Verbum

КРЫ́ТЫКА САЦЫЯ́ЛЬНАЯ, крытыцызм,

кірунак у філасофіі і сацыялогіі, прадстаўнікі якога гал. задачай лічаць крытычны аналіз грамадскіх адносін. Некаторыя ідэі К.с. разглядаліся ў рамках эмпірыякрытыцызму (Э.​Мах, Р.​Авенарыус), крытычнага рэалізму (М.​Мандэльбаўм, А.​Венцль, К.​Котэн), франкфурцкай школы (Т.​Адорна, М.​Хоркхаймер, Г.​Маркузе, Дж.​Уоткінс, І.​Лакатас, Дж.​Агасі, Г.​Альберт) і блізкай да яго канцэпцыі П.​Феерабенда. Паступова сфарміраваўся адносна самаст. кірунак крытыцызму (Ч.​Мілс, Д.​Рысмэн, Э.​Фром, А.​Гоўлднер і інш.).

Як філас. кірунак К.с. ўзнікла ў сярэдзіне 20 ст. ў ходзе крытыкі неапазітывізму і сфарміравалася ў выніку дыскусій з прадстаўнікамі гіст. кірунку ў філасофіі навукі (М.​Полані, Т.​Кун, С.​Тулмін). Гал. тэарэт. функцыя яе — мэтанакіраваная крытыка асн. тэорый грамадства, перш за ўсё «акадэмічнай» сацыялогіі і сац. інжынерыі, а таксама спроб стварэння сац. навукі («рэфлексіўнай сацыялогіі», «сацыялогіі сацыялогіі» і інш.), у якой сацыёлагу адводзіцца паліт. і сацыяльна актыўная роля, роля суб’екта, які мэтанакіравана ўплывае на развіццё грамадскіх працэсаў. К.с. асаблівае значэнне надае праблемам асобы, адмоўнаму ўплыву на фарміраванне і развіццё розных сац. працэсаў і з’яў (адчужэнне вытворцы ад сродкаў вытв-сці, дэгуманізацыя працы, наркаманія і прастытуцыя, беднасць, сац. няроўнасць, бюракратызацыя сац. ін-таў і г.д.), якія прыводзяць да негатыўных наступстваў. У галіне метадалогіі крытыцызм упэўнены, што не існуе метадаў, якія забяспечваюць строга лагічны прырост навук. ведаў і што неабходна з дапамогай фармальна-лагічных спосабаў выключаць з ужытку ненавук. тэорыі.

І.​В.​Катляроў.

т. 8, с. 521

КАСЦЯВЫ́ МОЗГ,

цэнтральны орган кроваўтварэння, размешчаны ў губчатым рэчыве касцей і касцёвамазгавых поласцях пазваночных жывёл і чалавека. Выконвае таксама функцыі біял. аховы арганізма і косцеўтварэння. У чалавека К. м. паяўляецца на 2-м месяцы эмбрыянальнага развіцця ў закладцы ключыцы, на 3-м месяцы — у лапатках, рэбрах, грудзіне, пазванках і інш., на 5-м — функцыянуе як асн. кроваўтваральны орган. Маса К. м. ў дарослага чалавека да 3700 г (3,4—5,9% ад масы цела). Складаецца з рэтыкулярнай тканкі, крывятворных і тлушчавых клетак; забяспечаны нервамі і крывяноснымі сасудамі. Адрозніваюць чырвоны К. м. (захоўваецца ўсё жыццё, яму належыць гал. роля ў кроваўтварэнні, у чалавека складае каля 1,5% масы цела) і жоўты К. м. (пераважна ўдзельнічае ў тлушчавым абмене).

