Verbum

АНАЛІТЫ́ЧНАЯ МЕХА́НІКА,

раздзел механікі, у якім рух сістэм матэрыяльных пунктаў (цел) даследуецца пераважна метадамі матэм. аналізу. Вывучае складаныя мех. сістэмы (машыны, механізмы, сістэмы часціц і інш.), рух якіх абмежаваны пэўнымі ўмовамі (гл. Сувязі механічныя).

Галаномная сістэма (мех. сувязі залежаць толькі ад каардынат і часу) у патэнцыяльным полі характарызуецца функцыяй Лагранжа $\mathrm{L}=\mathrm{T}-\mathrm{U}$ , дзе T — кінетычная і U — патэнцыяльная энергія сістэмы. Калі вядома канкрэтная залежнасць L=L(q,q́,t), дзе q — абагульненыя каардынаты, $\mathrm{<span\; class="accent">q́</span>}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{q}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ — абагульненыя скорасці, t — час, то пры дапамозе прынцыпу найменшага дзеяння можна знайсці дыферэнцыяльныя ўраўненні руху мех. сістэмы. Іх інтэграванне пры зададзеных пачатковых умовах дазваляе вызначыць закон руху сістэмы, г.зн. залежнасці q_i=q_i(t), дзе i=1, 2, ..., S, S — лік ступеняў свабоды.

Асн. Палажэнні аналітычнай механікі распрацаваў Ж.​Лагранж (1788), значны ўклад зрабілі У.​Гамільтан, М.​В.​Астраградскі, П.​Л.​Чабышоў, А.​М.​Ляпуноў, М.​М.​Багалюбаў, А.​Ю.​Ішлінскі і інш. Метады аналітычнай механікі далі магчымасць выявіць сувязь паміж асн. паняццямі механікі, оптыкі і квантавай механікі (оптыка-мех. аналогіі). Абагульненне варыяцыйных прынцыпаў механікі на неперарыўныя квантава-рэлятывісцкія сістэмы склала матэм. аснову тэорыі поля. Дасягненні аналітычнай механікі садзейнічалі развіццю балістыкі, нябеснай механікі, тэорыі ўстойлівасці, тэорыі аўтам. кіравання і інш.

Літ.:

Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. Т. 2. М., 1977.

А.​І.​Болсун.

т. 1, с. 334

КРАЯВА́Я ЗАДА́ЧА ў матэматыцы, межавая задача, гранічная задача, задача спалучэння,

задача адшукання функцыі, якая задавальняе ў зададзеным абсягу некат. дыферэнцыяльнае ўраўненне (звычайнае або ў частковых вытворных), а на мяжы (краі) абсягу — некаторую ўмову (краявую, гранічную або ўмову спалучэння). Умова вынікае з фіз. прыроды працэсу, апісанага дадзеным дыферэнцыяльным ураўненнем.

Самая простая К.з. — вызначэнне на зададзеным адрэзку рашэння звычайнага лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўнення, якое задавальняе на краі адрэзка пэўныя ўмовы. Для ўраўнення ў частковых вытворных класічныя К.з. — К.з. для Лапласа ўраўнення — самага простага выпадку вял. групы ўраўненняў у частковых вытворных (ураўненняў эліптычнага тыпу). Адзін з асн. метадаў рашэння К.з. для ўраўненняў эліптычнага тыпу — прывядзенне іх да інтэгральнага ўраўнення тыпу Фрэдгальма. Значны раздзел сучаснай тэорыі К.з. — К.з. для аналітычных функцый, у якіх шукаецца аналітычная ў абсягу функцыя (ці сістэма функцый), што задавальняе на мяжы абсягу некат. краявую ўмову. К.з. маюць шматлікія дастасаванні ў механіцы, тэорыі пругкасці, электрадынаміцы і інш. Гл. таксама Ураўненні матэматычнай фізікі.

На Беларусі сістэматычныя даследаванні па тэорыі К.з. праводзяцца з 1950-х г. у Ін-це матэматыкі Нац. АН, БДУ і інш.

Літ.:

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 4 изд. М., 1972;

Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3 изд. М., 1977.

Ф.​Дз.​Гахаў, Э.​І.​Звяровіч.

