Verbum

ГАЛУА́ ТЭО́РЫЯ,

тэорыя, якая вывучае ўласцівасці алгебраічных ураўненняў віду x​ⁿ+a₁x​^n-1 + ... + a_n=0 і іх рашэнне пры дапамозе груп тэорыі.

Падрыхтавана працамі Ж.​Лагранжа, К.​Гаўса, Н.​Абеля. Створана Э.Галуа. Ставіць у адпаведнасць алг. ўраўненню яго групу Галуа, якая складаецца з тых падстановак каранёў, што захоўваюць усе рацыянальныя суадносіны паміж каранямі і каэфіцыентамі ўраўнення. Галуа тэорыя дае неабходную і дастатковую ўмову вырашальнасці ўраўнення ў радыкалах. У прыватнасці, з яе вынікае, што алг. ўраўненні ступені вышэй за 4-ю ў агульным выпадку невырашальныя ў радыкалах. У сучасным разуменні Галуа тэорыя — тэорыя, якая вывучае матэм. аб’екты праз іх групы аўтамарфізмаў. Напр., існуюць Галуа тэорыі палёў, кольцаў, тапалагічных прастораў і інш. Ідэі і метады Галуа тэорыі выкарыстоўваюцца ў тэорыі аналітычных функцый, тапалогіі, тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў і інш.

Літ.:

Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Т. 1—2. М.; Л., 1934—37;

Постников М.М. Теория Галуа. М., 1963.

В.​І.​Бернік.

т. 4, с. 471

ГРА́ДУСНАЯ СЕ́ТКА ЗЯМЛІ́,

сістэма геагр. мерыдыянаў і паралелей, нанесеных на адлюстраванне зямной паверхні ў выглядзе картаў і глобусаў. Выкарыстоўваецца для вызначэння геагр. каардынат зямной паверхні, а таксама вуглоў арыентавання (азімутаў і румбаў) і адлегласцей. Кожнаму мерыдыяну адпавядае свая даўгата (L), а паралелі — шырата (B). Азімут напрамку па мерыдыяне роўны нулю, па паралелі адпаведна — 90° і 270°. Градусная сетка наносіцца праз інтэрвалы: некалькі градусаў 1°; 30′; 10′; 1′. Для Беларусі геагр. сетка абмежавана даўготамі L_з = 23°11′03″; L_y, = 32°45′36″ і шыротамі B_пд = 51°15′35″; B_пн = 56°10′22″. У межах Беларусі адной мінуце адпавядае на плоскасці ў праекцыі Гаўса—Кругера: па шыраце на Пн 1034,4 м, на Пд 1164,3 м; па даўгаце на Пн 1855,6 м, на Пд 1855,2 м. Гарызантальная праекцыя ліній на фіз. паверхні Зямлі будзе карацей за прыведзеныя на велічыню ${\displaystyle \mathrm{\Delta S}=\frac{{{\mathrm{y}}^2}_{\mathrm{m}}}{2{{\mathrm{R}}^2}_{\mathrm{m}}}}$ , дзе y_m — сярэдняя ардыната лініі (сярэдняя адлегласць ад асявога мерыдыяна 6-градуснай каардынатнай зоны), R_m — сярэдні радыус Зямлі (6371,11 км).

А.​А.​Саламонаў.

т. 5, с. 386

ГАЎС ((Gauß) Карл Фрыдрых) (30.4.1777, г. Браўншвайг, Германія — 23.11.1855),

нямецкі матэматык, астраном і фізік. Чл. Лонданскага каралеўскага т-ва (1804), акад. Парыжскай (1820) і Пецярбургскай (1824) АН. Вучыўся ў Гётынгенгскім ун-це (1795—98), з 1807 праф. і дырэктар астр. абсерваторыі гэтага ун-та. Навук. працы па матэматыцы, астраноміі, фізіцы і геадэзіі. Даказаў асн. тэарэму алгебры пра існаванне хоць бы аднаго кораня ва ўсякім алгебраічным ураўненні, прапанаваў метад вылічэння эліптычнай арбіты нябеснага цела Сонечнай сістэмы па трох назіраннях. У 1832 стварыў абс. сістэму адзінак (міліметр, міліграм, секунда), разам з В.​Веберам пабудаваў першы ў Германіі эл.-магн. тэлеграф (1833). Вывучаў зямны магнетызм, распрацаваў тэорыю патэнцыялу і сфармуляваў асн. тэарэму электрастатыкі (гл. Гаўса тэарэма). Заклаў матэм. асновы вышэйшай геадэзіі, прапанаваў найменшых квадратаў метад. Распрацаваў тэорыю пабудовы відарысаў у складаных аптычных сістэмах (1840), выказаў думку пра канечнасць скорасці распаўсюджвання эл.-магн. узаемадзеянняў, прыйшоў да высновы аб магчымасці існавання нееўклідавай геаметрыі.