У касцях дзяцей да 7 гадоў пераважае чырвоны К. м. Ва ўзросце 18—20 гадоў у дыяфізах трубчастых касцей ён замяняецца жоўтым К. м. Спелыя клеткі крыві з К. м. праз сценку сінусоідных капіляраў паступаюць у крывяносную сістэму, няспелыя паяўляюцца пры парушэнні кроваўтварэння. К. м. выконвае ахоўную функцыю (рэтыкулярныя клеткі і клеткі эндатэлію сінусоідных капіляраў здольныя захопліваць іншародныя часцінкі з крыві і станавіцца макрафагамі). Функцыя косцеўтварэння праяўляецца пры загойванні пераломаў касцей. Даследаванне К. м. дае звесткі для дыягностыкі і лячэння хвароб крыві (асабліва лейкозаў), злаякасных утварэнняў, многіх паразітарных інфекцый, прамянёвай хваробы, злаякаснага малакроўя. З дапамогай клетак К. м., узятых ад донара, лечаць ад анеміі, прамянёвай хваробы, лейкозаў і інш.

Я.​П.​Іваноў.

т. 8, с. 165

ЗВЫЧА́ЙНЫЯ ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні адносна функцыі адной пераменнай, якая ўваходзіць у гэта ўраўненне разам са сваімі вытворнымі да некаторага парадку ўключна. Найбольшы парадак вытворнай наз. парадкам ураўнення.

Калі З.д.ў. запісана ў форме ${\displaystyle x^{\text{(}n\text{)}}=𝑓}$ ($t$, $x$, $x$′, ..., $x^{\text{(}n-1\text{)}}$) , то кажуць, што гэта ўраўненне n-га парадку ў нармальнай форме. Згодна з тэарэмай існавання і адзінасці ў такога ўраўнення існуе і прычым толькі адно рашэнне з пачатковымі ўмовамі ${\displaystyle x\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_1^0}$ , ${\displaystyle \mathrm{x\prime }\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_2^0}$ ..., ${\displaystyle x^{\text{(}n-1\text{)}}\text{(}{t}_0\text{)}=x{}_n^0}$ , дзе $t_0$, $x{}_1^0$, $x{}_2^0$, ..., $x{}_{\mathrm{n}}^0$ — адвольны пункт вобласці ${\displaystyle \mathrm{D}\subset {\mathrm{R}}^{1+n}}$ у якой $𝑓$($t$, $x$, ..., $x_n$) — функцыя, неперарыўная разам са сваімі вытворнымі ${𝑓\text{′}}_{x_1}$, ${𝑓\text{′}}_{x_2}$, ..., ${𝑓\text{′}}_{x_n}$. Гэта азначае, што пачатковыя ўмовы цалкам вызначаюць усё мінулае і будучае той рэальнай сістэмы, якая апісваецца гэтым ураўненнем. Пры дапамозе З.д.ў. або іх сістэм мадэлююць дэтэрмінаваныя рэальныя сістэмы (працэсы). Пры гэтым стан сістэмы ў кожны момант часу $t$ павінен апісвацца канечным мноствам параметраў $x_1$, ..., $x_n$. Тады, каб запісаць такаю мадэль, дастаткова ў мностве станаў сістэмы, якую мадэлююць, задаць скорасці пераходу ад аднаго стану сістэмы да яе наступнага стану.

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 7 изд. М., 1984.

У.​Л.​Міроненка.

