Verbum

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́Л у матэматыцы,

галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння функцыі. Формулы і правілы знаходжання Д. вынікаюць з формул і правіл дыферэнцавання функцый. Паняцце Д. адлюстроўвае блізкасць дадзенай функцыі да лінейнай у малым наваколлі разгляданага пункта, абагульняецца на адлюстраванне адной эўклідавай прасторы на другую, на камплексныя і вектар-функцыі і з’яўляецца адным з асн. паняццяў сучаснага нелінейнага функцыянальнага аналізу.

Калі поўнае прырашчэнне $∆y=ƒ\text{(}{x}_0+∆x\text{)}-ƒ\text{(}{x}_0\text{)}$ функцыі y = ƒ(x) у пункце x = x₀ можна запісаць у выглядзе $∆y=A\text{(}{x}_0\text{)}∆x+a∆x$ , дзе a→0 пры Δx→0, то комплекс A(x₀)∆x наз. дыферэнцыялам функцыі ў пункце x₀ [абазначаецца dy або dƒ(x₀)], а саму функцыю — дыферэнцавальнай і яе вытворная 𝑓′(x₀) = A(x₀). Д. незалежнай пераменнай супадае з яе прырашчэннем і таму dy = A(x₀)dx і вытворную $ƒ\prime \text{(}{x}_0\text{)}=\frac{dy}{dx}$ можна трактаваць як дзель двух Д. Для складанай функцыі y = ƒ(g(x)) Д. у пункце x = x₀ можна запісаць у выглядзе dy = y_g′g′dx = y_x′dx Функцый некалькіх пераменных разглядаюць частковыя і поўныя Д.: частковы Д. роўны здабытку частковай вытворнай на адпаведны Д. пераменнай, поўны Д. роўны суме частковых Д.

Літ.:

Гусак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике Мн., 1991;

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 299

МО́МАНТ І́МПУЛЬСУ,

фізічная велічыня, якая характарызуе меру вярчальнага руху цела (сістэмы цел) адносна пункта або восі. Паняцце «М.і.» дастасавальнае таксама да эл.-магн., гравітацыйнага і інш. фізічных палёў. Выкарыстоўваецца пры рашэнні многіх задач механікі, фізікі і тэхнікі.

М.і. матэрыяльнага пункта з імпульсамі $\overrightarrow{r}$ адносна цэнтра (полюса) O роўны вектарнаму здабытку: ${\displaystyle \overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}}$ , дзе $\overrightarrow{r}$ — радыус-вектар пункта, праведзены з цэнтра O. Для сістэмы n такіх пунктаў і адносна восі вярчэння выражаецца таксама праз вуглавую скорасць $\overrightarrow{\mathrm{\omega }}$ і момант інерцыі I дадзенай сістэмы (напр., цвёрдага цела) адносна гэтай восі: ${\displaystyle \overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\mathrm{\omega }}}$ . Змены М.і. сістэмы цел адбываюцца пад уздзеяннем толькі знешніх сіл і залежаць ад іх моманту $\overrightarrow{M}$ (гл. Момант сілы). З 2-га закону Ньютана (гл. Ньютана законы механікі) вынікае ${\displaystyle d\overrightarrow{L}/dt=\overrightarrow{M}}$ . Калі ${\displaystyle \overrightarrow{M}=\overrightarrow{0}}$ будзе пастаянным і мае месца закон захавання М.і. (гл. Захавання законы). Роўнасць ${\displaystyle \overrightarrow{M}=0}$ мае таксама месца пры руху пункта (цела) ў полі цэнтральных сіл, пры гэтым яго рух падпарадкоўваецца закону плошчаў (гл. Кеплера законы), што выкарыстоўваецца ў нябеснай механіцы, тэорыі руху ШСЗ, касм. лятальных апаратаў і інш. Большасці элементарных часціц уласцівы ўласны, унутраны М.і. (гл. Спін). Адзінка М.і. ў СІ — кілаграм-метр у квадраце за секунду.

