Verbum

АЛГЕБРАІ́ЧНАЕ ЎРАЎНЕ́ННЕ,

ураўненне выгляду P(x, y, ..., z)=0, дзе P(x, y, ..., z) — мнагасклад n-ай ступені (n≥0) ад адной або некалькіх пераменных. Калі пераменная адна, то лік а, які ператварае алгебраічнае ўраўненне ў тоеснасць, наз. коранем ураўнення і мнагасклад дзеліцца на (x-a) без рэшты (тэарэма Безу). У алгебраічна замкнёным полі (гл. Алгебраічны лік) кожны мнагасклад P(x) ступені n мае роўна n каранёў (у т. л. кратных). Н.Абель паказаў (1824), што пры n≥5 карані некаторых ураўненняў P(x)=0 нельга запісаць праз радыкалы.

В.​І.​Бернік.

т. 1, с. 234

БЕРНУ́ЛІ ЎРАЎНЕ́ННЕ ў гідрааэрамеханіцы, ураўненне, што звязвае скорасць і ціск у патоку несціскальнай ідэальнай вадкасці пры ўстойлівым цячэнні. Выражае энергіі захавання закон для адзінкі аб’ёму рухомай вадкасці. Мае выгляд: $\frac{\mathrm{\rho }{\mathrm{v}}^2}{2}+\mathrm{p}+\mathrm{\rho }\mathrm{g}\mathrm{h}=const$ , дзе v — скорасць вадкасці са шчыльнасцю ρ, p — ціск у ёй на вышыні h ад нулявога ўзроўню, g — паскарэнне свабоднага падзення. Выведзена Д.​Бернулі ў 1738. Абагульненае Бернулі ўраўненне выкарыстоўваецца ў гідраўліцы пры разліках цячэння вадкасцяў і газаў у трубаправодах; у машынабудаванні — пры разліках кампрэсараў, турбін і інш.

т. 3, с. 121

БІКВАДРА́ТНАЕ ЎРАЎНЕ́ННЕ (ад бі... + лац. quadratus квадратны),

ураўненне, што мае выгляд ax​⁴ + bx​² + c = 0. Падстаноўкай x​² = y зводзіцца да квадратнага ўраўнення.

т. 3, с. 150

ДЗІРА́КА ЎРАЎНЕ́ННЕ,

квантава-механічнае рэлятывісцкае хвалевае ўраўненне руху для свабодных элементарных часціц са спінам ​¹/₂. Уведзена П.Дзіракам (1928) для апісання 1-й элементарнай часціцы — электрона, які падпарадкоўваецца адначасова законам квантавай механікі і спец. адноснасці тэорыі.

На падставе Дз. ў. прадказана 13-я антычасціца — пазітрон і дадзена тэарэт. абгрунтаванне спіна. Дз. ў. дало пачатак агульнай тэорыі рэлятывісцкіх хвалевых ураўненняў 1-га парадку ва універсальнай матрычнай форме (гл. Праектыўных аператараў метад). Выкарыстоўваецца для апісання лептонаў і кваркаў як першасных крыніц узаемадзеяння элементарных часціц (гл. Квантавая электрадынаміка, Квантавая хромадынаміка).

Літ.:

Федоров Ф.И. Группа Лоренца. М., 1979;

Богуш А.А. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий. Мн., 1987.

А.​А.​Богуш.

т. 6, с. 117

ЛАПЛА́СА ЎРАЎНЕ́ННЕ,

дыферэнцыяльнае ўраўненне з частковымі вытворнымі Δu(x, y, z) = 0, дзе Δ — Лапласа аператар, u(x, y, z) — шуканая функцыя. Уведзена П.Лапласам (1782) у працах па нябеснай механіцы і тэорыі гравітацыйнага патэнцыялу.

Да Л.ў. зводзіцца шэраг задач фізікі і тэхнікі, напр., яго задавальняе т-ра пры стацыянарных працэсах, патэнцыял эл.-статычнага поля па-за межамі зарадаў, гравітацыйны патэнцыял па-за межамі прыцягальных мас. У прамавугольных дэкартавых каардынатах яно мае выгляд ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0}$ , дзе x, y, z — незалежныя пераменныя Рашэнні Л.ў., якія маюць неперарыўныя частковыя вытворныя да 2-га парадку ўключна, наз. гарманічнымі функцыямі.

А.​А.​Гусак.