т. 7, с. 41

ПРАГМАТЫ́ЗМ [ад грэч. pragma (pragmatos) справа, дзеянне],

філасофскае вучэнне, якое вызначае значнасць тэарэт. ведаў на аснове іх практычных вынікаў. Узнік у 1870-я г. ў ЗША як «рэканструкцыя ў філасофіі», як метад вырашэння філас. спрэчак, пераадоленне абстрактнасці і сузіральнасці (Ч.​Пірс). Філас. дактрыну П. распрацоўвалі У.​Джэмс, Дж.​Дзьюі, Дж.​Мід, С.​Хук, К.​І.​Льюіс, Ф.​К.​Шылер і інш. У канцы 1890-х г. ідэі П. былі пашыраны ў ЗША як сродак вырашэння лагічных праблем і практычных спраў. Па сваёй сутнасці П. прымыкае да традыцыі ідэаліст. эмпірызму. Ён атаясамлівае ўсю рэальнасць, што акружае чалавека, з вопытам, які трактуецца як змест свядомасці або «паток свядомасці» (Джэмс). Аб’екты пазнання, паводле П., не існуюць незалежна ад свядомасці. Яны фарміруюцца пазнавальнымі намаганнямі ў працэсе вырашэння практычных задач; мысленне — сродак для прыстасавання арганізма да асяроддзя з мэтай паспяховага дзеяння. Функцыя думкі — у пераадоленні сумнення, якое з’яўляецца перашкодай для дзеяння (Пірс), у выбары сродкаў, неабходных для дасягнення мэты (Джэмс) або для вырашэння праблематычнай сітуацыі (Дзьюі). Ідэі, паняцці, тэорыі — толькі інструменты, прылады, або планы дзеяння. Традыцыйнае для папярэдняй філасофіі проціпастаўленне ведаў і няведання ў П. змянілася проціпастаўленнем упэўненасці і сумніўнасці. Пры гэтым сумненне і ўпэўненасць тычацца магчымасці вынікаў дзеяння, а не зместу ведаў. Адпаведна і ісціннасць вызначаецца як працаздольнасць ідэі. У філасофіі П. з’яўляецца адзіным крытэрыем праўдзівасці ідэй і самім зместам паняцця ісціны. Цікавасць да П. пачала ўзмацняцца з канца 1960-х г.; робяцца спробы зблізіць П. з сучаснай логікай і метадалогіяй навукі.

В.​І.​Галаўнёў.

т. 12, с. 532

ВЕСНАВЫ́Я ПЕ́СНІ,

жанрава шматскладовы цыкл каляндарна-земляробчага фальклору. Пашыраны ва ўсіх земляробчых народаў, асабліва ў славян і прыбалтаў. Прымяркоўваюцца да веснавога перыяду, найб. працяглага ў каляндарна-песенным крузе (у розных этнічных традыцыях амаль ад зімовага да летняга сонцавароту). Звязаны з абуджэннем прыроды, абнаўленнем зямлі і ўсяго жывога на ёй.

З усіх песень каляндарна-земляробчага круга ў веснавых песнях найб. яскрава выступае функцыя інспірацыйная (функцыя ўнушэння), якая ў старажытнасці мела магічнае, а пазней набыла асацыятыўна-сімвалічнае значэнне. Гэта асн. функцыя неаддзельная ад эстэтычнай, што вызначае прыўзняты эмац. лад песень і маляўнічыя фарбы вобразнай сістэмы. Таму пры ўсёй жанрава-тэматычнай разнастайнасці і багацці муз. адценняў веснавых песень розных народаў агульнае ў іх — усеабдымнасць гучання чалавечага голасу (які нібы пераклікаецца з галасамі прыроды), няўпыннасць рознага роду шэсцяў і карагодаў, а таксама культ расліннасці, які можа набываць розныя структурна-жанравыя характарыстыкі і стылявую афарбоўку.