т. 8, с. 471

А́ЛГЕБРА,

навука пра сістэмы аб’ектаў той ці інш. прыроды, у якіх устаноўлены аперацыі, па сваіх уласцівасцях падобныя на складанне і множанне лікаў (алг. аперацыі). Задачы і метады алгебры ствараліся паступова, у выніку пошукаў агульных прыёмаў рашэння аднатыпных арыфм. задач (пераважна састаўлення і рашэння ўраўненняў).

Вялікі ўплыў на развіццё алг. ідэй і сімволікі зрабіла «Арыфметыка» Дыяфанта (3 ст.). Тэрмін «алгебра» паходзіць ад назвы твора Мухамеда аль-Харэзмі «Альджэбр аль-мукабала» (9 ст.), які мае агульныя метады рашэння алгебраічных ураўненняў (АУ) 1-й і 2-й ступеняў. У канцы 15 ст. замест грувасткіх слоўных апісанняў алг. дзеянняў у матэм. творах з’яўляюцца знакі «+» і «-», потым знакі ступеняў, кораняў, дужкі. У канцы 16 ст. Ф.Віет першы выкарыстаў літарныя абазначэнні. Да сярэдзіны 17 ст. ў асн. склалася сучасная алг. сімволіка. У далейшым погляд на алгебру мяняўся. Алгебра 17—18 ст. займалася літарнымі вылічэннямі (рашэнне АУ, тоеснае пераўтварэнне формул і інш.) у адрозненне ад арыфметыкі, якая аперыруе канкрэтнымі лікамі. Да сярэдзіны 18 ст. алгебра склалася прыблізна ў аб’ёме цяперашняй т.зв. элементарнай алгебры. Алгебра 18—19 ст. з’яўляецца ў асн. алгебрай мнагачленаў. Першай гіст. задачай алгебры было рашэнне АУ з адным невядомым. У 16 ст. італьян. матэматыкамі была знойдзена формула для рашэння ўраўненняў 3-й ступені (формула Кардана), потым метад рашэння ўраўненняў 4-й ступені (метад Ферары). Амаль 3 стагоддзі вёўся пошук формулы для рашэння ўраўненняў вышэйшай ступені. У 17 ст. ўпершыню выказана А.​Жырарам, а ў канцы 18 ст. К.Гаўсам даказана асн. тэарэма алгебры аб існаванні камплекснага кораня для адвольных АУ з камплекснымі каэфіцыентамі. У 1824 Н.Абель даказаў, што ўраўненне вышэй 4-й ступені ў агульным выпадку ў радыкалах невырашальнае, а ў 1830 Э.Галуа знайшоў крытэрый вырашальнасці ў радыкалах АУ. Разам з тэарэмай АУ з адным невядомым разглядаліся сістэмы АУ з многімі невядомымі, у прыватнасці сістэмы лінейных ураўненняў, у сувязі з чым узніклі паняцці матрыцы і дэтэрмінанта. З сярэдзіны 19 ст. даследаванні ў алгебры паступова пераносяцца з тэорыі АУ да вывучэння адвольных алг. аперацый. Абстрактнае паняцце алг. аперацыі ўзнікла ў сярэдзіне 19 ст. ў сувязі з даследаваннем прыроды камплексных лікаў, а таксама ў выніку з’яўлення прыкладаў алг. аперацый над элементамі зусім інш. прыроды, чым лікі, — складанне і множанне матрыц і інш.

