Verbum

ГРЫ́НА ФУ́НКЦЫЯ,

функцыя, звязаная з інтэгральным выяўленнем рашэнняў краявых задач для дыферэнцыяльных ураўненняў. Апісвае вынік уздзеяння кропкавай (засяроджанай) крыніцы сілы, зараду ці інш. (функцыя крыніцы) або распаўсюджванне палёў ад кропкавых крыніц (функцыя распаўсюджвання, напр., патэнцыял поля кропкавага эл. зарада, размешчанага ўнутры заземленай праводнай паверхні). Названа ў гонар Дж.Грына. Грына функцыя і яе аналагі выкарыстоўваюцца ў тэорыі функцый, канечна-рознасных ураўненняў, тэарэт. фізіцы, квантавай тэорыі поля, стат. фізіцы і інш.

Грына функцыя зводзіць вывучэнне ўласцівасцей дыферэнцыяльнага аператара да вывучэння ўласцівасцей адпаведнага інтэгральнага аператара, дае магчымасць знаходзіць рашэнні неаднароднага ўраўнення, трактуецца як фундаментальнае рашэнне лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўн., якое адпавядае аднародным краявым умовам, і г.д. Напр., поле, створанае сістэмай крыніц (у т. л. працяглымі крыніцамі), апісваецца ў выглядзе лінейнай камбінацыі (суперпазіцыі) уплываў асобных крыніц. Гл. таксама Ураўненні матэматычнай фізікі.

Р.Т.Вальвачоў, Л.А.Яновіч.

т. 5, с. 482

АЛГЕБРАІ́ЧНАЯ ФУ́НКЦЫЯ,

функцыя, звязаная алгебраічным ураўненнем з незалежнай пераменнай; важнейшая функцыя матэматыкі. Алгебраічная фунцыя $f\text{(}x\text{)}$ наз. абмежаванай зверху (знізу) на мностве E, калі існуе лік M, што для кожнага x з мноства E выконваецца няроўнасць $f\text{(}x\text{)}<\mathrm{M}\text{[}f\text{(}x\text{)}>\mathrm{M}\text{]}$ , напр., функцыя x​² абмежаваная на адрэзку $0\le \mathrm{x}\le 1$. Рацыянальная алгебраічная функцыя атрымліваецца ў выніку канечнага ліку арыфм. аперацый (складання, аднімання, множання і дзялення) над пераменнымі і лікамі, напр., $\mathrm{z}={\mathrm{5x}}^2+\mathrm{3xy}-{\mathrm{2y}}^2$ , $\mathrm{y}=\frac{1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2}{1+{\mathrm{x}}^3}$ ; астатнія алгебраічныя функцыі — ірацыянальныя, якія звычайна неадназначныя, напр., $\mathrm{z}=\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}}$ , $\mathrm{y}=\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}$ . Агульная тэорыя алгебраічнай функцыі звязана з тэорыяй аналітычных функцый, алгебрай і алгебраічнай геаметрыяй.

т. 1, с. 235

ГАРМАНІ́ЧНАЯ ФУ́НКЦЫЯ,

функцыя некалькіх рэчаісных пераменных, якая неперарыўная ў некаторай вобласці разам з частковымі вытворнымі 1-га і 2-га парадку і задавальняе ў гэтай вобласці Лапласа ўраўненню. Гарманічная функцыя 2 пераменных звязаны з аналітычнымі функцыямі камплекснай пераменнай, рэчаісная і ўяўная часткі якіх — спалучаныя гарманічныя функцыі (звязаныя Кашы—Рымана ўраўненнем). Гарманічныя функцыі выкарыстоўваюцца пры рашэнні многіх задач эл.-магнетызму гідра- і аэрадынамікі, тэорыі фільтрацыі і цеплаправоднасці і інш.

т. 5, с. 63

АДВАРО́ТНАЯ ФУ́НКЦЫЯ да функцыі y=$f\text{(}x\text{)}$, функцыя x=φ(y), што атрымліваецца з зададзенай функцыі $f\text{(}x\text{)}$, калі з ўраўнення $f\text{(}x\text{)}$=y выразіць x праз y. Напр., x=lny — адваротная функцыя для y=e​^х, x=+√y — для y=x​²(x≥0). Функцыі y=$f\text{(}x\text{)}$ і x=φ(y) наз. ўзаемна адваротнымі. Вобласць вызначэння адной з дзвюх такіх функцый з’яўляецца вобласцю значэнняў другой і наадварот. Графікі ўзаемна адваротнай функцыі сіметрычныя адносна бісектрысы першага і трэцяга каардынатных вуглоў.