т. 10, с. 516

ВЫПРАМЯНЕ́ННЕ электрамагнітнае, свабоднае электрамагнітнае поле, якое існуе незалежна ад крыніц, што яго ствараюць; працэс утварэння свабоднага электрамагнітнага поля. Выпрамяненню ўласцівы т.зв. карпускулярна-хвалевы дуалізм. Асн. хвалевыя характарыстыкі выпрамянення — частата ν (або даўжыня хвалі $\mathrm{\lambda }=c/\mathrm{\nu }$), дзе c — скорасць святла ў вакууме), а таксама хвалевы вектар ${\displaystyle \overrightarrow{k}=\frac{1}{\mathrm{\lambda }}\overrightarrow{n}}$ , дзе $\overrightarrow{n}$ — адзінкавы вектар напрамку распаўсюджвання хвалі. Хвалевыя ўласцівасці выпрамянення праяўляюцца ў наяўнасці інтэрферэнцыі і дыфракцыі (гл. Дыфракцыя хваль, Інтэрферэнцыя хваль). Карпускулярныя ўласцівасці характарызуюцца тым, што кожнай асобнай хвалі з частатой ν і хвалевым вектарам $\overrightarrow{k}$ адпавядае часціца (квант або фатон) з энергіяй $\mathrm{E}=\mathrm{h\nu }$ і імпульсам ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{p}}=\mathrm{h}\overrightarrow{\mathrm{k}}}$ , дзе h — Планка пастаянная. Карпускулярныя ўласцівасці праяўляюцца ў квантавых з’явах, напр., фотаэфект, Комптана эфект і інш.

Праяўленне хвалевых ці карпускулярных (квантавых) уласцівасцей выпрамянення залежыць ад яго частаты, па значэннях якой выпрамяненне ўмоўна падзяляецца на дыяпазоны (гл. табл.). <TABLE> Для хваль вял. даўжыні (напр., ЗВЧ, радыёхвалі) энергія квантаў вельмі малая, таму карпускулярныя ўласцівасці выпрамянення практычна не праяўляюцца. З павелічэннем частаты расце энергія квантаў і з інфрачырвонага дыяпазону ўжо пачынаюць пераважаць карпускулярныя ўласцівасці.

Уласцівасці выпрамянення для малых частот апісваюцца класічнай электрадынамікай, для вялікіх — квантавай. Паводле класічных Максвела ўраўненняў выпрамяненне ў кожным пункце прасторы і ў кожны момант часу характарызуецца напружанасцямі электрычнага $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ і магнітнага $\overrightarrow{\mathrm{H}}$ палёў і пераносіць энергію, аб’ёмная шчыльнасць якой ${\displaystyle \mathrm{\rho }=\frac{1}{\mathrm{8\pi }}({\mathrm{E}}^2+{\mathrm{H}}^2)}$ . У квантавай тэорыі ўраўненні Максвела поўнасцю захоўваюцца, аднак велічыні $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ і $\overrightarrow{\mathrm{H}}$ маюць іншы сэнс. У гэтым выпадку сувязь паміж хвалевымі і карпускулярнымі ўласцівасцямі выпрамянення мае статыстычны характар: шчыльнасць энергіі эл.-магн. хвалі вызначаецца лікам квантаў у адзінцы аб’ёму ${\displaystyle \mathrm{N}=\frac{\mathrm{\rho }}{h\mathrm{\nu }}}$ , для асобнага кванта імавернасць яго знаходжання ў пэўным аб’ёме прапарцыянальная шчыльнасці энергіі.

Выпрамяненне ўзнікае ў рэчыве пры нераўнамерным руху эл. зарадаў ці змене магн. момантаў, у выніку чаго рэчыва траціць энергію і адбываюцца працэсы выпрамянення. Да іх адносяцца выпрамяненне бачнага, ультрафіялетавага і інфрачырвонага святла атамамі і малекуламі, γ-выпрамяненне атамных ядраў, выпрамяненне радыёхваль антэнамі. Адваротныя працэсы выпрамянення — працэсы паглынання. Пры іх за кошт энергіі выпрамянення павялічваецца энергія рэчыва. Паводле законаў класічнай электрадынамікі сістэма рухомых зараджаных часціц неперарыўна траціць энергію ў выглядзе выпрамянення — адбываецца неперарыўны працэс утварэння эл.-магн. хваль. Аднак у квантавых сістэмах працэсы выпрамянення і паглынання дыскрэтныя і адбываюцца ў адпаведнасці з законамі квантавых пераходаў (гл. Вымушанае выпрамяненне, Спантаннае выпрамяненне).