Тв.:

Рус. пер. — Избр. тр. по земному магнетизму. Л., 1952.

Літ.:

Карл Фридрих Гаус. М., 1956.

т. 5, с. 92

МА́КСВЕЛА ЎРАЎНЕ́ННІ,

асноўныя ўраўненні класічнай макраскапічнай электрадынамікі, што апісваюць эл.-магн. з’явы ў адвольных асяроддзях і вакууме. Выведзены ў канцы 1860-х г. Дж.К.Максвелам на падставе абагульнення эмпірычных законаў эл. і магн. з’яў.

М.ў. звязваюць напружанасць эл. поля $\overrightarrow{E}$, магн. індукцыю $\overrightarrow{B}$, эл. індукцыі $\overrightarrow{D}$ і напружанасць магн. поля $\overrightarrow{H}$ з характарыстыкамі крыніц эл. і магн. палёў: шчыльнасцю эл. зарадаў і шчыльнасцю току праводнасці $\overrightarrow{j}$. У дыферэнцыяльнай форме маюць выгляд: ${\displaystyle rot\overrightarrow{E}=\text{−}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}$ (1), ${\displaystyle rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}}$ (2), ${\displaystyle div\overrightarrow{D}=\mathrm{\rho }}$ (3), ${\displaystyle div\overrightarrow{B}=0}$ (4), дзе ${\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}}$ — шчыльнасць току зрушэння. М.ў. дапаўняюцца матэрыяльнымі ўраўненнямі: ${\displaystyle \overrightarrow{D}={\mathrm{\epsilon }}_0\mathrm{\epsilon }\overrightarrow{E}}$ , ${\displaystyle \overrightarrow{B}={\mathrm{\mu }}_0\mathrm{\mu }\overrightarrow{H}}$ , ${\displaystyle \overrightarrow{j}=\mathrm{\gamma }\overrightarrow{E}}$ , дзе ε₀(μ₀) — эл. (магн.) пастаянная, ε(μ) — адносная дыэлектрычная (магн.) пранікальнасць і γ — эл. праводнасць асяроддзя. М.ў. (1) выяўляе непарыўную сувязь паміж эл. і магн. палямі і выражае закон электрамагнітнай індукцыі, (2) паказвае, што крыніцай магн. поля з’яўляюцца токі праводнасці і токі зрушэння (гл. Поўнага току закон), (3) устанаўлівае, што крыніцай эл. поля з’яўляюцца эл. зарады (гл. Гаўса тэарэма), (4) паказвае на адсутнасць адасобленых крыніцы магн. поля (магн. зарадаў). М.ў. дазваляюць вызначыць асн. характарыстыкі эл.-магн. поля $\overrightarrow{E}$, $\overrightarrow{D}$, $\overrightarrow{B}$, $\overrightarrow{H}$ у кожным пункце прасторы і ў кожны момант часу, калі вядомыя Q, i, $\overrightarrow{j}$ як функцыі каардынат і часу. З М.ў. вынікае магчымасць існавання электрамагнітных хваль, якія распаўсюджваюцца ў вакууме са скорасцю святла. М.ў. адлюстроўваюць глыбокую сувязь эл. і магн. з’яў і з’яўляюцца тэарэтычнай асновай класічнай і квантавай электрадынамікі, фіз. оптыкі, тэорыі распаўсюджання эл.-магн. хваль і інш. раздзелаў электрамагнетызму.

А.​І.​Болсун.

