Verbum

НУЛЬ (ад лац. nullus ніякі),

лік, які мае такую ўласцівасць, што любы іншы лік пры складанні з Н. не змяняецца. Абазначаецца сімвалам 0. Здабытак любога ліку на Н. роўны Н. Калі здабытак двух сапраўдных ці камплексных лікаў роўны Н., то абавязкова адзін з іх роўны Н. Дзяленне на Н. немагчыма. Н. функцыі — пункт, у якім функцыя роўная нулю; тое, што корань адпаведнага алг. ўраўнення. Графічна Н. функцыі адной пераменнай адпавядаюць пунктам перасячэння графіка зададзенай функцыі з воссю Ox ці інш. іх агульным пунктам.

т. 11, с. 387

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́Л у матэматыцы,

галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння функцыі. Формулы і правілы знаходжання Д. вынікаюць з формул і правіл дыферэнцавання функцый. Паняцце Д. адлюстроўвае блізкасць дадзенай функцыі да лінейнай у малым наваколлі разгляданага пункта, абагульняецца на адлюстраванне адной эўклідавай прасторы на другую, на камплексныя і вектар-функцыі і з’яўляецца адным з асн. паняццяў сучаснага нелінейнага функцыянальнага аналізу.

Калі поўнае прырашчэнне $∆y=ƒ\text{(}{x}_0+∆x\text{)}-ƒ\text{(}{x}_0\text{)}$ функцыі y = ƒ(x) у пункце x = x₀ можна запісаць у выглядзе $∆y=A\text{(}{x}_0\text{)}∆x+a∆x$ , дзе a→0 пры Δx→0, то комплекс A(x₀)∆x наз. дыферэнцыялам функцыі ў пункце x₀ [абазначаецца dy або dƒ(x₀)], а саму функцыю — дыферэнцавальнай і яе вытворная 𝑓′(x₀) = A(x₀). Д. незалежнай пераменнай супадае з яе прырашчэннем і таму dy = A(x₀)dx і вытворную $ƒ\prime \text{(}{x}_0\text{)}=\frac{dy}{dx}$ можна трактаваць як дзель двух Д. Для складанай функцыі y = ƒ(g(x)) Д. у пункце x = x₀ можна запісаць у выглядзе dy = y_g′g′dx = y_x′dx Функцый некалькіх пераменных разглядаюць частковыя і поўныя Д.: частковы Д. роўны здабытку частковай вытворнай на адпаведны Д. пераменнай, поўны Д. роўны суме частковых Д.

Літ.:

Гусак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике Мн., 1991;

Курс вышэйшай матэматыкі. Мн., 1994.

А.​А.​Гусак.

т. 6, с. 299

ЛІМІ́Т у матэматыцы,

адно з найважнейшых паняццяў матэматычнага аналізу. Л. функцыі дазваляе даследаваць аналітычныя ўласцівасці функцыі: неперарыўнасць, дыферэнцавальнасць, інтэгравальнасць.

Л. функцыі 𝑓(z) у пункце z = a ёсць лік A, да якога неабмежавана набліжаецца значэнне функцыі 𝑓(z), калі z імкнецца да α (запісваецца ${\displaystyle \underset{z\to a}{\overset{\mathrm{}}{lim}}𝑓\text{(}z\text{)}=A}$ ).

Больш дакладна: лік A наз. Л. функцыі 𝑓(z) у пункце z = a, калі для адвольнага дадатнага ліку ε можна ўказаць такі дадатны лік δ, што для ўсіх значэнняў z, якія задавальняюць |z−a|<δ, і не супадаюць з a, выконваецца ўмова |𝑓(z)−A|<ε. Л. паслядоўнасці лікаў a₁, a₂, ... a_n, ... ёсць лік a, да якога неабмежавана набліжаюцца ўсе члены паслядоўнасці, пачынаючы з некаторага дастатковага вял. нумара (запісваецца ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\overset{\mathrm{}}{lim}}{a}_n=a}$ ). Больш дакладна: лік a наз. Л. паслядоўнасці a₁, a₂, ... a_n, ..., калі для адвольнага дадатнага ліку ε можна ўказаць такі нумар N, што для ўсіх членаў паслядоўнасці з нумарам n>N мае месца ўмова |a_n−a|<ε. Паняцце Л. ўжываецца да дыскрэтных і пераменных паслядоўнасцей, якія мяняюцца неперарыўна.