т. 1, с. 98

АНАЛІТЫ́ЧНАЯ ФУ́НКЦЫЯ,

функцыя, значэнне якой у кожным пункце яе вобласці вызначэння роўнае суме ступеннага шэрага, які збягаецца ў некаторым наваколлі гэтага пункта. Да аналітычнай функцыі адносяцца: рацыянальная функцыя, паказнікавая функцыя, лагарыфмічная функцыя, трыганаметрычныя функцыі, адваротныя трыганаметрычныя функцыі, іх разнастайныя кампазіцыі, а таксама функцыі, адваротныя да гэтых кампазіцый. Існуюць аналітычныя функцыі аднаго або некалькіх рэчаісных ці камплексных пераменных. Функцыя f(z) аднаго комплекснага пераменнага z=x+iy наз. аналітычнай функцыяй у пункце z₀, калі ў некаторым наваколлі h гэтага пункта існуе канечная вытворная $\mathrm{f}\text{′(}\mathrm{z}\text{)}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{\mathrm{f}\text{(}\mathrm{z}+\mathrm{h}\text{)}-\mathrm{f}\text{(}\mathrm{z}\text{)}}{\mathrm{h}}$ (дыферэнцыравальнасць функцыі), што мае месца ў тым і толькі ў тым выпадку, калі выконваецца ўмова Кашы—Рымана $\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dz̅}}=0$ , дзе $\mathrm{z̅}=\mathrm{x}+\mathrm{y}$. Асновы тэорыі аналітычнай функцыі былі закладзены А.Кашы, Б.Рыманам і К.Веерштрасам, С.В.Кавалеўскай і інш. На Беларусі даследаванні па тэорыі аналітычнай фунцыі пачаліся ў 1930-я г. ў БДУ (М.В.Ламбін, М.Л.Лукомская), з 1960-х г. праводзяцца ў АН, БДУ і інш. ВНУ рэспублікі (Ф.Дз.Гахаў, Э.І.Звяровіч і інш.). Аналітычныя функцыі маюць шматлікія дастасаванні ў матэм. аналізе (вылічэнне вызначаных інтэгралаў), у геаметрыі (канформныя адлюстраванні), у тэорыі пругкасці, гідрадынаміцы, электрадынаміцы і інш. навуках. Гл. таксама Кашы інтэграл, Кашы тэарэма.

Літ.:

Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1—2. М., 1967—68;

Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1—2. 3 изд. М., 1985;

Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3 изд. М., 1977.

Э.І.Звяровіч.

т. 1, с. 335

БАР’Е́РНАЯ ФУ́НКЦЫЯ,

здольнасць арганізма чалавека і жывёл праз своеасаблівыя фізіял. механізмы, т.зв. бар’еры, захоўваць сваё ўнутр. асяроддзе (кроў, лімфу, тканкавую вадкасць) ад вонкавых уздзеянняў і падтрымліваць яго адносна пастаянны хім., фіз. састаў і біял. ўласцівасці. Адрозніваюць вонкавыя (скура, дыхальны, стрававальны і выдзяляльны апараты, печань, слізістыя абалонкі) і ўнутраныя (гематалагічныя) бар’еры. Бар’ерная функцыя выпрацавалася ў працэсе эвалюцыі і вызначае жыццядзейнасць органаў і тканак, іх адчувальнасць да бактэрый, ядаў, таксінаў, чужародных рэчываў, лекаў.

т. 2, с. 307

АДНАРО́ДНАЯ ФУ́НКЦЫЯ,

функцыя адной або некалькіх пераменных, якая адпавядае ўмове: пры адначасовым множанні ўсіх пераменных на адзін і той жа адвольны лік значэнне функцыі памнажаецца на некаторую ступень гэтага ліку.

Напр., $\mathrm{f}\text{(λx, λy, ..., λu)}={\mathrm{\lambda }}^{\mathrm{n}}\mathrm{f}\text{(x, y, ..., u)}$ , дзе n — паказчык аднароднасці, або вымярэння аднароднай функцыі. Сустракаюцца ў геам. формулах. Калі $\mathrm{x}=\mathrm{f}\text{(a, b, ... , 1)}$ , дзе a, b, ..., 1 — даўжыні адрэзкаў, вымераных адным адвольным маштабам, то правая частка выразу павінна быць аднароднай функцыяй (вымярэнне 1, 2 або 3 у залежнасці ад таго, што вызначае x — даўжыню, плошчу або аб’ём).

т. 1, с. 123

дробава-лінейная функцыя

т. 6, с. 207