У пачатку 20 ст. алгебра стала разглядацца як агульная тэорыя алг. аперацый на аснове аксіяматычнага метаду (сфарміравалася пад уплывам прац Ц.Гільберта, Э.​Штэйніца, Э.​Арціна, Э.​Нётэр і інш.). Сучасная алгебра вывучае мноствы адвольнай прыроды з зададзенымі на іх алг. аперацыямі (г.зн. алгебра ці універсальныя алгебра). Доўгі час вывучаліся толькі некалькі тыпаў універсальных алгебраў — групы, кольцы, лінейныя прасторы. Пазней пачалося вывучэнне абагульненняў паняцця групы — паўгрупы, квазігрупы і лупы. Разам з асацыятыўнымі кольцамі і алгебрай пачалі вывучацца і неасацыятыўныя кольцы і алгебра. Асацыятыўна-камутатыўныя кольцы і палі з’яўляюцца асн. аб’ектам вывучэння камутатыўнай алгебры, з якой цесна звязана алгебраічная геаметрыя. Важным тыпам алгебры з’яўляюцца структуры. Лінейныя прасторы, модулі, а таксама іх лінейныя пераўтварэнні і сумежныя пытанні вывучае лінейная алгебра, часткай якой з’яўляюцца тэорыі лінейных ураўненняў і матрыц. Да лінейнай алгебры прымыкае полілінейная алгебра. Першыя працы па агульнай тэорыі адвольных універсальных алгебраў належаць Г.​Біркгафу (1830-я г.). У тыя ж гады А.​І.​Мальцаў і А.​Тарскі заклалі асновы тэорыі мадэляў — мностваў з зададзенымі на іх адносінамі. У выніку цеснага збліжэння тэорыі універсальных алгебраў з тэорыяй мадэляў узнік новы раздзел алгебры, сумежны з алгебрай і матэматычнай логікай, — тэорыя алг. сістэм, якая вывучае мноствы з зададзенымі на іх алг. аперацыямі і адносінамі (гл. Алгебра логікі). Дысцыпліны, сумежныя з алгебрай і інш. часткамі матэматыкі, вызначаюцца ўнясеннем ва універсальныя алгебры дадатковых структур, узгодненых з алг. аперацыямі і адносінамі: тапалагічная алгебра, у т. л. тапалагічныя групы і групы Лі, тэорыя ўнармаваных кольцаў, дыферэнцыяльная алгебра, тэорыі розных упарадкаваных алгебраў. Да сярэдзіны 1950-х г. сфарміравалася гамалагічная алгебра, карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.

Алг. паняцці і метады выкарыстоўваюцца ў геаметрыі, тэорыі лікаў, функцыян. аналізе, тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, метадах вылічэнняў і інш. Алгебра мае вял. дачыненне да фізікі (выяўленні груп у квантавай фізіцы), крышталяграфіі (дыскрэтныя групы), кібернетыкі (тэорыі аўтаматаў і кадзіравання), матэм. эканомікі (лінейныя няроўнасці) і інш. Сістэм. даследаванні па алгебры на Беларусі пачалі Дз.А.Супруненка (1945) і С.А.Чуніхін (1953). Вядуцца пераважна ў Ін-це матэматыкі АН Беларусі, БДУ, Гомельскім ун-це ў школах У.П.Платонава, А.Я.Залескага, Л.А.Шамяткова.

Літ.:

Математика, её содержание, методы и значение. Т. 1—3. М., 1956;

Бурбаки Н. Очерки по истории математики: Пер. с фр. М., 1963.

Р.​Т.​Вальвачоў.

т. 1, с. 233

БЕРТРА́Н ((Bertrand) Жазеф Луі Франсуа) (11.3.1822, Парыж — 3.4.1900),

французскі матэматык. Чл. Парыжскай АН (з 1856), замежны ганаровы чл. Пецярбургскай АН (з 1896, чл.-кар. з 1859). З 1862 праф. Калеж дэ Франс. Навук. працы па матэм. аналізе, тэорыі груп. Аўтар падручнікаў па матэматыцы.

т. 3, с. 123

ДЖО́ЎЛЯ ЗАКО́Н,

закон тэрмадынамікі, паводле якога ўнутр. энергія ідэальнага газу вызначаецца яго тэмпературай і не залежыць ад аб’ёму. Устаноўлены эксперыментальна Дж.П.Джоўлем у 1845. Вынікае з малекулярна-кінетычнай тэорыі ідэальнага газу. Адхіленні Дж.з. для рэальных газаў вызначаюцца энергіяй міжмалекулярнага ўзаемадзеяння (гл. Джоўля—Томсана эфект).

т. 6, с. 92

НЕЭЎКЛІ́ДАВЫ ГЕАМЕ́ТРЫІ,

геаметрычныя тэорыі, у якіх сістэма асн. палажэнняў (аксіём) адрозная ад прынятай у эўклідавай геаметрыі. Грунтуюцца на сістэмах аксіём, якія апісваюць суадносіны паміж асн. абстрактнымі геам. аб’ектамі (пунктамі, прамымі, плоскасцямі). У вузкім сэнсе пад Н.г. разумеюць Лабачэўскага геаметрыю і Рымана геаметрыю.

т. 11, с. 306

ПРЫ́НЦЫП (ад principium аснова, пачатак),

1) асноўнае, зыходнае палажэнне якой-н. тэорыі, вучэння, навукі і да т.п.

