой былі старагрэч. стопы — модзі (адсюль назва). У пач. 14 ст. ўзнікла т.зв. мензуральнае Н.п. Яно адначасова фіксавала вышыню і працягласць гукаў (апошнюю вызначала форма нотных галовак) і служыла пераважна для запісу ансамблевай музыкі. Знакі мензуры, якія ўстанаўлівалі 3- або 2-дольнасць кожнай нотнай працягласці, змяшчаліся ў пачатку нотнага радка. пры змене мензуры — у сярэдзіне нотнага тэксту. Знакі паўз адпавядалі мензуральным працягласцям і насілі іх назвы. У 15—17 ст. існавала таксама літарная. або лічбавая сістэма, т.зв. табулатура, для запісу сольнай інстр. музыкі, якая мела шмат разнавіднасцей адпаведна асаблівасцям асобных інструментаў (напр., клавішная. або арганная, лютневая, гітарная, скрыпічная, для цытры, флейты і інш.). Існавалі і нац. табулатуры: ням.. ісп., франц., італьян. і найб. стараж. — англійская (каля 1325). Ва. Усх. Еўропе існавалі самаст. візантыйская (10—18 ст.) і стараж.-руская неўменныя сістэмы натацыі. Найб. стараж. візантыйскія помнікі запісаны экфанетычным Н.п. (9—11 ст.), якое пазначала акцэнты і муз.-рэчытатыўныя інтанацыі літургічных тэкстаў. рытарычныя фігуры (пытанне, вокліч, сцвярджэнне), у пач. 12—15 ст. — вышыню кожнага гуку і акцэнтна-рытмічную структуру мелодыі. У 15 ст. ўведзены дадатковыя знакі для запісу мелізматычных формул. Стараж.-рус. безлінейная сістэма знаменнага Н.п., як і сам знаменны спеў (роспеў), была ўласціва помнікам пісьмовай муз. культуры рускіх, беларусаў, украінцаў, балгар, сербаў, харватаў і інш. У Расіі ў канцы 11—17 ст. існавала безлінейнае знаменнае, стаўпавое або крукавое Н.п. (гл. Крукі). Напачатку яно ўяўляла сабой разнавіднасць ідэаграфічнага неўменнага пісьма — знакі паказвалі асобныя інтанацыі або матывы, а не дакладную вышыню і працягласць гукаў. У 2-й пал. 16 ст. ўведзены кінаварныя паметы, якія паказвалі не толькі вышыню. але і колькасць гукаў, іх напрамак і працягласць. Знакі знаменнага Н.п. адпавядалі 1, 2, 3. 4 і больш гукам, часам цэлым папеўкам, т.зв. какізам. Найб. развітыя мелодыі былі звязаны з тайназамкнёнымі знакавымі зваротамі — ліцамі і фітамі (дайшло больш за 900). Зберагліся фітнікі — зборнікі, дзе змешчаны фіты ў іх графічным абрысе і назве, а таксама з разводам (перакладам на больш даступныя і агульнаўжывальныя знакі безлінейнага Н.п.). Існавалі таксама стараж.-рус. безлінейная кандакарная муз. сістэма (ад грэч. кандак — кантак — палачка, на якую нагортвалі скрутак пергаменту), дзямественная, пуцявая і казанская сістэмы Н.п. (канец 16—17 ст.). У сярэдзіне 17 ст. ўзнікла 5-лінейнае квадратнае кіеўскае Н.п. (занесена ў Расію выхадцамі з Беларусі і Украіны). У 19 — пач. 20 ст. ў Расіі існавала лічбавая нотная сістэма — цыфір, дзе ноты замяняліся лічбамі. Цыфір’ю надрукаваны 2 зб. «Лепта» (1890, 1914), дзе змешчаны рус., бел. і ўкр. канты і псальмы.

На Беларусі ўжо з 2-й пал. 15 ст. вядома квадратная лінейная натацыя на ўзор ранняй чэшскай, якою запісаны Істэбніцкі канцыянал Яна Гуса (1420). У 1-й пал. 16 ст. паявіліся друкаваныя зборнікі з 5-лінейнай неўменнай зах,еўрап. натацыяй (гл. Канцыяналы). Першы бел. рукапісны зборнік з 5-лінейным кіеўскім Н.п. — «Супрасльскі ірмалагіён» (1598—1601). Зборнік бел. музыкі «Полацкі сшытак» (16—17 ст.) напісаны квадратнай кіеўскай і круглай італьян. нотай, што ляжыць у аснове сучаснага Н.п. Перавага сучаснага Н.п. ў нагляднасці абазначэння гукавышыннага становішча нот і іх метрарытмічных суадносін, у наяўнасці ключоў, якія дазваляюць карыстацца нотным станам для запісу розных дыяпазонаў муз. гукарада, абмежавацца 5-лінейнай нотнай сістэмай і толькі зрэдку звяртацца да дадатковых ліній і вызначэнняў. Элементы сучаснага Н.п. — 5-лінейны нотны стан, ключы, якія паказваюць вышыннае значэнне яго ліній, нотныя знакі — ноты і іх розныя элементы, што выяўляюць адносную працягласць гукаў паводле матэм. прынцыпу дзялення на 2 кожнай нотнай (часавай) долі; знакі альтэрацыі пры ключы, якія фіксуюць вышыню дадзенай ступені на працягу ўсяго твора, і пры асобных нотах (выпадковыя) для змены вышыні ступені толькі ў дадзеным такце і актаве; вызначэнні метра, ці колькасці часавых долей у дадзеным такце і іх працягласці; дадатковыя знакі для павелічэння працягласці гуку (кропка. фермата. ліга), аб’яднання некалькіх нотных станаў у агульную нотную сістэму ў адпаведнасці з магчымасцямі інструмента, ансамблевых, хар. і аркестравых складаў. Існуе і развітая сістэма дадатковых абазначэнняў — нюансаў тэмпавых (allegro, andante, adagio, presto і ў лічбах ваганняў маятніка метранома), дынамічных і тых, што ўказваюць на прыёмы выканання, характар выразнасці і інш., што дае магчымасць фіксаваць музыку больш дакладна. З паяўленнем новых муз. плыней 20 ст. адбываецца. з аднаго боку, далейшае ўдакладненне і ўзбагачэнне выканальніцкіх пазначэнняў, пашырэнне іх комплексу, з другога — адмаўленне ад дакладнай пісьмовай фіксацыі муз. твораў, магчымасць нотнага запісу ў выглядзе шэрагу накідаў, свайго роду муз. графікі, спецыфічныя формы запісу, прызначаныя для абазначэння ў тэксце асобых эфектаў гучання і інш.

Літ.:

Ластоўскі В.У. Гісторыя беларускай (крыўскай) кнігі. Коўна, 1926;

Нюрнберг М. Нотная графика. Л., 1953;

Бражников М.В. Древнерусская теория музыки. Л., 1972;

Rybaric R. Vývoj európskeho notopisu. Bratislava, 1982.

Л.​П.​Касцюкавец.

т. 11, с. 382