Verbum

НО́РМА,

матэматычнае паняцце, якое абагульняе паняцце абсалютнай велічыні ліку. Напр., Н. вектара $\overrightarrow{x}$ наз. яго даўжыня ∥$\overrightarrow{x}$∥; Н. кватэрніёна a + bi + cj + dk, дзе a, b, c, d — сапраўдныя лікі, i, j, k — уяўныя адзінкі, лік a​² + b​² + c​² + d​².

т. 11, с. 377

ЛІ́КАЎ ТЭО́РЫЯ,

раздзел матэматыкі, які вывучае ўласцівасці цэлых, рацыянальных і алг. лікаў, іх сувязі з інш. лікамі (ірацыянальнымі, трансцэндэнтнымі).

Паняцце цэлага ліку, а таксама арыфм. аперацый над лікамі вядома са стараж. часоў і з’яўляецца адной з першых матэм. абстракцый. Натуральныя лікі распадаюцца на 2 класы: простыя лікі, якія маюць 2 натуральныя дзельнікі (адзінку і самога сябе), і састаўныя лікі — усе астатнія. Уласцівасці простых лікаў і іх сувязь з натуральнымі вывучаў Эўклід (3 ст. да н.э.). Вывучэнне размеркавання простых лікаў прывяло да стварэння алгарытмаў (напр., рэшата Эратасфена) для атрымання табліц такіх лікаў. Пытанні цэлалікавых рашэнняў рознага віду ўраўненняў (гл. Дыяфантавы ўраўненні) разглядалі Эўклід, Піфагор, Дыяфант і інш. Шэраг адкрыццяў у тэорыі дыяфантавых ураўненняў і ў тэорыі, звязанай з падзельнасцю цэлых лікаў належыць П.​Ферма (гл. Ферма вялікая тэарэма, Ферма малая тэарэма). Вывучэнне ірацыянальных лікаў паставіла задачу іх набліжанага вылічэння з дапамогай рацыянальных лікаў, што спрыяла ўзнікненню тэорыі дыяфантавых набліжэнняў. Адкрыццё трансцэндэнтных лікаў вылучыла шэраг праблем пра крытэрыі трансцэндэнтнасці, класіфікацыю трансцэндэнтных велічынь і інш. Вырашэнне праблем Л.т. патрабуе ўдасканалення і стварэння новых матэм. паняццяў, метадаў, напр., імкненне даказаць тэарэму Ферма прывяло ням. матэматыка Э.​Кумера (19 ст.) да стварэння асноў алг. Л.т. (тэорыя ідэалаў), вывучэнне размеркавання простых лікаў спрыяла развіццю тэорыі аналітычных функцый (Б.​Рыман, Ж.​Адамар; 19 ст.). Л.т. цесна звязана з многімі раздзеламі матэматыкі (алгебра, тапалогія, матэм. логіка, тэорыя функцый, тэорыя імавернасцей), што прыводзіць да яе сінтэзу з інш. матэм. навукамі (р-адычныя лікі, лакальны аналіз, тэорыя алг. функцый).

На Беларусі даследаванні па Л.т. пачаты ў 1960-я г. пад кіраўніцтвам У.​Г.​Спрынджука і праводзяцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН, БДУ, Бел. агр. тэхн., Гродзенскім і Магілёўскім ун-тах. Вырашаны шэраг праблем у тэорыі трансцэндэнтных лікаў, метрычнай Л.т., дыяфантавых ураўненнях.

Літ.:

Спринджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М.,1977;

Берник В.И., Мельничук Ю.В. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа. Мн., 1988.

В.​І.​Бернік.

т. 9, с. 257

ГІПЕРКАМПЛЕ́КСНЫ ЛІК,

абагульненне паняцця комплекснага ліку і пашырэнне яго на мнагамерную прастору. Уведзены ў 19 ст. пры спробах пабудаваць лікі ў мнагамернай вектарнай прасторы, якія б адыгрывалі ў ёй такую ж ролю, што і камплексныя лікі на плоскасці. Арыфм. дзеянні над гіперкамплексным лікам выражаюць некаторыя геам. працэсы ў мнагамернай прасторы ці даюць колькаснае апісанне якога-н. фіз. закона.

