Verbum

АРЫФМЕ́ТЫКА (ад грэчаскага arithmos лік),

навука, галоўны аб’ект якой цэлыя, рацыянальныя лікі і дзеянні над імі. Узнікла ў старажытныя часы з практычных патрэб чалавека лічыць і вымяраць. Для падліку вялікай колькасці аб’ектаў створаны сістэмы лічэння. Найбольш зручная дзесятковая сістэма лічэння; існуюць таксама сістэмы лічэння з асновамі 5, 12, 20, 40, 60 і нават 11 (Новая Зеландыя). З пашырэннем вылічальнай тэхнікі выкарыстоўваецца двайковая сістэма лічэння.

Да пачатку нашай эры былі атрыманы дастаткова глыбокія вынікі: даказана бесканечнасць мноства простых лікаў, несувымернасць стараны квадрата і яго дыяганалі (па сутнасці доказ ірацыянальнасці ліку √2), створаны алгарытм выяўлення агульнай меры двух адрэзкаў і найбольшага агульнага дзельніка, Піфагорам знойдзены агульны выгляд цэлалікавых катэтаў і гіпатэнузы прамавугольных трохвугольнікаў, значны ўплыў на развіццё арыфметыкі зрабіў Архімед. Фундаментальнае значэнне арыфметыкі як навукі стала зразумелым у канцы 17 стагоддзя ў сувязі з далучэннем да яе паняцця ірацыянальнага ліку. Развіццё апарату сувязяў паміж гэтымі лікамі і іх рацыянальнымі набліжэннямі (у прыватнасці, дзесятковымі), а таксама вынаходства і дастасаванне лагарыфмаў (шатландскі матэматык Дж.​Непер) значна пашырылі тэматыку даследаванняў. Шматлікія пытанні знайшлі вырашэнне ў лікаў тэорыі. Спроба Г.Грасмана аксіяматычнай пабудовы арыфметыкі (сярэдзіна 19 стагоддзя) завершана італьянскім матэматыкам Дж.​Пеана ў выглядзе 5 аксіём: 1) адзінка ёсць натуральны лік; 2) наступны за натуральным лікам ёсць таксама натуральны лік; 3) у адзінкі няма папярэдняга натуральнага ліку; 4) калі натуральны лік a стаіць за натуральным лікам b і за натуральным лікам c, то b і c тоесныя; 5) калі якое-небудзь сцвярджэнне даказана для адзінкі і калі з дапушчэння, што яно праўдзівае для натуральнага ліку n, вынікае, што яно выконваецца і для наступнага за n натуральнага ліку, то гэта сцвярджэнне справядліва для адвольнага натуральнага ліку (аксіёма поўнай матэматычнай індукцыі). Па-за прапанаванай сістэмай аксіём застаюцца многія пытанні, у якіх вывучаецца ўся бесканечная сукупнасць натуральных лікаў, што патрабуе даследавання несупярэчлівасці адпаведнай сістэмы аксіём і больш дэталёвага аналізу сэнсу сцвярджэнняў, якія вынікаюць з яе. Як навука арыфметыка часам атаясамліваецца з тэорыяй лікаў.

Літ.:

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1—3. М., 1970—72. Депман И.Я. История арифметики. 2 изд. М., 1965.

В.​І.​Бернік.

т. 2, с. 9

ЗО́ННАЯ ТЭО́РЫЯ крышталічных цвёрдых цел,

квантавая тэорыя спектра энергій электронаў крышталя. Паводле З.т. гэты спектр складаецца з зон дазволеных і забароненых энергій. З.т. тлумачыць шэраг уласцівасцей і з’яў у крышталях, у прыватнасці, розны характар іх электраправоднасці.

Аснова З.т. — аднаэлектроннае прыбліжэнне: скорасць руху атамных ядраў каля становішчаў раўнавагі многа меншая за скорасць электронаў; кожны электрон рухаецца ў трохмерна-перыядычным полі, якое ствараецца ядрамі і астатнімі электронамі. Зона праводнасці (с) і валентная зона (v) утвораны сукупнасцю атамных энергет. узроўняў, «расшчэпленых» у выніку аб’яднання свабодных атамаў у крышт. рашотку. Узроўні энергіі валентных электронаў (е) атама расшчапляюцца і зрушваюцца значна больш, чым узроўні ўнутраных электронаў (і). Шырыня забароненай зоны Eg (энергет. шчыліна паміж v- і с-зонамі) вызначаецца раўнаважнай адлегласцю паміж ядрамі (пастаяннай крышт. рашоткі d) У крышталі з N ідэнтычных атамаў кожны атамны ўзровень расшчапляецца на N узроўняў, якія ўтвараюць квазінеперарыўную дазволеную зону або яе частку. Электроны запаўняюць дазволеныя зоны энергій у адпаведнасці з Паўлі прынцыпам: на N узроўнях зоны можа знаходзіцца не больш за 2N электронаў. Уласцівасці крышталя залежаць ад колькасці электронаў у зоне праводнасці і/ці ад колькасці незапоўненых узроўняў (вакансій для электронаў) у валентнай зоне. Калі энергет. зона запоўнена электронамі часткова, то пад уздзеяннем знешняга эл. поля яны пераразмяркоўваюцца па ўзроўнях у зоне. Пры гэтым парушаецца сіметрыя размеркавання электронаў па скорасцях — узнікае эл. ток. Таму крышталь з часткова запоўненай c-зонай з’яўляецца правадніком электрычнасці — металам. Электроны ў поўнасцю запоўненай v-зоне з-за прынцыпу Паўлі не могуць пераразмяркоўвацца па ўзроўнях энергіі; крышталь з пустой с-зонай і поўнасцю запоўненай электронамі v-зонай — дыэлектрык. Калі цеплавая энергія дастатковая для пераводу часткі электронаў з v-зоны ў c-зону, то электраправоднасць крышталя расце пры награванні; такі крышталь — паўправаднік. Пры слаба перакрытых с- і v-зонах крышталь з’яўляецца паўметалам (напр., вісмут), а пры змыканні гэтых зон (Eg=0) — бясшчылінным паўправадніком (напр., шэрае волава). З.т. — набліжэнне да рашэння фундаментальнай задачы: вывесці ўласцівасці крышталя з уласцівасцей атамаў, з якіх ён складаецца.

Літ.:

Харрисон У.А. Электронная структура и свойства твердых тел: Физика химической связи: Пер. с англ. Т. 1—2. М., 1983;

Анималу А. Квантовая теория кристаллических твердых тел: Пер. с англ. М., 1981.

М.​А.​Паклонскі.

т. 7, с. 107