У Беларусі веснавы цыкл з’яўляецца найважнейшым кампанентам разгорнутай каляндарна-песеннай сістэмы. Ядро цыкла ўтвараюць песні з устойлівымі рытуальнымі тыпалагічна акрэсленымі абагульненымі палітэкставымі напевамі: масленічныя песні, уласна «вясна» або гуканне вясны, валачобныя песні, веснавыя карагоды (гл. ў арт. Карагод), юраўскія песні, траецкія песні, куставыя, русальныя. Другую групу складаюць песні з больш індывідуалізаванымі напевамі (паставыя, што спяваліся ў вял. пост, веснавая талака, мікольскія, «як абходзяць зялёнае жыта») і многія лірычныя, умоўна прыстасаваныя да вясны («лугавыя», «лесавыя») і інш. Спяваюць іх з пач. сакавіка («як на снезе паявяцца праталіны», «як на вясну пацягне») і да чэрвеня («дакуль зязюля кукуе»). Асн. лейтматыў вобразнай сістэмы веснавых песень — збліжэнне чалавека з прыродай, якое праходзіць як бы тры этапы: спачатку вясну клічуць (гушкальныя «на калысках» на масленіцу, абрадавыя гуканні на ўзгорках на Благавешчанне), потым выходзяць ёй насустрач (валачобныя абходы двароў, абрадавы выган жывёлы «на расу» на Юр’я, шэсці і карагоды), нарэшце як бы непасрэдна збліжаюцца з ёю («водзяць куст», «завіваюць вянкі» на Сёмуху) і праводзяць яе («пахаванне стралы», «провады русалкі» ў русальны тыдзень, які завяршае Сёмуху). Асаблівую ўстойлівасць у веснавых песнях адпаведна набываюць сюжэтна-тэматычныя комплексы: гуканне вясны (з тыповымі зачынамі «Благаславі, маці, / Вясну загукаці!», «Жавароначкі, прыляціце!», «Ой, чырачка, пташэчка»); «адмыканне лета» («Зіма з летам страчалася»), масленічныя гушкалкі («А на гарэ сонца / Калышуцца дзеўкі»), абуджэнне ўсяго жывога («Вол бушуе — вясну чуе, / Баран блее — ў поле хоча»), няўпыннае веснавое шэсце («Памажы нам, божа, / На вулачку выйсці»), дары вясны, якія пералічваюцца ў форме пытання-адказу («Ой, вясна-красна, / Што нам прынесла?»); зварот да адушаўлёнай вясны-вясняначкі (русалачкі, купалачкі) з далейшым развіццём матываў кахання. Існуюць таксама сюжэты, спецыфічныя для асобных жанраў песень веснавога цыкла (валачобных, юраўскіх, куставых, карагодных), але ва ўсіх іх аграрна-магічныя матывы і культ расліннасці пераплятаюцца з матывамі кахання і шлюбу, як і рэальных гасп. клопатаў земляроба. Паводле характару мелодыкі веснавыя песні ўключаюць (у залежнасці ад жанру і мясц. традыцыі) гранічна сціслыя напевы-формулы і больш распетыя (у межах сярэдняга меладычнага дыяпазону). Яны вызначаюцца вобразна-эмац. разнастайнасцю (у іх чутны інтанацыі закліку, заклінання, святочна прыўзнятыя, лірычныя), багаццем тэмбравых фарбаў. Выкананне тыповае для песень, якія спяваюць на вольным паветры (менавіта з імі звязана свайго роду нар. школа галаснога спеву). Для рытуальных веснавых песень характэрна антыфоннае спяванне з зычнай пераклічкай галасоў, заклікавае заключэнне на тэрцавым ці квартавым верхнім гуку, доўгія воклічы («Гу!» ці «У-у-у!») з глісандуючымі ўзлётамі ў канцы, а часам і ў сярэдзіне меластрафы («каб адгалоскі ішлі»). Веснавыя песні вядомы на ўсёй Беларусі, але размеркаванне іх у розных этнагр. зонах неаднолькавае. Гуканне вясны і карагоды канцэнтруюцца пераважна на Палессі, ва ўсходнім і цэнтр. рэгіёнах, юраўскія ў заходнім рэгіёне, гушкальныя масленічныя — на Паазер’і, валачобныя — на Паазер’і, у зах. і цэнтр. рэгіёнах, траецкія — ва ўсходнім рэгіёне і на Палессі, веснавая талака — у паўн.-ўсх., русальныя — у паўд.-ўсх. раёнах, «пахаванне стралы» — на ўсходнім, «куст» — на зах. Палессі. У сучасным побыце бел. вёскі апрача прымеркаваных да вясны лірычных найб. захаваліся абходныя песні, перш за ўсё нацыянальна вызначальныя валачобныя. Даволі жывучымі аказаліся веснавыя гуканні і карагодныя песні, але цяпер іх носьбіты — старэйшыя жанчыны, што вядзе да адпаведных змен у характары іх бытавання (іх проста спяваюць без адпаведных дзеянняў, якімі яны суправаджаліся раней). Наогул, выяўляецца тэндэнцыя адмацавання веснавых песень ад абраду пры строгай, аднак, замацаванасці ў свядомасці вяскоўцаў іх сімвалічнай значнасці і пэўнага часу выканання.