М.​А.​Ельяшэвіч, Л.​М.​Тамільчык.

т. 4, с. 318

ІНТЭГРА́ЛЬНАЕ ЎРАЎНЕ́ННЕ,

ураўненне, якое звязвае шуканую функцыю і інтэграл ад яе. Да І.ў. зводзяцца шматлікія задачы фізікі, краявыя задачы, задачы на адшуканне ўласных значэнняў дыферэнцыяльных ураўненняў і інш.

Тэорыя І.ў. зарадзілася ў канцы 19 — пач. 20 ст. ў нетрах тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў і матэм. фізікі пасля прац матэматыкаў італьян. В.​Вальтэра (1896), швед. Э.​Фрэдгальма (1903), ням. Д.​Гільберта (1912) і Э.​Шміта (1907). Яна стымулявала развіццё функцыянальнага аналізу і тэорыі аператараў у абстрактных прасторах. Адрозніваюць І.ў. рэгулярныя (з інтэграламі Рымана ці Лебега) і сінгулярныя (з няўласнымі інтэграламі розных тыпаў), лінейныя і нелінейныя. Найб. вывучаны лінейныя І.ў., напр., ураўненні Фрэдгальма $a\text{(}t\text{)}u\text{(}t\text{)}+\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}k\text{(}t,s\text{)}u\text{(}s\text{)}ds=𝑓\text{(}t\text{)}$ , дзе u(t) — шуканая, a(t), k(t,s) (ядро) і f(t) — зададзеныя функцыі, Ω — вобласць эўклідавай прасторы аднаго або многіх вымярэнняў; калі a(t) = 0, дадзенае ўраўненне наз. ўраўненнем 1-га роду, калі a(t) = 1—2-га, у астатніх выпадках — 3-га. Пры замене інтэграла на інтэгральную суму (гл. Вызначаны інтэграл) атрымліваецца сістэма алг. ураўненняў, для якой вядомыя ўмовы вырашальнасці. Важнымі класамі нелінейных І.ў. з’яўляюцца ўраўненні Ляпунова—Шміта, Урысона і інш Разглядаюцца таксама сістэмы І.ў., а таксама І.ў. з вектар-функцыямі розных тыпаў, выпадковымі працэсамі і інш. Рашэнні ўраўненняў часта знаходзяць лікавымі метадамі.

На Беларусі даследаванні па тэорыі І.ў. пачаты ў 1961 пад кіраўніцтвам Ф.​Дз.Гахава (сінгулярныя ўраўненні) і праводзяцца ў БДУ, Ін-це матэматыкі Нац. АН і інш.

П.​П.​Забрэйка.

т. 7, с. 280

КВА́НТАВАЯ ТЭО́РЫЯ ПО́ЛЯ,

рэлятывісцкая квантавая тэорыя элементарных часціц і іх узаемадзеянняў; адзін з асн. раздзелаў тэарэт. фізікі, у якім вывучаюцца агульныя законы будовы матэрыі на мікраўзроўні. У К.т.п. кожнаму тыпу элементарных часціц як першасных крыніц і пераносчыкаў фундаментальных узаемадзеянняў ставіцца ў адпаведнасць сваё другасна-квантаванае поле (гл. Другаснае квантаванне), якое апісваецца аператарнай хвалевай функцыяй Ψ (гл. Аператары, Хвалевая функцыя). Кампаненты Ψ пры замене каардынат прасторы—часу згодна з патрабаваннямі спец. адноснасці тэорыі пераўтвараюцца паводле прадстаўленняў групы Лорэнца (гл. Лорэнца пераўтварэнні). Функцыі свабодных палёў Ψ₀ раскладаюцца на плоскія хвалі дэ Бройля, якія апісваюць станы з вызначанай энергіяй і імпульсам: ${\displaystyle {\mathrm{\Psi }}_0=\sum _{\mathrm{n}}^{\mathrm{}}\text{(}{C}_n{e}^{ikx}+e^{-ikx}\text{)}}$ , дзе K = p/h, p — 4-мерны вектар энергіі-імпульсу часціцы, h — Планка пастаянная, x — вектар каардынат-часу, C_n і $C_n^{\mathrm{+}}$ — аператары паглынання і выпрамянення часціц у нейкім n-м стане. Аператары задавальняюць перастановачным суадносінам камутацыі (антыкамутацыі) і адпавядаюць часціцам цэлага (паўцэлага) спіна — базонам (ферміёнам), якія падпарадкоўваюцца Бозе—Эйнштэйна (Фермі—Дзірака) статыстыцы. У К.т.п. кожнай часціцы адпавядае антычасціца, а квантаванае поле з’яўляецца сістэмай часціц і антычасціц. Тут няма закону захавання ліку часціц: пры ўзаемадзеянні яны могуць узаемна пераўтварацца адны ў другія (адны часціцы паглынаюцца, другія нараджаюцца). Стан квантаванага поля, у якім колькасць рэальных часціц роўная нулю, наз. вакуумам (гл. Вакуум у квантавай тэорыі поля).