т. 9, с. 544

ДЭТЭРМІНА́НТ, вызначнік, алгебраічны выраз, складзены паводле пэўнага правіла з n​² лікаў, дзе n — парадак дэтэрмінанта. Д. квадратнай матрыцы $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{...}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{...}& \text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{...}& a_{nn}\end{array}\right|$ з n​² элементы a_ik (i — нумар радка, k — нумар калонкі, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n) наз. алг. сума $\sum \pm \begin{array}{cccc}{a}_{1j_1}& a_{2j_2}& \text{...}& a_{n{j}_n}\end{array}$ усіх здабыткаў элементаў гэтай матрыцы, узятых па аднаму з кожнага радка і з кожнай калонкі. Складаемаму a_1j1, a_2j2 ... a_njn прыпісваецца знак «+», калі перастаноўка j₁, j₂, ..., j_n лікаў 1, 2, ... n мае цотную колькасць інверсій, і знак «−», калі колькасць інверсій у ёй няцотная. Напр., Д. 2-га парадку $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ $=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ .

Лічаць, што: радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, калі кожны элемент гэтага радка (калонкі) памнажаецца на α; складваюцца 2 радкі (калонкі) Д., калі складваюцца адпаведныя элементы гэтых радкоў (калонак), якія стаяць у адной калонцы (радку); да i-га радка (калонкі) Д. дадаецца яго k-ы радок (калонка), калі i-ы радок (калонка) замяняецца сумай i-га і k-га радкоў (калонак); робіцца лінейная камбінацыя радкоў (калонак) Д., калі кожны i-ы радок (калонка) множыцца на адвольны лік a_i і складваюцца атрыманыя радкі (калонкі). Д. мае шэраг уласцівасцей, якія аблягчаюць яго вылічэнне: калі элементы a_kj k-га радка Д. d ёсць сумы двух складаемых a_kj = b_j + c_j, то Д. d роўны суме двух Д. d = d₁ + d₂, якія адрозніваюцца ад d толькі k-м радком: b₁, b₂ ..., b_n — k-ы радок Д. d₁, c₁, c₂..., c_n k-ы радок Д. d₂ калі які-н. радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, то і Д. памнажаецца на α; Д. не зменіцца, калі да якога-н. яго радка (калонкі) дадаецца адвольная лінейная камбінацыя інш. радкоў (калонак); для таго, каб Д. быў роўны нулю, неабходна і дастаткова, каб які-н. яго радок (калонка) быў лінейнай камбінацыяй іншых радкоў (калонак). Тэорыя Д. створана ў асноўным у 2-й пал. 18 ст. і 1-й пал. 19 ст. ў працах матэматыкаў: швейц. Г.​Крамера, франц. А.​Вандэрмонда, П.​С.​Лапласа, А.​Кашы, ням. К.​Гаўса і К.​Якобі. Франц. матэматык Ж.​Дзьеданэ ўвёў паняцце Д. матрыцы над целам (мае важнае значэнне для сучаснай алгебры). Шматлікія дастасаванні Д. да розных пытанняў матэматыкі і фізікі, напр. пры рашэнні лінейных ураўненняў.

Літ.:

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 10 изд. М., 1971;

Артин Э. Геометрическая алгебра: Пер. с англ. М., 1969;

Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 1. Мн., 1984.

Р.​І.​Тышкевіч.

т. 6, с. 362

ВЫЛІЧА́ЛЬНАЯ МАТЭМА́ТЫКА,

раздзел матэматыкі, у якім распрацоўваюцца і даследуюцца метады лікавага рашэння матэм. задач. Метады вылічальнай матэматыкі прыбліжаныя, падзяляюцца на аналітычныя (даюць прыбліжаныя рашэнні ў выглядзе аналітычнага выразу) і лікавыя (у выглядзе табліцы лікаў).