Публ.:

Шейн П.В. Материалы для изучения быта и языка русского населения Северо-Западного края. Т. 1, ч. 1. СПб., 1887;

Беларускія народныя песні / Запіс Р.​Шырмы. Т. 3. Мн., 1962;

Анталогія беларускай народнай песні. 2 выд. Мн., 1975;

Веснавыя песні. Мн., 1979 (Бел. нар. творчасць);

Мажэйка З.Я. Песні беларускага Паазер’я. Мн., 1981;

Яе ж. Песни белорусского Полесья. Вып. 1. М., 1983.

Літ.:

Аничков Е.В. Весенняя обрядовая песня на западе и у славян. Ч. 1—2. СПб., 1903—05;

Земцовский И.И. Мелодика календарных песен. Л., 1975. С. 77—128;

Календарные обычаи и обряды в странах зарубежной Европы: Конец XIX — начало XX в.: Весенние праздники. М., 1977;

Соколова В.К. Весенне-летние календарные обряды русских, украинцев и белорусов, XIX — начало XX в. М., 1979;

Можейко З.Я. Календарно-песенная культура Белоруссии. Мн., 1985;

Мухарынская Л.С., Якіменка Т.С. Беларуская народная музычная творчасць. Мн., 1993.

З.​Я.​Мажэйка.

т. 4, с. 115

ПАЗВАНО́ЧНЫЯ, чарапныя (Vertebrata, Craniata),

падтып жывёл тыпу хордавых. Вядомы з ардовіку — ніжняга сілуру (каля 500 млн. г. назад). Продкі П. жылі ў акіяне; уласна П. ўзніклі ў прэсных водах. Першыя наземныя П з’явіліся ў дэвоне (каля 400 млн. г. назад). Усіх П. падзяляюць на бяссківічных і сківічнаротых, анамній і амніётаў, пайкілатэрмных жывёл і гамаятэрмных жывёл. Вылучаюць 7 класаў сучасных П.: кругларотыя, храстковыя рыбы, касцявыя рыбы, земнаводныя, паўзуны, птушкі, млекакормячыя. Каля 50 тыс. відаў (акрамя свойскіх і дэкар. парод). Пашыраны ўсюды ў акіянах і на сушы. На Беларусі больш за 450 відаў.

Цела двухбакова-сіметрычнае. Эвалюцыйна адбылася замена хорды на пазваночнік (адсюль назва). Найбольшае ўскладненне арганізацыі і функцыянавання ўсіх сістэм арганізма адбылося пасля выхаду П. на сушу. Крывяносная сістэма стала замкнутай, сэрца — шматкамерным. Функцыя дыхання ад шчэлепаў перайшла да лёгкіх. Нерв. сістэма (трубчастай будовы) складаецца з галаўнога і спіннога мозга і перыферыйных вузлоў; забяспечвае складаныя паводзіны П. у асяроддзі. Стрававальная сістэма падзелена на некалькі аддзелаў, мае стрававальныя залозы. Характар жыўлення разнастайны, ад расліннаеднага да драпежнага і ўсёеднага. Выдзяляльная сістэма прадстаўлена тулаўнымі (мезанефрычнымі) ныркамі (у прэснаводных рыб) ці тазавымі (метанефрычнымі) ныркамі (у наземных П.). Ускладненне агульнай арганізацыі П. выклікала ўдасканаленне будовы і функцый органаў пачуццяў. Большасць П. раздзельнаполыя (у рыб трапляецца гермафрадытызм). Анамніі, як правіла, яйцародныя. Жыванараджэнне трапляецца ва ўсіх П., акрамя кругларотых і птушак; у млекакормячых гэта асн. форма размнажэння. П. адыгрываюць вял. ролю ў развіцці біясферы, з’яўляюцца канцавымі звёнамі трафічных ланцугоў у біяцэнозах, актыўна ўздзейнічаюць на навакольнае асяроддзе. Маюць найб. значэнне для чалавека як крыніца харчавання, сыравіны і інш. Некат. П. — пераносчыкі інфекцый.