Першай К.т.п. стала квантавая электрадынаміка. Яе ідэі і метады былі распаўсюджаны на ўсе элементарныя часціцы і выкарыстаны пры пабудове квантавапалявых тэорый слабага (Э.​Фермі, 1934) і моцнага (І.​Я.​Там, Дз.​Дз.​Іваненка, Х.​Юкава, 1932—35) узаемадзеянняў, якія, аднак, не вытрымалі выпрабавання часам. Таму значнае развіццё атрымалі аксіяматычны і іншыя падыходы ў К.т.п. Аднак толькі на падставе універсальнага дынамічнага прынцыпу калібровачнай інварыянтнасці пабудаваны сучасныя калібровачныя квантавапалявыя тэорыі электраслабага ўзаемадзеяння (С.​Вайнберг, Ш.​Глэшаў, А.​Салам, 1967—71) і моцнага ўзаемадзеяння — квантавая хромадынаміка (М.​Гел-Ман, Вайнберг, Салам і інш., 1973), якія забяспечылі дастаткова добрую згоду тэорыі эксперыментам. Першаснымі крыніцамі гэтых узаемадзеянняў сталі лептоны і кваркі, а іх пераносчыкамі — кванты адпаведных калібровачных палёў: фатон, 3 слабыя вектарныя базоны і 8 глюонаў. Далейшае развіццё К.т.п. звязваецца з канцэпцыяй адзінай тэорыі поля, суперсіметрыі, рашотак, струн, мембран і інш. Метады К.т.п. шырока выкарыстоўваюцца ў ядз. фізіцы, тэорыі цвёрдага цела, оптыцы і спектраскапіі, квантавай электроніцы і інш.

На Беларусі пытанні К.т.п. распрацоўваюцца з 1944 у БДУ, пазней у Ін-це фізікі Нац. АН Беларусі (да пач. 1990-х г. пад кіраўніцтвам Ф.​І.​Фёдарава). Пабудавана агульная каварыянтная тэорыя рэлятывісцкіх хвалевых ураўненняў 1-га парадку, распрацаваны метад праекцыйных аператараў, з дапамогай уведзенай вектарнай параметрызацыі групы Лорэнца вырашаны многія пытанні рэлятывісцкай кінематыкі (Фёдараў, А.​А.​Богуш, Ю.​А.​Курачкін і інш.).

Літ.:

Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М., 1957;

Федоров Ф.И. Проективные операторы в теории элементарных частиц // Журн. эксперимент. и теорет. физики. 1958. Т. 35, вып. 2;

Яго ж. Группа Лоренца. М., 1979;

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля: Пер. с англ. М., 1963;

Ченг Т.-П., Л и Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц: Пер. с англ. М., 1987.

А.​А.​Богуш, Ф.​І.​Фёдараў.