т. 9, с. 134

НЕРАЗРЫ́ЎНАСЦІ ЎРАЎНЕ́ННЕ,

адно з ураўненняў гідрадынамікі, якое выражае закон захавання масы для любога аб’ёму рухомай вадкасці (газу). Мае выгляд: ${\displaystyle \frac{d\mathrm{\rho }}{dt}+div\text{(}\mathrm{\rho }\overrightarrow{\nu }\text{)}=0}$ , дзе ρ — шчыльнасць вадкасці, ${\displaystyle div\text{(}\mathrm{\rho }\overrightarrow{\nu }\text{)}=\mathrm{\rho }div\overrightarrow{\nu }}$ , $div\overrightarrow{\nu }$ — дывергенцыя вектара скорасці $\overrightarrow{\nu }$ часцінак вадкасці ў зададзеным пункце. Для несціскальнай вадкасці (ρ = const) Н.ў. прымае форму: ${\displaystyle div\overrightarrow{\nu }=0}$ , а для аднамернага цячэння, якое ўстанавілася ў канале, трубе ці інш. з плошчай папярочнага сячэння ${\displaystyle S-\mathrm{\rho }S\nu =\mathrm{const}}$ , што дае закон пастаянства расходу вадкасці.

т. 11, с. 290

ІНТЭГРА́ЛЬНАЕ ЎРАЎНЕ́ННЕ,

ураўненне, якое звязвае шуканую функцыю і інтэграл ад яе. Да І.ў. зводзяцца шматлікія задачы фізікі, краявыя задачы, задачы на адшуканне ўласных значэнняў дыферэнцыяльных ураўненняў і інш.

Тэорыя І.ў. зарадзілася ў канцы 19 — пач. 20 ст. ў нетрах тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў і матэм. фізікі пасля прац матэматыкаў італьян. В.​Вальтэра (1896), швед. Э.​Фрэдгальма (1903), ням. Д.​Гільберта (1912) і Э.​Шміта (1907). Яна стымулявала развіццё функцыянальнага аналізу і тэорыі аператараў у абстрактных прасторах. Адрозніваюць І.ў. рэгулярныя (з інтэграламі Рымана ці Лебега) і сінгулярныя (з няўласнымі інтэграламі розных тыпаў), лінейныя і нелінейныя. Найб. вывучаны лінейныя І.ў., напр., ураўненні Фрэдгальма $a\text{(}t\text{)}u\text{(}t\text{)}+\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}k\text{(}t,s\text{)}u\text{(}s\text{)}ds=𝑓\text{(}t\text{)}$ , дзе u(t) — шуканая, a(t), k(t,s) (ядро) і f(t) — зададзеныя функцыі, Ω — вобласць эўклідавай прасторы аднаго або многіх вымярэнняў; калі a(t) = 0, дадзенае ўраўненне наз. ўраўненнем 1-га роду, калі a(t) = 1—2-га, у астатніх выпадках — 3-га. Пры замене інтэграла на інтэгральную суму (гл. Вызначаны інтэграл) атрымліваецца сістэма алг. ураўненняў, для якой вядомыя ўмовы вырашальнасці. Важнымі класамі нелінейных І.ў. з’яўляюцца ўраўненні Ляпунова—Шміта, Урысона і інш Разглядаюцца таксама сістэмы І.ў., а таксама І.ў. з вектар-функцыямі розных тыпаў, выпадковымі працэсамі і інш. Рашэнні ўраўненняў часта знаходзяць лікавымі метадамі.

На Беларусі даследаванні па тэорыі І.ў. пачаты ў 1961 пад кіраўніцтвам Ф.​Дз.Гахава (сінгулярныя ўраўненні) і праводзяцца ў БДУ, Ін-це матэматыкі Нац. АН і інш.

П.​П.​Забрэйка.

т. 7, с. 280

КЕ́ЛЬВІНА ЎРАЎНЕ́ННЕ,

залежнасць ціску насычанай пары над вадкасцю або крышталём ад крывізны іх паверхні (г.зн. ад памераў малых кропель вадкасці, пузыркоў, крышталікаў). Выведзена У.Томсанам (лордам Кельвінам) у 1871 з умовы роўнасці хім. патэнцыялаў у сумежных фазах, што знаходзяцца ў тэрмадынамічнай раўнавазе.

Пры т-ры T у раўнаважных умовах ${\displaystyle \frac{p}{p_0}exp\text{(}\frac{2\mathrm{\sigma }V}{rRT}\text{)}=\frac{c}{c_0}}$ , дзе r — сярэдні радыус крывізны паверхні раздзелу фаз, p — ціск насычанай пары над сферычнай паверхняй, p₀ — ціск пары над плоскай паверхняй, c і c₀ — адпаведныя растваральнасці, σ — міжфазавае паверхневае нацяжэнне, V — малярны аб’ём кандэнсаванай фазы, R — універсальная газавая пастаянная. З К.ў. вынікае, што ціск над часцінкамі малых памераў павышаны, а ў малых пузырках або над увагнутай паверхняй паніжаны ў параўнанні з ціскам насычанай пары над плоскай паверхняй. Адпаведна растваральнасць малых кропель або крышталёў большая за растваральнасць буйных.

А.​І.​Болсун.

т. 8, с. 223