Гіперкамплексны лік з’яўляецца лінейнай камбінацыяй (з сапраўднымі каэфіцыентамі) некат. сістэмы базісных адзінак (гл. Базіс). Складанне і адыманне гіперкамплекснага ліку вызначана адназначна. Множанне аднаго гіперкамплекснага ліку на другі патрабуе вызначэння здабыткаў базісных адзінак, якія б захоўвалі ўсе правілы звычайнай арыфметыкі; такое магчыма толькі для сапраўдных і камплексных лікаў; у астатніх выпадках неабходна адмовіцца ад выканання таго ці іншага правіла, напр. адназначнасці дзялення, камутатыўнасці множання. Гл. таксама Кватэрніёны.

т. 5, с. 256

ДЗЯЛЕ́ННЕ,

арыфметычнае дзеянне, адваротнае множанню. Падзяліць лік a (дзеліва) на b (дзельнік адрозны ад нуля) — значыць знайсці такі лік x (дзель), што здабытак bx = a (або xb = a). Для абазначэння Дз. выкарыстоўваюць знакі двукроп’я (a:b), гарыз. ($\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$) або нахільнай (a/b) рысы.

Для рацыянальных лікаў (цэлых, дробных і нуля) Дз. адназначнае і заўсёды магчымае (акрамя Дз. на нуль, што немагчыма). У межах цэлых лікаў — адназначнае, але не заўсёды магчымае, напр., 6 дзеліцца на 2 і 3, але не дзеліцца на 5. Абагульненнем звычайнага Дз. з’яўляецца Дз. з астачай. Падзяліць цэлыя неадмоўныя лікі a на b — знайсці такія цэлыя неадмоўныя лікі x і y, якія задавальнялі б патрабаванні a = bx + y, y < b, дзе x — няпоўная дзель (пры y ≠ 0) ці дзель (пры y = 0); y — астача. Гл. таксама Падзельнасць.

т. 6, с. 138

АРА́БСКІЯ ЛІ́ЧБЫ,

назва дзесяці матэм. знакаў: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, з дапамогай якіх па дзесятковай сістэме лічэння запісваюцца любыя лікі. Узніклі ў Індыі (не пазней як у 5 ст.), у Еўропе вядомыя з 10—13 ст. з араб. крыніц (адкуль і назва).

т. 1, с. 447

ЛІНЕ́ЙНАЕ ПЕРАЎТВАРЭ́ННЕ,

1) Л.п. пераменных x₁, x₂, ..., x_n — замена гэтых пераменных на новыя y₁, y₂, ..., y_n, праз якія першасныя пераменныя выражаюцца лінейна. Матэматычна выражаецца формуламі: ${\displaystyle x_1=a_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2+\text{...}+a_{1n}{y}_n+b_1}$ , ${\displaystyle x_2=a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2+\text{...}+a_{2n}{y}_n+b_2}$ , ..................................... , ${\displaystyle x_n=a_{n1}{y}_1+a_{n2}{y}_2+\text{...}+a_{nn}{y}_n+b_n}$ , дзе a_ij, b_i — адвольныя лікі. Калі ўсе лікі b_i роўныя нулю, то Л.п. наз. аднародным. Напр., формулы пераўтварэння дэкартавых каардынат на плоскасці.

2) Л.п. вектарнай прасторы — закон, па якім вектару $\overrightarrow{x}$ з n-мернай прасторы ставіцца ў адпаведнасць новы вектар $\overrightarrow{y}$ каардынаты якога лінейна і аднародна выражаюцца праз каардынаты вектара $\overrightarrow{x}$. Напр., праектаванне вектара на адну з каардынатных плоскасцей ў трохмернай прасторы.

т. 9, с. 266