А.​А.​Гусак.

т. 9, с. 260

КАФЕІ́Н,

алкалоід, які ёсць у насенні кафейнага дрэва, лісці чайнага куста, арэхах кола і інш., вытворнае пурыну. Стымулюе ц. н. с., асабліва функцыі яе вышэйшых аддзелаў (павышае ўспрыманне, функцыі органаў пачуццяў, рухальную актыўнасць, разумовую і фіз. працаздольнасць, зніжае стомленасць і санлівасць), сасударухальны цэнтр, аказвае сасударасшыральнае ўздзеянне.

т. 8, с. 187

ГРА́ФІК,

адлюстраванне залежнасці адной велічыні ад другой (напр., пройдзенага шляху ад часу).

1) Графік функцыі — геам. адлюстраванне функцыянальнай залежнасці з дапамогай лініі на плоскасці. Выгляд графіка залежыць ад характару функцыі і выбранай сістэмы каардынат (дэкартавай, палярнай, лагарыфмічнай або інш.). Некаторыя графіка функцыі маюць назву: акружнасць, гіпербала, дэкартаў ліст, ланцуговая лінія, завіток Аньезі, парабала і г.д. Паказвае характар змен функцыі (гл. Гістаграма, Дыяграма), а таксама дазваляе вылічыць яе значэнне па зададзеным значэнні аргумента (гл. Графічныя вылічэнні, Намаграма, Намаграфія). Існуюць прылады, якія аўтаматычна запісваюць графік, напр. графапабудавальнік вычэрчвае графік функцыі, зададзенай аналітычна або таблічна; барограф — графік атм. ціску як функцыю часу.

2) Графік руху на транспарце — план арганізацыі працэсу перавозак. Складаецца ў графічнай або таблічнай формах. Будуецца звычайна ў каардынатах «шлях — час»: па адной восі адкладваюць час (суткі, гадзіны, мінуты), а па другой — адлегласць паміж пунктамі (станцыі, порты, аэрапорты і інш.). Забяспечвае рытмічную работу рухомага саставу на лініі, узгадняе работу розных відаў транспарту, прадпрыемстваў і кліентаў (напр., флот — порт — чыгунка — станцыя) і г.д. 3) Вытворчы графік — каляндарны план выпуску прадукцыі прадпрыемствам ці яго асобнымі падраздзяленнямі. Гл. таксама Графік цыклічнасці.

т. 5, с. 412

ІНТЭРПАЛЯЦЫ́ЙНАЯ ФО́РМУЛА,

формула для набліжанага вылічэння значэнняў функцыі метадам інтэрпаляцыі (гл. Інтэрпаляцыя і экстрапаляцыя). Заснавана на замене дадзенай функцыі больш простай (у пэўным сэнсе), значэнні якой у зададзеных пунктах (вузлах інтэрпаляцыі) супадаюць са значэннямі зыходнай функцыі.

Найб. пашырана пабудаванне І.ф. на аснове паслядоўных ступеней пераменнай x: 1, x, x​², ..., x​ⁿ, ..., трыганаметрычных функцый 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ... і інш., напр., лінейная І.ф. з двума вузламі інтэрпаляцыі: $y=\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}\text{[}𝑓\text{(}{x}_i\text{)}-𝑓\text{(}{x}_i\text{)}\text{]}+𝑓\text{(}{x}_i\text{)}$ . Вузлы інтэрпаляцыі часта выбіраюць так, каб адхіленні І.ф. ад шуканай функцыі былі найменшымі. Калі цяжка ацаніць ступень інтэрпаляцыйнага палінома, неабходную для дасягнення зададзенай дакладнасці (напр., пры інтэрпаляванні табліц), будуюць паслядоўнасць такіх паліномаў з усё больш высокімі ступенямі (схема Эйткена), што дазваляе кантраляваць дакладнасць у працэсе вылічэнняў. Эфектыўным апаратам набліжэння функцый з’яўляюцца інтэрпаляцыйныя сплайны — І.ф., у якіх дадаткова накладзены ўмовы супадзення вытворных (да некаторага парадку) атрыманай і шуканай функцыі ў вузлах. Для апрацоўкі эксперым. даных будуюць І.ф., для якіх патрабуюць мінімізацыі іх сумарнага адхілення па ўсіх вузлах ад шуканай залежнасці (гл. Найменшых квадратаў метад).

С.​У.​Абламейка.

т. 7, с. 288