Э.​Р.​Самусепка.

т. 11, с. 517

ПАРТРЭ́Т ПАХАВА́ЛЬНЫ,

жывапісная або скульптурная выява нябожчыка. Функцыя П.п. — дакладная перадача фізічнага аблічча памерлага для ўшанавання яго памяці або (паводле шэрагу рэліг. дактрын) забеспячэння вечнага жыцця яго душы. П.п. магла быць прыжыццёвая выява памерлага, адлюстраванне, выкананае з пасмяротнай маскі, часта з геральдычнымі знакамі і надпісамі. Нярэдка быў часткай скульпт. надмагілля.

Вядомы са старажытнасці ў многіх народаў свету (напр., фаюмскі партрэт у Егіпце). Вылучаюць трунны, эпітафійны партрэты і жалобную харугву (канклюзію). Трунны партрэт часцей малявалі алейнымі фарбамі на метал. блясе 6—8-граннай або акруглай формы. Прызначаўся ён для размяшчэння на тарцовай частцы труны ў час пахавальнай цырымоніі, пазней яго звычайна змяшчалі на сцяне крыпты або храма; уваходзіў ў склад сінт. маст. вырашэння яго інтэр’ера. Эпітафійны партрэт не мацаваўся на труну і таму часцей меў авальную форму, уваходзіў у склад прысценнага скульпт. надмагілля ў храме разам са скульпт. алегарычнымі постацямі і надмагільным надпісам у рамцы. Для адной цырымоніі маглі быць выкарыстаны і трунны і эпітафійны партрэты. Своеасаблівы від П.п. — канклюзія — жалобная харугва з маляваным або шытым партрэтам, упрыгожаная метал. ніткамі, галунамі, карункамі, звычайна з надпісам біягр. або панегірычнага характару і выявай герба.

На Беларусі былі пашыраны ў 15—18 ст., найб. раннія формы трапляюцца ў тканых пахавальных пакрывалах і харугвах. Сярод найб. значных П.п. партрэты А.​Завішы (1676), А.​Пацея (18 ст.), эпітафія Б.​Біспінгу работы І.​Прукнера ў Троіцкім касцёле ў Ружанах (1789), надмагілле М.​Радзівіла ў касцёле ў Дзятлаве (18 ст.) і інш.

Літ.:

Хадыка А.Ю., Хадыка Ю.В. Непаўторныя рысы: З гісторыі бел. партрэта. Мн., 1992.

Б.​А.​Лазука, А.​Ю.​Хадыка.

т. 12, с. 106

ПЛОД у раслін,

орган размнажэння кветкавых (пакрытанасенных) раслін, што развіваецца з кветкі і мае насенне. Функцыя П. — фарміраванне, ахова і распаўсюджванне насення. Марфал. аснова П. — завязь (завязі), але часта ва ўтварэнні П. прымаюць удзел і інш. ч. кветкі: калякветнік, кветаложа (суніцы), кветкавыя лускавінкі (злакі) і інш. Структурныя адзнакі П. звязаны пераважна са спосабам рассейвання насення. Адрозніваюць П. сухія і сакавітыя, шматнасенныя і аднанасенныя. Сухія шматнасенныя, што раскрываюцца — каробачка, лістоўка, стручок, боб; што распадаюцца — віслаплоднік, двухкрылатка, членісты стручок; сухія аднанасенныя — жолуд, зярняўка, сямянка, арэх. Сакавітыя шматнасенныя — яблык, ягада, аднанасенныя — касцянка. Эканам. значэнне П. вельмі вял.: з іх атрымліваюць алей, крухмал, сыравіну для тэкст. прам-сці, гатуюць лек. прэпараты і інш.

т. 12, с. 429

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы m радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Ізобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.​С.​Багданаў, М.​А.​Ізобаў.

т. 6, с. 301