Узнікненне вылічальнай матэматыкі звязана з неабходнасцю рашэння асобных задач (вымярэнне адлегласцей, плошчаў, аб’ёмаў і інш.). Развіццё навукі, асабліва астраноміі і механікі, спрыяла развіццю матэматыкі ўвогуле і вылічальнай матэматыкі ў прыватнасці. Складаліся табліцы эмпірычна знойдзеных залежнасцей, што прывяло да ўзнікнення паняцця функцыі і задачы інтэрпалявання (гл. Інтэрпаляцыя). Поспехі вылічальнай матэматыкі звязаны з імёнамі І.​Ньютана, Л.​Эйлера, М.​І.​Лабачэўскага, К.​Ф.​Гаўса, П.​Л.​Чабышова, С.​А.​Чаплыгіна, А.​М.​Крылова, А.​М.​Ціханава, А.​А.​Самарскага, У.​І.​Крылова, Л.​В.​Кантаровіча і інш. Многія задачы вылічальнай матэматыкі можна запісаць у выглядзе y=Ax, дзе x і y належаць зададзеным мноствам X і Y, A — некаторы аператар. Для рашэння задачы трэба знайсці у па зададзеным х ці наадварот. У вылічальнай матэматыцы гэта задача рашаецца заменай мностваў X, Y і аператара A (ці толькі некаторых з іх) іншымі, зручнымі для вылічэнняў. Замена робіцца так, каб рашэнне новай задачы y=Bx было ў нейкім сэнсе блізкім да рашэння першапачатковай задачы. Напр., калі ў якасці Ax узяць інтэграл ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}x\text{(}t\text{)}dt}$ , то прыбліжанае значэнне яго ў многіх выпадках можна вылічыць паводле т.зв. квадратурнай формулы ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}x\text{(}t\text{)}dt\approx {\sum }_{k-1}^n{A}_{k}x\text{(}{t}_k\text{)}}$ , дзе $A_k$ і $t_k$ — некаторыя фіксаваныя лікі. Гэта адна з класічных задач вылічальнай матэматыкі. Пры рашэнні яе, асабліва ў выпадку кратнага (шматразовага) і кантынуальнага інтэгравання, карыстаюцца Монтэ-Карла метадам. Прынцыповае значэнне ў вылічальнай матэматыцы належыць тэорыі прыбліжэння функцый, якая адыгрывае і агульнаматэм. ролю. Адна з характэрных задач прыбліжэння функцый — задача інтэрпалявання, г.зн. пабудова для зададзенай функцыі $𝑓\text{(}t\text{)}$ прыбліжанай функцыі ${𝑓}_n\text{(}t\text{)}$, якая супадае з $𝑓\text{(}t\text{)}$ у фіксаваных вузлах t₁, t₂, ..., t_n. У тэорыі прыбліжэння функцый сапраўднага (а пазней і камплекснага) пераменнага распрацоўваліся метады прыбліжэння функцый аднаго класа функцыямі інш. класаў, а таксама вывучаліся пытанні збежнасці і ацэнак прыбліжэнняў. Найб. пашыраныя задачы вылічальнай матэматыкі — задачы алгебры [рашэнне сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, вылічэнне вызначнікаў (дэтэрмінантаў) і адваротных матрыц, знаходжанне ўласных вектараў і ўласных значэнняў матрыц, вызначэнне каранёў мнагачленаў]. У задачы прыбліжанага рашэння сістэмы лінейных ураўненняў A_x=b, дзе A — квадратная матрыца, x і b — вектары-калонкі, часта выкарыстоўваюцца ітэрацыйныя метады. Многія ітэрацыйныя метады рашэння гэтай сістэмы маюць выгляд ${\displaystyle x^k=x^{k-1}+B_k\text{(}b-A{x}^{k-1}\text{)}}$ , дзе ${\displaystyle B_k\text{(}k=\mathrm{1,\; 2,\; ...}\text{)}}$ — некаторая паслядоўнасць матрыц, x° — пачатковае прыбліжэнне, часам адвольнае. Розны выбар матрыц B_k дае розныя ітэрацыйныя працэсы. Значную частку вылічальнай матэматыкі складаюць прыбліжаныя і лікавыя метады рашэння звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў, дыферэнцыяльных ураўненняў у частковых вытворных, інтэгральных ураўненняў, інтэгра-дыферэнцыяльных ураўненняў, вылічальныя метады варыяцыйнага злічэння, аптымальнага кіравання, задач стахастычнага аналізу і інш. З’яўленне вылічальных машын значна расшырыла кола задач і стымулявала далейшую распрацоўку метадаў вылічальнай матэматыкі з улікам магчымасцей вылічальных машын, у прыватнасці распрацоўкі спец. алгарытмаў, арыентаваных на паралельную рэалізацыю.

На Беларусі даследаванні па ўсіх асн. кірунках вылічальнай матэматыкі і падрыхтоўкі навук. кадраў пачаліся з 1950-х г. у АН і БДУ пад кіраўніцтвам акад. У.​І.​Крылова; асобныя пытанні вылічальнай матэматыкі распрацоўваліся і раней.

Літ.:

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. 3 изд. М., 1966;

Т. 2. 2 изд. М., 1962;

Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. 5 изд. М.; Л., 1962;

Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2 изд. М., 1967;

Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Мн., 1968;

Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Мн., 1968;

Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 2 изд. М.; Л., 1963;

Янович Л.А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. Мн., 1976.

Л.​А.​Яновіч.

т. 4, с. 311