2) Унутранае перакананне ў чым-н., пункт погляду, якія вызначаюць адносіны да рэчаіснасці, нормы паводзін і дзейнасці.

3) Асноўная асаблівасць канструкцыі якога-н. механізма, прылады.

т. 13, с. 74

ЛІ́ДЭРСТВА,

уплыў чалавека ці сац. групы на інш. людзей з мэтай арганізацыі сумеснай дзейнасці. Існуе некалькі тэорый Л. Прыхільнікі тэорыі рыс тлумачаць прыроду Л. выдатнымі якасцямі пэўнай асобы; лідэрам лічаць чалавека з асаблівым комплексам псіхал. якасцей. Прыхільнікі тэорыі Л. як функцыі пэўнай сітуацыі зыходзяць з таго, што тыя або інш. рысы лідэра мяняюцца ў залежнасці ад канкрэтных сітуацый. У тэорыі, якая вызначае ролю паслядоўнікаў, на першае месца ставіцца не сам лідэр, а яго паслядоўнікі, іх сац., псіхал. патрэбнасці, інтарэсы і запатрабаванні. Прыхільнікі інтэрактыўнай тэорыі Л. сцвярджаюць, што лідэрам можа стаць любы чалавек, які займае адпаведнае месца ў сістэме міжасобасных узаемаадносін. У сучасным грамадстве Л. ўяўляе сабой спосаб асобасных узаемадзенняў, заснаваных на інтэграцыі розных сац. слаёў (груп) з дапамогай дзеянняў спецыфічных механізмаў вакол праграмы (канцэпцыі) лідэра па вырашэнні розных сац. праблем і задач грамадскага развіцця. На ўзроўні малой групы лідэр кіруе дзеяннем групы, бярэ на сябе адказнасць, знаходзіць аптымальныя спосабы задавальнення групавых інтарэсаў і г.д. На ўзроўні вял. сац. груп лідэр абавязаны найперш выражаць інтарэсы дадзенай сац. групы, прадстаўляць іх у розных структурах. На ўзроўні грамадства існуе асаблівы тып Л. — палітычнае, калі лідэр інтэгрыруе інтарэсы вял. груп людзей у паліт. праграмы, каардынуе іх намаганні па рэалізацыі патрэбнасцей і ператварае мэты і задачы ў канкрэтныя дзеянні. Ням. сацыёлаг М.​Вебер адзначаў 3 тыпы Л.: традыцыйнае, заснаванае на веры ў непарушнасць традыцый, калі фармальнае Л. пераходзіць ад бацькі да сына, па сваяцкай лініі і г.д.; рацыянальна-легальнае, або бюракратычнае, якое базіруецца на законах, правілах, нормах; харызматычнае Л., заснаванае на веры мас у свайго лідэра, у незвычайныя здольнасці правадыроў; некаторыя лічаць, што харызма ідзе ад Бога і што яна надае магічную сілу тым, хто ёю валодае. Ад канкрэтных праяў Л. ў многім залежыць развіццё грамадства, жыццё і дабрабыт людзей.

І.​В.​Катляроў.

т. 9, с. 253

ДЗЮБУА́ ((Dubois) Эжэн) (28.1.1858, г. Эйсдэн, Нідэрланды — 16.12.1940),

галандскі антраполаг. Па адукацыі ваенны ўрач. У 1890—92 выявіў на в-ве Ява шкілетныя рэшткі выкапнёвага продка чалавека, назваўшы яго «Pithecanthropus erectus», г. зн. «малпачалавек прамастаячы». Гэтыя адкрыцці адыгралі важную ролю ва ўмацаванні эвалюцыйнай тэорыі.

т. 6, с. 128

КЕ́МБРЫДЖСКАЯ ШКО́ЛА ў палітэканоміі,

адзін з кірункаў эканам. тэорыі. Узнікла ў канцы 19 ст. ў Вялікабрытаніі. Заснавальнік А.​Маршал, асн. прадстаўнікі А.​С.​Пігу, Д.​Робертсан. Даследавала заканамернасці развіцця асобных прыватных рынкаў, праблемы цэнаўтварэння, эканам. раўнавагі, дабрабыту і інш. Паклала пачатак сучаснаму мікраэканам. аналізу.

т. 8, с. 225