т. 8, с. 208

ІНВАРЫЯ́НТНАСЦЬ у фізіцы,

нязменнасць аб’екта (фіз. велічыні, матэм. суадносін, ураўненняў фіз. тэорыі і інш.) адносна пэўных пераўтварэнняў, якія адлюстроўваюць незалежнасць фіз. заканамернасцей ад канкрэтных сітуацый, у якіх яны ўстанаўліваюцца і ад спосабу апісання гэтых сітуацый. І. звязана з уласцівасцямі сіметрыі прасторы і часу, для матэм. апісання якіх у класічнай механіцы выкарыстоўваюцца Галілея пераўтварэнні, а ў рэлятывісцкай тэорыі — Лорэнца пераўтварэнні. Аднароднасць і ізатропнасць трохмернай (эўклідавай) прасторы і аднароднасць часу, як вынікае з Нётэр тэарэмы, прыводзяць да існавання фундаментальных законаў захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу.

І. звязана з агульнымі і найб. глыбокімі ўласцівасцямі матэрыяльных аб’ектаў, прасторы і часу. Напр., рэлятывісцкая інварыянтнасць звязана з аднароднасцю і ізатропнасцю 4-мернай прасторы-часу, а ізатапічная інварыянтнасць — з незалежнасцю моцнага ўзаемадзеяння элементарных часціц ад іх эл. зарадаў. Пры стварэнні розных аб’яднаных тэорый (гл. Вялікае аб’яднанне, Электраслабае ўзаемадзеянне) выяўляюцца інш. віды І., напр. Калібровачная інварыянтнасць. З паняццем І. цесна звязана паняцце каварыянтнасці. Паводле яе патрабаванняў пры адпаведных пераўтварэннях сіметрыі захоўваецца толькі форма запісу матэм. суадносім фіз. тэорыі, а самі велічыні могуць мяняцца. Напр., 4-вектар энергіі-імпульсу P (P₁; P₂; P₃; P₄) P′ (P₁′; P₂′; P₃′; P₄′) — каварыянт, а яго квадрат P​² = (P′)​² = −m​²c​⁴ — інварыянт, дзе m — маса спакою рэлятывісцкай часціцы, c — скорасць святла ў вакууме. На прынцыпах каварыянтнасці грунтуецца т. зв. каварыянтны падыход, распрацаваны Ф.Л.Фёдаравым для рашэння задач тэарэт. фізікі (гл. Каварыянтныя метады, Праектыўных аператараў метад).

Літ.:

Вигнер Е. Этюды о симметрии: Пер. с англ. М., 1971;

Федоров Ф.И. Группа Лоренца. М., 1979.

А.​А.​Богуш.

т. 7, с. 220

ЗНА́КІ МАТЭМАТЫ́ЧНЫЯ,

умоўныя абазначэнні (сімвалы), якімі карыстаюцца для запісу матэм. паняццяў, суадносін, выкладак і ніш. Напр., выраз «лік тры большы за лік два» з дапамогай З.м. запісваецца як 3 > 2.

Развіццё матэм. сімволікі цесна звязана з агульным развіццём паняццяў і метадаў матэматыкі. Першымі З.м. былі лічбы — знакі для абазначэння лікаў; мяркуюць, што яны папярэднічалі ўзнікненню пісьменнасці. З.м. для абазначэння адвольных велічынь з’явіліся 5—4 ст. да н.э. ў Грэцыі. Напр., плошчы, аб’ёмы, вуглы адлюстроўваліся адрэзкамі, а здабыткі велічынь — прамавугольнікамі, пабудаванымі на такіх адрэзках. У «Асновах» Эўкліда (3 ст. да н.э.) велічыні абазначаюцца дзвюма літарамі — пачатковай і канцавой літарамі адпаведнага адрэзка, а часам і адной. Пачаткі літарнага абазначэння і злічэння ўзніклі ў познаэліністычную эпоху (Дыяфант; верагодна 3 ст.) пры вызваленні алгебры ад геам. формы. Сучасная алг. сімволіка створана ў 14—17 ст.; яе развіццё і ўдасканаленне спрыяла ўзнікненню новых раздзелаў матэматыкі (гл. напр., Аперацыйнае злічэнне, Варыяцыйнае злічэнне, Тэнзарнае злічэнне) і матэм. логікі (Алгебра логікі).

А.​А.​Гусак.

т. 7, с. 99